江西省南昌市南昌二中2025-2026学年高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江西省南昌二中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2<A.(−1,2] B.(02.若复数z满足(i−i2026)(zA.2 B.3 C.53.若双曲线C：y2a2−x2A.5 B.52 C.54.已知sin2α=A.66 B.56 C.5.已知随机变量X～N(1,σ2)，且PA.−10 B.−20 C.10 6.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法种数是(

)A.270 B.360 C.540 D.6307.如图，在正方体ABCD−A1B1CA.A1F与B1D始终垂直

B.A1F与B1D始终异面

C.A18.已知函数f(x)=log2(4x+1)−xA.b>a>c B.a>c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.样本甲中有m件样品，其方差为s12，样本乙中有n件样品，其方差为s22，则由甲，乙组成的总体样本的方差为mm+n⋅s12+nm+n⋅s22

B.一组数据(1,3)，(2,8)，(3,10)，(4,14)，(5,15)的经验回归方程为y=3x+a，则当x=5时，残差为−1

C.一组数据x1，x2，…，xn的均值为10.设随机变量ξ的分布列如下：ξ12345678910Paaaaaaaaaa则下列说法中正确的是(

)A.当{an}为等差数列时，a5+a6=15

B.当数列{an}满足an=111.已知a∈R，圆C：(x−A.存在两个不同的实数a，使圆C过原点

B.存在正实数a，使圆C在x轴上和在y轴上截得的线段相等

C.存在三个不同的实数a，使圆C与x轴或y轴相切

D.存在唯一的实数a，使圆C的周长被直线ex三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.边长为2的等边三角形ABC中，D为BC的中点，E在边AC上且AE=213.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点分别为F1(−2,0)14.已知f(x)=2(sinωx+cosωx四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3(sinB−sinC)a=3si16.(本小题15分)

为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表(单位：人)：成绩显著提升成绩未显著提升合计坚持自主刷题9030120未坚持自主刷题206080合计11090200根据上述数据，解答下列问题：

(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？

(2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817.(本小题15分)

已知函数f(x)=alnx+1x2,a∈18.(本小题17分)

球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设O1，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆O2，O3的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形.若设二面角C−OA−B，A−OB−C，B−OC−A分别为α、β、γ，则球面三角形的面积为S球面△ABC=(α+β+γ−π)R2，已知R=3．

(1)若a=b=c，∠AOC=π2，求球面三角形ABC的面积(直接写结果无需证明)；

(2)在球O的内接三棱锥D−ABC19.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px的焦点F，直线l过F且交C于两点M、N，已知当|MF|=3|NF|时，MN中点纵坐标的值为233．

(1)求C的标准方程．

(2)令F′(−p2,0)，P为C上的一点，直线F′P，FP分别交C于另两点A，B.求证：1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】BC10.【答案】AC11.【答案】AC12.【答案】−113.【答案】x214.【答案】[915.【答案】解：(1)3(sinB−sinC)a=3sinA−4sinCb+c．

由正弦定理得：3(b−c)a=3a−416.【答案】有关

3417.【答案】因为函数f(x)=alnx+1x2,a∈R，

所以f′(x)=ax−2x3=ax2−2x3(x>0)，

当a≤0时，因为x>0，所以ax2<0，ax2−2<0，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，若f′(x)=0，则x=2a=2aa，

x∈(2aa,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增；

x∈(0,2aa)，f′(x)<0，f(x)单调递减，

综上：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，f(x)在(0,2aa)单调递减，在(2a18.【答案】由题意，R=3，a=b=c，∠AOC=π2，

所以∠AOB=∠BOC=π2，则有α=β=γ=π2，

所以球面三角形ABC面积为S球面△ABC=(α+β+γ−π)R2=π2R2=3π2

因为DB⊥平面ABC，AC，AB⊂平面ABC，所以DB⊥AC，DB⊥AB．

设BC=a(a>0)，则AB=3a,AC=2a,BD=3a，所以AD=6a．

由勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又BD∩BC=B，BD，BC⊂平面BCD，

所以AC⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AC⊥CD，

因为直线DC与平面ABC所成的角为π3，所以∠DCB=π3．

易知在Rt19.【答案】抛物线y2=2px的焦点F的坐标为(p2,0)，

若直线l的斜率为0，则l与抛物线C只有一个交点，与条件矛盾，

可设直线l的方程为x=my+p2，联立y2=2pxx=my+p2，化简得y2−2pmy−p2=0①，

方程①的判别式Δ=4p2m2+4p2>0，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以y1+y2=2pm,y1y2=−p2，

若|MF|=3|NF|，则1+m2|y1−0|=1+m2|y2−0|，所以y1+3y2=0，

又MN中点纵坐标的值为233，所以y1+y2=433，

解得y2=−233,y1=23,p=2，

所以抛物线方程为y2=4x；

设点P的坐标为(x3,y3)，则y32=4x3，直线PF′的方程为y=y3x3+1(x+1)，

联立y