山西省长治市2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省长治市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a，b∈R，a−3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则a+b=(

)A.−3 B.−4 C.1 D.32.已知向量a=(1,x)，b=(x,4)，则“x=2”是“a//bA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别为BCA.一个棱柱和一个棱台 B.一个棱锥和一个棱台

C.两个棱柱 D.两个棱台4.已知数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，那么数据3x1+2，3x2A.2，3 B.8，9 C.8，27 D.6，125.如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=50米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB为(    )米．A.502 B.1002 C.6.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的有(

)A.若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m//n

B.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

C.若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β

D.若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β7.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件A=“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件B=“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件C=“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是(

)A.P(C)=13 B.事件A与事件B相互独立

C.P(A+B)=14 D.事件8.如图，由平面内两条相交成60°角的数轴Om，On构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设e1，e2分别为Om，On正方向上的单位向量，若向量OP=me1+ne2，则把实数对(m,n)叫做向量OP的“完美坐标”.向量a,b的完美坐标分别是(λ,1)A.2或−3 B.2或3 C.−3或2 D.−2或−3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=1+3i1+i(i为虚数单位)，则A.z的虚部为1 B.z的共轭复数为2−i

C.|z|=3 D.z与z−10.已知O为△ABC的外接圆圆心，AB+AC=2AOA.B，O，C三点共线

B.B=60°

C.AB=3AC

D.向量BA在向量11.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F、G分别为A1BA.A1B//平面EFG

B.AC1⊥平面EFG

C.平面EFG截正方体所得的截面为五边形

D.M为线段BD上的任意一点，M到平面EFG的距离为定值

三、填空题：本题共312.某电子设备有两套相互独立的供电系统A和B，在时间T内系统A和系统B发生故障的概率分别为0.2和p.若在时间T内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则p=

．13.已知正三棱柱ABC−A1B1C1，AB=2314.在锐角三角形ABC中，角度A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=b+2bcosA，则ba的取值范围是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某市开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数；

(2)若先用按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率．16.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，已知AB=1，E、F分别为AB、PD的中点．

(1)证明：EF//平面PBC．

(2)求三棱锥E−PBC的体积．17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−2ac=b2．

(1)求角B；

(2)若18.(本小题17分)

在边长为2的正方形ABCD中(图1)，E、F分别为AB、CD的中点，将四边形AEFD沿EF向上折起，形成二面角A−EF−B，M为BC的中点，N在AD上运动.在图2中，连接AB、CD，其中点G为AB的中点．

(1)证明：EG⊥MN；

(2)当二面角A−EF−B为直二面角时，

(i)求直线EM与面ABCD所成的角；

(ii)证明：平面EMN⊥平面DMF．19.(本小题17分)

在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为12，23.在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响．

(1)若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率．

(2)在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章．

(ⅰ)若p=34，q=23，求甲、乙共获得3枚印章的概率；

(ⅱ)若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为1121.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】0.3

13.【答案】20π

14.【答案】(15.【答案】解：(1)根据题意可得(0.025+0.035+a+0.05+0.03+0.02)×5=1，解得a=0.040；

又众数为85+902=87.5，

因为前三组的频率之和为0.125+0.175+0.200=0.500，

所以这200名业主评分的中位数为85；

(2)由频率分布直方图，知评分在[90,95)的人数与评分在[95,100]的人数的比值为3：2，

所以采用分层抽样法抽取5人，评分在[90,95)的有3人，评分在[95,100]有2人，

设评分在[90,95)的3人分别为A1，A2，A3；评分在[95,100]的2人分别为B1，B2，

从5人中任选2人的所有可能情况共10种：{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2,A3}，{A2,B1}，16.【答案】解：(1)证明：取PC的中点为G，连接FG、BG．

因为F为PD的中点，所以FG//CD，FG=12CD，

因为E为AB的中点，底面ABCD是正方形，所以BE/​/CD，BE=12CD，

所以FG//BE且FG=BE，则四边形BEFG是平行四边形，则EF/​/BG，

因为BG⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，

所以EF/​/平面PBC；

(2)取AD的中点为O，连接PO，

因为侧面PAD是边长为1的正三角形，所以PO⊥AD，PO=32，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

因为E为AB的中点，所以17.【答案】解：(1)由余弦定理得a2+c2−2accosB=a2+c2−2ac，

则cosB=22，

0°<B<180°18.【答案】解：(1)证明：在折叠过程中，EF⊥AE，EF⊥EB，

又因为AE∩EB=E，AE，EB⊂平面AEB，

所以EF⊥平面AEB，

因为EG⊂平面AEB，

所以EF⊥EG，

图1中，E、F分别为AB、CD的中点，

则EF/​/AD，

所以EG⊥AD，

在△AEB中，AE=EB，点G为AB的中点，

所以EG⊥AB，

因为AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，

所以EG⊥平面ABCD，

因为MN⊂平面ABCD，

所以EG⊥MN；

(2)因为EF⊥AE，EF⊥EB，平面AEFD∩平面BCFE=EF，

所以∠AEB是二面角A−EF−B的平面角，

所以∠AEB=π2，

(i)连接GM，

由(1)知，EG⊥平面ABCD，所以∠EMG为直线EM与面ABCD所成的角，

在Rt△AEB中，AE=EB=1，所以EG=22，

在Rt△EBM中，EB=BM=1，所以EM=EB2+BM2=2，

在Rt△EGM中，sin∠E