4.3 用一元一次方程解决问题（第3课时 利用公式、性质、规律等构建等量关系）（教学课件）

第四章一元一次方程4.3用一元一次方程解决问题第3课时利用公式、性质、规律等构建等量关系学

习

目

标123能利用公式、性质、规律等构建等量关系，列一元一次方程解决简单的实际问题．能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理，提高分析问题和解决问题的能力．经历“问题情境─建立数学模型─解释、应用与拓展”的过程，发展模型观念．问题情境已经学过的哪些图形公式、性质可以用于构建等量关系？长方形，正方形，三角形，梯形，平行四边形，圆等面积公式．三角形三个内角的和等于180°.…解：设三角形三个角的大小分别为2x，3x，5x．

根据题意，得2x＋3x＋5x＝180°.

解这个方程，得x＝18°.

所以2x＝36°，3x＝54°，5x＝90°.

所以三角形三个角的大小分别为36°，54°，90°.

答：这个三角形是直角三角形．典例分析判断三角形形状的依据是什么？三角形三个内角之间有什么关系？分析：这个问题中的等量关系：第一个角＋第二个角＋第三个角＝180°.如何设未知数？设未知数的依据是什么？例1已知三角形三个角的度数之比为2:3:5，判断这个三角形的形状．

在比例问题中，常设“每一份”为x.若甲、乙的配比为m:n，即设甲为mx，乙为nx.典例分析例2用黑白两色棋子按下图的方式摆图形，依此规律，图形中黑色

棋子的个数有可能是50吗？…黑色棋子的摆放有什么规律？个数与什么有关？(1)(2)(3)(4)1＋31＋3×21＋3×31＋3×4如何设未知数？根据图形摆放的规律，用含字母(如m)的代数式表示第m个图形中的数量.1＋3m典例分析例2用黑白两色棋子按下图的方式摆图形，依此规律，图形中黑色

棋子的个数有可能是50吗？

实际问题要根据实际意义检验所得的结果是否合理．典例分析变式

如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放：

按此规律摆放，是否存在2024枚棋子摆放出的图形？若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由.

讨论交流如何用一元一次方程解决与图形变化规律有关的问题？(1)根据图形摆放的规律，用含n的代数式表示第n个图形中的数量；(2)根据问题中条件“第n个图形具体数量”列出方程；(3)解方程作出判断，若能解出正整数n，则存在，反之，则不存在．注意检验！归纳总结(1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况；(2)间接设法：当直接设元列方程较烦琐或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量；(3)辅助设法：当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还需增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求．

设未知数常用的方法：新知巩固1．

已知一梯形的面积是120，上底是12，高是8，求下底的长．

新知巩固2．

在明代数学著作《九章算法比类大全》中，有一个问题：远望巍

巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？

(倍加增指下一层灯的盏数比上一层增加1倍)请你解决这个问题．解：设顶层x盏灯．

根据题意，得

x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381．

解这个方程，得x＝3．

答：顶层3盏灯．新知巩固3．按如图所示的方式搭“小鱼”，若用了140根火柴棒，则“小鱼”有多少条？解：设“小鱼”有n条．

根据题意，得6n＋2＝140．

解这个方程，得n＝23．

答：“小鱼”有23条．能力提升1．甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙两人完成零件个数之比为1∶2，乙与丙完成零件的个数比为3∶4，现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了多少个零件？解：设乙做了6x个零件，则甲做了3x个零件，丙做了8x个零件.根据题意，得

8x＋6x＋3x＝51.解这个方程，得

x＝3.

8x＝24.答：丙做了24个零件.能力提升小长方形的长和宽与大长方形的长和宽有关系吗？如果有，什么关系？2．如图，在长方形ABCD中，放入5个形状、大小相同的小长方形(空白部分)，其中AB＝5cm，

BC＝9cm.(1)求小长方形的长和宽；(2)阴影部分图形的总面积为________.小长方形的长与宽的和为5cm小长方形的1个长与3个宽的和为9cm解：(1)设小长方形的长为x

cm，则由图易知宽为(5－x)

cm，根据题意，得x＋3(5－x)＝9，解这个方程，得

x＝3.所以5－3＝2(cm).答：小长方形的长为3

cm，宽为2

cm.(2)5×9－5×2×3＝15

cm2.

15

cm2真题感知（南京中考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30

℃，流速为20

mL/s；开水的温度为100

℃，流速为15

mL/s.某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280

mL温度为60

℃的水(不计热损失)，求该学生分别接温水和开水的时间．物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度.真题感知解：设该学生接温水的时间为x

s.根据题意，得

20x×(60－30)＝(280－20x)×(100－60).解这个方程，得

x＝8.所以

20×8＝160，