重庆市名校联盟2026届高三数学下学期3月第一次联考试题含解析

本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．作答前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在试卷的规定位置上．

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效．

3．考试结束后，须将答题卡､试卷､草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）．

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1.已知i为虚数单位，z34i2i，则z（）

A.5B.5C.10D.55

【答案】D

【详解】因为z34i2i68i3i4105i，

所以z1025255.

故选：D

11

2.“2”是“x”的（）条件

x2

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

1112x1

【详解】由2，则20，即x12x0，解得x或x0，

xxx2

1111

所以“2”不能推出“x”；“x”能推出“2”

x22x

11

故“2”是“x”的必要不充分条件.

x2

故选：B.

3.2025年11月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系

统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性

能提升评估指数y，且x6.

研发资金投入x/亿元2x1x2x3x4x5x610

性能提升评估指数y2y1y2y3y4y5y612

已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为yˆ1.2x0.4.如果去掉样本点

(2,2),(10,12)后，得到的新样本的经验回归方程为yˆ1.25xaˆ，则aˆ（）

A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7

【答案】B

【详解】由x6及yˆ1.2x0.4，得y1.2x0.41.260.47.6，

11

则在新样本中，x(8x210)6,y(8y212)7.8，

66

所以aˆy1.25x7.81.2560.3

故选：B

4.已知平面向量a，b满足a3,1，b43,1，则向量b在a方向上的投影向量为（）

4431144311

A.,B.,

494977

1131111311

C.,D.,

4422

【答案】C

2

2

【详解】因ab3431111，a312.

ab1111311

则向量在方向上的投影向量为a3,1,.

ba22

a244

3161

5.函数f(x)0x的最小值为（）

x13x3

A.16B.25C.36D.49

【答案】D

1

【详解】因为0x，所以13x0，所以

3

316916916

f(x)()[3x(13x)]

x13x3x13x3x13x

9(13x)163x9(13x)163x

91625249，

3x13x3x13x

9(13x)163x1

当且仅当即x时，等号成立，

3x13x7

所以函数f(x)的最小值为49.

故选：D.

6.已知函数fx2x22x，若关于m的不等式fm1f2m10成立，则实数m的取值范围

是（）

4

A.,20,B.,2,

3

22

C.,2,D.,2,

33

【答案】D

11

【详解】fx2x22x42x，即fx42x，

2x2x

x1

fxln242，

2x

令fx0，解得：x1，

x1x1

当x1时，42，fxln2420，则fx在区间1,单调递增；

2x2x

x1x1

当x1时，42fxln2420，fx在区间,1单调递减；

2x2x

fx2x22x，

f2x22x222x2x22x即f2xfx，

fx关于x1对称，

fm1f2m10fm1f2m1，

m112m11，即m2m2，

两边平方得3m28m40，

2

解得,2,，

3

2

则实数m的取值范围是,2,.

3

x2y2

7.已知双曲线Ω:1a0,b0，圆O:x2y2a2b2与x轴交于A,B两点，M,N是圆O

a2b2

与双曲线在x轴上方的两个交点，点A,M在y轴的同侧，且AM交BN于点G，且M为线段AG的中点，

则双曲线的离心率为（）

A.5B.51C.3D.31

【答案】D

【详解】如图：

因为c2a2b2，所以A,B为双曲线的焦点.

因为M为O上的点，所以OMc，

根据双曲线的对称性，可知点G在y轴上，又M为AG的中点，所以AMMGOMc.

所以△OAM为等边三角形，OAM60，所以BM3AM3c.

又根据双曲线的定义，BMAM2a，所以3cc2a，

c2

所以e31.

a31

故选：D

8.若方程lnxkx的三个根x1,x2,x3x1x2x3成等比数列，则公比为（）

A.21B.31C.e1D.3

【答案】A

lnx

【详解】由lnxkx，得x0，所以k.

x

lnx

,0x1

lnxx

设fx.

xlnx

,x1

x

方程lnxkx的根等价于直线yk与fx图象的交点的横坐标.

lnx1lnx

因为函数yx0的导数为y，

xx2

lnx

当0xe时，y0，yx0单调递增；

x

lnx

当xe时，y0，yx0单调递减，

x

lnxlnx

又x1时，0，x1时，0，

xx

作出fx的大致图象，如下图：

lnxlnxlnx

则123（*），

x1x2x3

因为x1,x2,x30x1x2x3成等比数列，设公比为qq1，

x

所以x2，xqx，

1q32

x

ln2

qlnxlnqx2

代入（*）式得2，

x2x2qx2

q

x2

lnx2

qlnx2qlnq

由，得qlnx2，即qlnlnx2，

x2xx

2xx2

q22

qlnq

所以qlnqlnxlnx，解得lnx，

2221q

qlnqqlnq

lnxlnqxlnq

代入22，可得1q1q，

x2qx2

x2qx2

整理得q22q10，解得q21或q12（舍去），则公比为21.

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为棱C1D1,C1C的中点，则下列结论

正确的是（）

A.AMND1

42

B.点B到直线AM的距离为

3

25

C.直线AM与直线BN所成角的余弦值为

5

D.直线A1M与直线BN是异面直线

【答案】ABC

【详解】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，

点A(2,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),M(0,1,2),N(0,2,1)，

对于A，，，则，A正确；

AM(2,1,2),ND1(0,2,1)AMND10AMND1

ABAM242

对于B，AB(0,2,0)，点B到直线AM的距离为|AB|2()24()2，B正确；

|AM|33

|AMBN|625

对于C，BN(2,0,1)，直线AM与BN所成角的余弦值|cosAM,BN|，

|AM||BN|355

C正确；

对于D，，即，又直线，

MN(0,1,1),A1B(0,2,2)2MNMN//A1BMA1B

因此直线MN//直线A1B，点A1,B,N,M共面，直线A1M与直线BN不是异面直线，D错误.

π

10.已知函数fx4sinmx2m0，则下列结论正确的是（）

3

π

A.若fx在0,上恰有三个零点，则m15,23

6

π

B.若在上恰有三个零点，则

fx0,x1,x2,x3fx1x2x34

6

ππ2

C.若fx在,单调递增，则m0,

643

ππ

D.若fx向左平移后的图象与fx图象关于x对称，则m6k1,kN

612

【答案】ABD

π1πππ5π

【详解】A，令fx=0，即sinmx=，解得mx=2kπ+或mx=2kπ+,kZ，

323636

πππmπππ

当0,时，可得mx,，要使fx在0,上恰有三个零点，

633636

5πmπππ

则需2π+4π+，解之可得15m23，故A正确；

6636

π5ππ13ππ17π

B，由A可知mx,mx,mx，

136236336

π5π13π17π2π31π

所以mxxx，

123366636

7π

所以fx1x2x34sin4π24，故B正确；

6

πππ

C，由正弦函数的单调递增区间可知2kπmx2kπ+,kZ，

232

5ππππππ5ππ

取k0，则x，若fx在,单调递增，则需,,，

6m6m64646m6m

ππ22

因m0，则只需，则0m，则m0,，故C错误；

46m33

ππmππ

D，根据平移规则可知平移后函数为gx4sinmx+24sinmx2，

6363

πππ

gx图象与fx图象关于x对称，则gxfx，

121212

πmπππππ

代入得mxmx2kπ,kN，

12631232

mπ2π

化简可知π2kπ,kz，继续化简可得m16k,kN，故D正确.

33

1|PA|

11.已知点A(1,0),B(,0)，动点P(x,y)满足2，动点P(x,y)的轨迹为曲线C，H为直线

2|PB|

l:xy10上一动点，则下列说法正确的是（）

A.若点D(2,1)，则2|PD||PA|的最小值为13

11

B.过H作C的两条切线，切点分别为M,N，则直线MN过定点(,)

22

C.若点F(m,n)是C上一点，则2mn的最大值为26

4(mn1)

D.若点F(m,n)是C上一点，则的最大值为223

m2n22m1

【答案】ABD

|PA|1

【详解】由2，得(x1)2y22(x)2y2，整理得x2y22x0，

|PB|2

即(x1)2y21，因此曲线C是以点C(1,0)为圆心，1为半径的圆，

1

对于A，2|PD||PA|2(|PD||PB|)2|BD|2(2)2113，

2

当且仅当P是线段BD与圆C的交点时取等号，A正确；

对于B，由H为直线l:xy10上一点，设点H(x0,1x0)，以线段CH为直径的圆

，即22，

(x1)(xx0)y(y1x0)0xy(x01)x(x01)yx00

因此直线MN的方程(1x0)x(x01)yx00，即(xy1)x0xy0，

ì1

ïx=

xy10ï211

令，解得í，因此直线MN过定点(,)，B正确；

xy0ï122

ïy=-

î2

对于C，由点F(m,n)是C上一点，令m1cos,nsin,[0,2π)，

因此2mn22cossin25sin()25，其中锐角由tan2确定，

π

当且仅当时取等号，C错误；

2

对于D，m2n22m1(m1)2n2，表示圆C上点F(m,n)到点A(1,0)的距离，

|4(mn1)||4[(m1)n]|

取E(0,1)，AF(m1,n)，AE(1,1)，则

m2n22m1(m1)2n2

4|AFAE|

4|AE||cosAF,AE|42|cosAF,AE|，

|AF|

当直线AF与圆C相切于第一象限内的点F时，AF,AE最小，cosAF,AE最大，

ππππ

而AC2,FC1,CFAF，则FAC，EAF，

64612

|4(mn1)|π

πππ23162

coscos()()，因此()max42cos232，

12462224m2n22m112

D正确.

三､填空题

12.已知Sn是等比数列an的前n项和，a1a2a33,a4a5a66，则S21__________．

【答案】381

SS

63

【详解】由题知，S3a1a2a33,S6S3a4a5a66，且2

S3

因为S3,S6S3,S9S6,S12S9,S15S12,S18S15,S21S18成等比数列，

该等比数列的首项为3，公比为2，

3127

则S381.

2112

6

31

13.2xx的展开式中常数项为__________．

x

【答案】29

6k3k

116

【详解】展开式的通项公式为k6kk2，

xTk1C6xC6x

xx

3k

令60，解得k4，则TC4x015；

256

3k

令63，解得k6，则TC6x3x3，

276

6

3133

所以2xx的展开式中常数项为215xx29.

x

14.在ABC中，P为边AB上一点，CP1,ACP30,BCP45,CPB．当ABC面积

最小时，tan__________．

【答案】13

【详解】的面积，由内角和得：，

ABCSABCSACPSBCPA30,B135

对△ACP和BCP分别用正弦定理，结合CP1得：

sinsin

AC,BC，

sin(30)sin(135)

1

又ACB75，因此：SACBCsin75，

ABC2

展开化简得：

3sincos2(sincos)62

sin(30),sin(135),sin75，

224

311

S

代入整理得：ABC11

2

2313

tantan

1

S最小等价于二次函数f(t)t2(31)t3（t）最大，

tan

3131

开口向下的二次函数顶点在t，即cot，

22

2

因此tan31.

31

四､解答题：本题共5小题，共77分

15.某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直

方图．

（1）该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的

学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）

（2）从成绩位于区间80,90和90,100的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取

3份，设成绩在90,100的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

6

【答案】（1）72分（2）分布列见解析，

7

【小问1详解】

由题意100.0050.01020.0200.025a1，解得a0.030，

成绩在90,100的频率为0.1，在80,90的频率为0.25，在70,80的频率为0.3，

因为0.10.250.35,0.10.250.30.65，

所以选报物理方向的最低分x在70,80内，则80x0.030.250.10.6，

解得x72，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分．

【小问2详解】

由题可知，成绩在区间80,90的频数为1000.0251025，

成绩在区间90,100的频数为1000.0101010，

7

利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在80,90的频数为255，

2510

7

成绩在90,100的频数为102，

2510

再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0,1,2，

C0C3102C1C2204C2C151

252525，

PX03,PX13,PX23

C7357C7357C7357

故X的分布列为：

X012

241

P

777

2416

所以X的数学期望为：EX012．

7777

2

16.已知数列an的前n项和为Sn，若nSn1n1Sn2nn，且a12．

S

（1）证明：n为等差数列，并求S．

nn

1

1

（2）若bn，数列bn的前n项和Tn，求证：Tn．

2Sn12

2

【答案】（1）证明见解析，Sn2n

（2）证明见解析

【小问1详解】

SS

2n1n，

nSn1n1Sn2nn2

n1n

SSa

所以数列n是以112为首项，2为公差的等差数列，

n11

S

所以n22n12nS2n2；

nn

【小问2详解】

111111

bn2，

2Sn14n12n12n122n12n1

11111111111

Tnb1b2b3bn1

2323525722n12n1

11111111111

11．

2335572n12n122n12

17.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为

中点，且．

ABA1D5

（1）求证：CD平面ABB1A1；

（2）已知P为线段B1C中点，求直线AP与平面A1CD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）25

5

【小问1详解】

1

在三棱柱ABCABC中，AABB2，ADAB1，AD5

1111121

222

ADA1A5A1D，则A1AAD.

^

又四边形BCC1B1是正方形，则B1BBC，B1B//A1A，所以A1ABC.

又ADBCB，AD,BC平面ABC，因此A1A平面ABC.

又CD平面ABC，所以CDAA1.

在等边ABC中，D为AB中点，则CDAB，

又ABAA1A，AB,AA1平面ABB1A1，所以CD平面ABB1A1.

【小问2详解】

取BC中点为O，B1C1中点为Q，则OABC，OQBC.

由（1）知，A1A平面ABC，OA平面ABC，则OAAA1.又B1B//A1A，故OABB1.

又BB1BCB，BB1,BC平面BCC1B1，则OA平面BCC1B1即OA,OB,OQ两两垂直.

以O为坐标原点，OB，OQ，OA的方向为x轴､y轴､z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

13

则，，，，，，

O0,0,0A0,0,3A10,2,3C1,0,0D,0,B11,2,0

22

因为P为线段B1C中点，所以P0,1,0.

33

，，.

CD,0,CA11,2,3AP0,1,3

22

设平面A1CD的法向量为nx,y,z，

33

nCD0xz0

则，即22，故可取n1,1,3.

nCA10

x2y3z0

设直线AP与平面A1CD所成角为，

011133425

则sin=cosAP,n

22

2222255

013113

25

所以直线AP与平面A1CD所成角的正弦值为.

5

x2y2

18.已知椭圆Γ：1，Γ的下顶点为C，左焦点为F1，动直线l与椭圆Γ交于A、B两点.

54

（1）若T是椭圆Γ上的一个动点，求TCTF1的最大值；

5

（2）设E,3，O为坐标原点，若四边形OABE为平行四边形，求直线l的方程；

2

（3）若直线l经过定点P0,1，坐标平面上是否存在定点Q（不同于点P），使得QAPBPAQB恒

成立？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）35

635635

（2）yx或yx.

5555

（3）存在定点Q0,4.

【小问1详解】

，，右焦点，，

C0,2F11,0F21,0TCTF1TCTF225CF22535

当且仅当T、F2、C共线（F2介于T、C之间）时取到，

【小问2详解】

6

由l平行于OE时，可设直线l：yxb，与椭圆联立后得到56x260bx25b21000，

5

15b25b2100

xx,xx

12141256

25

由ABOE可知，xxxx4xxx0，

121212E2

22

结合韦达定理215b25b1005，

x1x2x1x24x1x24

14562

35

解得b，

5

635635

所以直线方程为yx或yx，

5555

【小问3详解】

当直线l斜率存在时，设方程为ykx1，与Γ：4x25y220联立得：

45k2x210kx150，

设Ax1,y1，Bx2,y2，

10k15

由韦达定理得xx，xx.

1245k21245k2

当直线l平行于x轴时，PAPB，因此QAQB，

此时Q在y轴上，设Q0,m.

当直线l斜率不存在时，不妨设A0,2，B0,2，

则有QAPBm23PAQBm2，

解得m4或m1（舍）.下面证明点Q0,4符合条件.

QAPA

设直线l：ykx1，要证，

QBPB

即PQ是AQB的角平分线，只要证明kAQkBQ0.

y14y24x2kx13x1kx232kx1x23x1x2

而kAQkBQ，

x1x2x1x2x1x2

而韦达定理可得2kx1x23x1x20，因而得证，

综上，存在定点Q0,4，

19.已知函数fxx2ax1lnx（aR）.

（1）若a2，求函数fx的单调区间；

（2）若函数fx在区间0,1和1,上各恰有一个零点，分别记为x1和x2，

（ⅰ）证明：函数fx在两点x1,0，x2,0处的切线平行；

S

（ⅱ）记曲线yfx在点x1,0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值.