清华附中高中数学精练 解析几何、立体几何与概率统计

告告别题海战术解锁数学思维请苇大学北京产品编号：108062-01本书由清华大学附属中学数学教研组编写，历经数十年的评估与优化，汇集了历届教师精选的高考真题与模拟题.本书内容涵盖立体几何初步，空间向量与立体几何，平面解析几何，排列、组合与二项式定理，概率与统计等多个领域.本书不仅有完备的基础知识和系统的思想方法，还提供了创新的情景问题，以供学有余力的学生提升数学技能.版权所有，侵权必究.举报beiqinquan@.图书在版编目(CIP)数据清华附中高中数学精练.解析几何、立体几何与概率统计/李新萍，郎春雨，张博编著.北京：清华大学出版社，2025.3.--ISBN978-7-302-67688-1中国国家版本馆CIP数据核字第2025GE2252号责任编辑：汪操封面设计：傅瑞学责任校对：赵琳爽出版发行：清华大学出版社地址：北京清华大学学研大厦A座邮编：100084社总机购稿与读者服务c-service@质量反馈zhiliang@印装者：北京联兴盛业印刷股份有限公司经销：全国新华书店版次：2025年3月第1版定价：69.00元(全二册)字数：495千字印次：2025年3月第1次印刷主要编著者参与编著者2024年8月国基础教育提供了前所未有的发展机遇.在这一大背景下，清华附中数学组的老家培养拔尖创新人才的号召，致力于课堂改革，不断探索符合教育规律的高中数学课堂教学方华附中高中数学精练”系列书籍.该系列书籍不仅是清华附中数学组高中数学课堂改革的成果，更是我们对教育事业的深刻理解和执着追求的体现.效提升数学核心素养.清华附中数学组 11.1空间几何体与斜二测画法 11.2构成空间几何体的基本元素 31.3多面体与棱柱 51.4棱锥与棱台 71.5旋转体 91.6祖暄原理与几何体的体积 1.7空间几何体综合练习 1.8平面的基本事实与推论 1.9平行直线与异面直线 161.10直线与平面平行(一) 1.11直线与平面平行(二) 1.12平面与平面平行 221.13直线与平面垂直(一) 1.14直线与平面垂直(二) 1.15平面与平面垂直(一) 1.16平面与平面垂直(二) 本章复习 2.1空间向量及其运算(一) 2.2空间向量及其运算(二) 2.3空间向量基本定理 392.4空间向量的坐标及空间直角坐标系(一) 412.5空间向量的坐标及空间直角坐标系(二) 432.6空间中的点、直线与空间向量 2.7空间中的平面与空间向量(一) 2.8空间中的平面与空间向量(二) 492.9直线与平面的夹角 2.10二面角(一) 2.11二面角(二) 2.12空间中的距离(一) 2.13空间中的距离(二) 本章复习(一) 本章复习(二) 第三章平面解析几何 3.1直线的倾斜角与斜率 653.2直线的方向向量与法向量 3.3直线的方程(一) 693.4直线的方程(二) 3.5两条直线的位置关系(一) 3.6两条直线的位置关系(二) 3.7点到直线的距离公式 3.8圆的标准方程 3.9圆的一般方程 3.10直线与圆的位置关系(一) 3.11直线与圆的位置关系(二) 3.12圆与圆的位置关系 3.13直线与圆复习课 3.14曲线与方程 913.15椭圆的标准方程(一) 3.16椭圆的标准方程(二) 3.17椭圆的几何性质(一) 3.18椭圆的几何性质(二) 3.19双曲线的标准方程 1013.20双曲线的几何性质(一) 3.21双曲线的几何性质(二) 3.22抛物线的标准方程 1073.23抛物线的几何性质(一) 3.24抛物线的几何性质(二) 3.25直线与圆锥曲线的位置关系 本章复习(一) 本章复习(二) 本章复习(三) 本章复习(四) 本章复习(五) 第四章排列、组合与二项式定理 4.1基本计数原理 4.2基本计数原理的应用 4.3排列与排列数 4.4排列数的应用 4.5组合与组合数 4.6组合数的性质 4.7组合数的应用 1304.8二项式定理 4.9二项式系数与杨辉三角 4.10二项式定理的应用 本章复习 第五章概率与统计 5.1数据的收集 5.2数据的数字特征与直观表示 5.3用样本估计总体 5.4样本空间与事件的关系和运算 5.5古典概型 5.6频率与概率 5.7随机事件的独立性 5.8综合练习 5.9条件概率 5.10乘法公式 5.11全概率公式 5.12贝叶斯公式 5.13独立性与条件概率的关系 5.14随机变量及其与事件的联系 5.15离散型随机变量的分布列 5.16n次独立重复试验与二项分布 1725.17超几何分布 5.18离散型随机变量的均值 1765.19离散型随机变量的方差 1785.20正态分布 5.21相关关系与回归方程 1835.22回归直线方程的性质及相关系数 5.23非线性回归 5.24独立性检验 本章复习 1.1空间几何体与斜二测画法A.90°B.45°C.135°D.45°或135°2.每个选项中的2个等腰三角形ABC和A'B'C'都是全等的，它们的直观图不全等的是()3.如图所示，水平放置的四边形OABC的直观图为菱形O'A'B'C′,该菱形的边长为2,则原四边形OABC为()A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形4.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O′=C′O′=1,A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形6若O'P′=3,O′R′=1,则原四边形OPQR的周长为7.如图所示，正方形O′A'B′C′的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A’B'C′,则直观图中梯形10.如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B′C′是边11.用斜二测画法作出水平放置的边长为4cm的正三角形(如图所示)的直观图.12.用斜二测画法作出底面半径为1cm,高为3cm的圆锥的直观图.1.下列说法正确的是()A.水平放置的平面是大小确定的平行四边形B.平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围C.一条直线和一个平面一定会有公共点D.平面可向四周无限延伸A.ACa,aCα,B∈αC.ACa,a∈α,BCαD.A∈a,a∈α,B∈αA.ABB.B₁C₁6.把下列符号叙述所对应图形的字母编号填在题后横线上.(2)α∩β=a,P∉α且Pβ(4)α∩β=a,α∩y=c,β∩y=b,a(1)平面ABB₁A₁∩平面A₁B₁C₁D₁=.;(2)平面A₁C₁CA∩平面ABCD=;(3)平面A₁C₁CA∩平面D₁B₁BD=;(4)平面A₁B₁C₁D₁,平面B₁C₁CB,平面ABB₁A₁的公共点为8.在如图所示的长方体ABCD-A′B'C′D'中，互相平行的平面共有 *9.若空间中两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(A.共面B.平行或异面C.垂直D.相交*10.右图是一个正方体表面的展开图，图中线段AB与EF,HG与CD,EF与CD在原正方体中的位置关系分别是_, (1)三个平面a,β,γ相交于一点P,且平面a与平面β相交于PA,平面a与平面r相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC. A.棱柱的每个面都是平行四边形B.一个棱柱至少有五个面C.棱柱有且只有两个面互相平行D.长方体是正四棱柱C.PCQMD.QCMSP4.一个棱柱是正四棱柱的充分必要条件是()5.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为()A.22B.20A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能7.下列说法中正确的是()A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形①一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；③两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱.其中所有正确的结论有.(填序号) 清华附中高中数学精练：解析几何、立体几何与概率统计9.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是√2,3,6,则这个长方体的体对角线长棱柱的侧面爬行一周到达点A₁,则爬行的最短路程为对一些特殊锥体的称呼。如图所示，取长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,按平面ABC₁D₁斜切一BC剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥D₁-ABCD称为阳马，由四个直角三角形组成的三棱锥D₁-BCC₁称为鳖膘。已知长方体,按以上操作得到阳马，则该阳马的最长棱*12.如图所示，往透明塑料制成的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁容器内灌一些水，将容器底面一边①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；C₁A.①②1.下列说法中正确的是()A.棱锥的某个侧面可以不是三角形B.棱锥的各侧棱长一定相等C.棱台的各侧棱的延长线交于一点积与正方体的表面积之比为()A.1:2B.1:√2C.1:√38.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为8和18,侧棱长为13,则它的表面积正三棱锥，A,B,D,C在同一个平面内.要使塔尖P,Q之间的距离为30m,则底边AB的长为m.10.若正三棱锥的底面边长为a,高为,则该三棱锥的侧面积为·问：(1)折起后形成的几何体是什么?(3)每个面的三角形面积为多少?12.如图所示，正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为41.一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积为()A.10B.20为()4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为0₁,O₂,过直线O₁O₂的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.12√2πB.12πC.8√2π5.正方体的表面积为54,则它的外接球的表面积为()B:B:9.A,B,C是球面上三点，已知弦(连接球面上两点的线段)AB=18cm,BC=24cm,AC= 11.如图所示，有一个底面半径为1,高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离*12.如图所示，一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.求圆柱的最大侧面积及相应的x值.2.已知高为3的棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为1的正三角形(见右图),则三棱锥B₁-ABC的体积为()4.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()6.如图所示，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比7.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图点O到平面VAB的距离为()SS*10.在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分所示),剩余部分折叠成底面边长为√2的正四棱锥S-EFGH(如图2所示),则正四棱锥S-EFGH的试求该组合体的表面积和体积.*12.已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积.1.以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为()2.将直角三角形ABC分别绕直角边AB和直角边AC旋转一周，所得两个圆锥的体积之比为3.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2,则它的体积为()B₁-AC₁E的体积为()5.棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,N分别为棱BB₁,AB的中点，则三棱锥7.长方体的三个相邻面的面积分别为1,2,2,则该长方体外接球的体积为的体积为9.定义：用24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.小雨的积水厚度小于10mm,中雨的积水厚度为10mm至25mm,大雨的A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨*12.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,点M,N分别是棱BC,C₁D₁的中点，点P在底A.必有某三点共线B.必有某三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线2.下列命题中正确的是()C.两两相交的三条直线确定一个平面D.两个相交平面把空间分成四个区域D.A,B,M∈a,A,B,M∈β,且A,B,M不共线→α,β重合4.三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为()A.1B.2C.3D.无数分别是棱DD₁和BB₁上的点，的截面图形是(分别是棱DD₁和BB₁上的点，的截面图形是(),那么正方体的过点M,N,C₁A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8.设平面α与平面β相交于l,直线aCa,直线bCβ,a∩b=M,则Ml.②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内；③三条两两相交的直线在同一平面内；④有三个不同公共点的两个平面重合；⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面.其中正确的个数是D,M,N三点的平面与直线A₁B₁交于点P,则线段PB₁的长为11.如图所示，在四边形ABCD中，已知A求证：E,F,G,H四点共线.1.空间两条互相平行的直线指的是()A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面A.相交B.异面C.平行D.垂直4.(多选)如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,N分别为C₁D₁,A.直线AM与直线CC₁是异面直线C.直线BN与直线MB₁是异面直线D.直线AM与直线DD₁是异面直线(1)直线A₁B与直线D₁C的位置关系是;(2)直线A₁B与直线B₁C的位置关系是;(3)直线D₁D与直线D₁C的位置关系是;(4)直线AB与直线B₁C的位置关系是_A.异面B.平行*10.设△ABC和△A₁B₁C₁的三对对应顶点所在直线AA₁,BB₁,CC₁11.如图所示，E,F分别是长方体A₁B₁C₁D₁(2)求的值. A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则L//αB.若直线a在平面α外，则a//α或a与α相交C.若直线a//b,bCa,则a//αD.若直线a//b,bCα,那么直线a平行于平面α内的所有直线其中正确的个数为()A.1B.23.已知直线L//平面α,点P∈α,那么过点P且平行于l的直线()BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于()6.直线a平行于平面α,a内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有 条.与过点A,E,C的平面的位置关系是9.如图所示，A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN//平面ABC的是()nn能得出AB//平面MNP的图形是(填序号).B11.已知正方形ABCD,如图1所示，E,F分别是AB,CD设棱长为a.(2)求MN的最小值.A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.异面5.已知M是两条异面直线a,b外一点，则过点M且与直线a,b都平行的平面()A.有且只有一个B.有两个C.没有D.有无数个A.1A面AC′D,则D满足的条件是 *9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行.①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为*10.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,P为正方形ABCD内(包括边界)的一动点，E,F分别是棱AA₁,棱A₁D₁的中点.若D₁P//平面BEF,则D₁P的最小值为()(2)若PB//平面MAC,求证：M为PD的中点.(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试6A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线与平面β平行C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D.平面α与平面β不相交A.L//βB.ICβ线DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能B.a∩β=a,a//b→b//α且A.存在一条直线a,使得a//a,a//βB.存在一条直线a,使得aCa,a//βC.存在两条平行直线a,b,使得aCα,bCβ,a//β,b//aD.存在两条异面直线a,b,使得aCa,bCβ,a//β,b//α6.已知平面a和平面β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b//a,则α与β的位置则a与b的位置关系是个与平面ACB₁平行的平面交AB于M,交BC于N,则A₁f6 9.如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁面与上底面ABCD的交线为PQ,且点Q在CD上，则PQ=*12.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°,PAPD上，且PE=2ED.在棱PC上是否存在一点F,使得BF所在平面与平面AEC平行?证明你的结论.A.平行B.相交C.异面D.垂直2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面a所成的角为A.30°B.45°C.60°3.如图所示，如果MC⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直5.如图所示，若长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1,AB₁与底面6.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交所成的角为30°,则该长方体的体积为.线BC上只有一个点Q满足PQLQD,则实数a的值为*10.如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP与BD₁垂直，则动点P的轨迹(2)求三棱锥C-BDB₁的体积.CD=1,M是PB的中点.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.①③B.①④C.③④D.3.如图所示，已知ABCD-A'B'C′D'为正方体，则下列结论错误的是C.B'C⊥DC′A.三棱锥C₁-PB₁C的体积为定值D.存在点P使CP⊥平面AB₁D₁给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥P-AB₁D₁的体积为定值；③对任意点P,都有DP⊥A₁C;④存在点P,使得A₁P⊥平A.①③B.②④后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面D.HG⊥△AEF所在平面以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：(用序号表示)(写出一种条件即可)*9.如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,线段B₁D₁上有两③三棱锥A-BEF的体积为定值；④异面直线AE,BF所成的角为定值.其中正确结论的序号是*10.如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,N,P分别是B₁C₁,③BMLC₁P;其中正确的序号为*12.如图所示，在正方体ABCD-A₁B(2)求证：B₁G⊥D₁E.A.a⊥γ且llmB.a⊥γ且m//βC.m//β且lLmD.a//β且a⊥γA.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCAC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE平面ABC内的正投影H必在()A.直线AB上B.直线BC上(用序号表示)7.如图所示，已知正方形ABCD和正方形DCEF的边长都为2,M,N分别为AB,DF的中点.平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长C.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC*9.如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A,B两点),直线*10.如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC,AD=AB,面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-A.AD⊥平面BCDB.AB⊥平面BCD(2)平面BDMN⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.(1)若AB=AD,直线PB与CD所成的角为45°,求二面角P-CD-B(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD,并说明理由.A.m//γ,α⊥γB.n//β,α⊥γC.β//γ,α⊥γY,则a⊥γ;②若a⊥β,mCa,nβ,则m⊥n;③若m//a,nCm,y∩β=n,则m//n.其中正确命题的序号是()A.①④B.①②BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形使平面PDE⊥平面EBCD,则PC的长为()A.2√3B.2√2A.AB与CD可能垂直B.点A在平面BCD内的射影可能是点BC.AB与CD不可能垂直D.平面ABC与平面BCD不可能垂直面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD,E为棱PC上一①三棱锥A-D₁PC的体积不变；ACD=4,BE垂直AC于点E,BF垂直AD于点F,连接EF.②平面BEF⊥平面ACD;③棱AD为三棱锥A-BCD外接球的直径；④三棱锥A-BEF的外接球表面积为24π.*10.在三棱锥D-ABC中，已知AB=BC=2,AC=2√3,DB=4,平面BCD⊥平面ABC,且DB⊥AB,则以下结论正确是(填序号).②平面DAB⊥平面ABC;③三棱锥D-ABC的体积为④三棱锥D-ABC的外接球的表面积为32π.EC,点F,G分别是EC,AB的中点.求证：(1)直线FG//平面ADE;(2)平面ADE⊥平面EBC.(1)求证：AD⊥PB;*(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?证明你的结论.A.若m//n,nCα,则m/沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,如图2所示，则四面体6 ①四边形BFD₁E一定是平行四边形；②四边形BFD₁E有可能是正方形；③平面BFD₁E有可能垂直于平面BB₁D;④设D₁F与DC的延长线交于M,D₁E与DA的延长线交于N,⑤四棱锥B₁-BFD₁E的体积为定值.以上命题中真命题的个数为()*8.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,NA.有且仅有1条B.有且仅有2条C.有且仅有3条D.有无数条BC=1,则异面直线A₁B与AC所成角的余弦值是_CD,PD=AD=DC=2AB,则直线PB与平面PDC所成角的正弦值(1)求证：EF//平面PBC;(2)求证：平面PBD⊥平面PAC.CC₁的中点.(2)设E为BC的中点，线段AB₁上是否存在一点Q,使得QE//平面A₁ACC₁?若存在，求四棱锥Q-AA₁C₁C的体积；若不存在，请说明理由.1.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则AB+BC+CDA.ADB.BDA.a+b—cB.c—a—bA.AB+AD+AA₁BC.AB+A₁D₁+C₁A₁D. A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可能2.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a—b)·a等于()3.已知空间向量a,b,|b|=4,|a|=2,,则b在a上的投影的数量为()4.已知正四面体A-BCD的棱长为1,且AE=2EB,AF=2FD,则EF·DC等于()C.AD₁与A₁B的夹角为60°D.AD₁在BC上的投影为BCC.2FG·AČD.A.60°B.45°C.120°*8.已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,则下列向量的数量积一定不为0的是()C.AB·AD₁9.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,,若n⊥(tm+n),则实数t的值10.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值(1)设侧棱长为1,求证：AB₁⊥BC₁;(2)设AB₁与BC₁的夹角为,求侧棱的长.A.{3a,a—b,a+2b}B.{2b,b—2a,C.{a,2b,b—c}D.{c,a+c,a—c}b,AD=c,则BE等于()C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面4.{e₁,e₂,e₃}是空间的一组基底，向量a=e₁+e₂+e₃,b=e₁+e₂—e₃,c=e₁—e₂+e₃,d=5.若点M,A,B,C互不重合且无三点共线，则能使向量MA,MB,MC C.OM=OA+OB+OČD.MA=2MB-MC 2,点N为AA₁的中点.则|BN|=mOB+nOC=0,那么λ+m+n的值为11.已知点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)证明：E,F,G,H四点共面；*12.如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，0为AC1.已知两个非零向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),它们平行的充要条件是()2.已知a=(x,3,1),b=(2,y,4),若a=zb且c=(x,y,z),则c等于()3.已知向量a=(2,-1,3),b=(一4,2,x),c=(1,—x,2),若(a+b)⊥c,则x等于()A.4B.—44.已知向量a=(—2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,一6,2),则下列结论正确的是()A.a//b,a//cB.a//b,a⊥cC.a//c,a⊥bD.aLb,a⊥c5.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,—2),c=(7,5,λ),若a,b,c三个向量能构成空间的一个基7.已知a=(cosa,1,sina),b=(sina,1,cosa),则向量a+b与a—b的夹角的大小为8.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,—4,—6),|cl=√14,若(a+b)·c=7,则a与c夹角的大9.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围 (1)求向量a,b,c;(2)求向量a+c与向量b+c夹角的余弦值.1.如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,B₁,则BE₁等于()2.已知A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为()且A,B两点关于y轴对称，则x,y,z的值依次是()A.1,-4,9B.2,—5,—8C.2,5,8D.—2,—5,8A.0B.π5.已知A(1,0,0),B(0,—1,1)6.已知点A(1,—2,11),B(4,2,3),C(6,—1,4),则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8.已知点P(-2,3,1)关于原点的对称点为P₁,点P关于xOz平面的对称点为P₂,则线段 11.已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁,底面边长AB=2,AB₁⊥BC₁,点O,01分别是边AC,A₁C₁的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；(3)求AB₁与BC夹角的余弦值.1.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l₁,l₂的方向向量.若l₁//L₂,则()A.x=6,y=152.若异面直线l₁,l₂的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l₁与l₂的夹角的余弦值等于()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.以上都CC₁,则BM与AN所成的角的余弦值为()与BN所成角的余弦值为()6.已知四面体O-ABC的各棱长均为1,D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的A.EF至多与A₁D,AC之一垂直B.EF⊥A₁D,EF⊥AC68.若直线l₁的方向向量为v₁=(1,3,2),直线l₂上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是的角为(1)求异面直线AO₁与B₁E所成角的余弦值；(2)作O₁D⊥AC于点D,求O₁D的长.AE=BF=x,其中O≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E,F的坐标；(2)求证：A₁F⊥C₁E;(3)若A₁,E,F,C₁四点共面，求证：1.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的一个法向量为n=(2,x²+x,-x),若直线l//α,2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,—3,4),B(9,2,1),则直线AB与坐标平面()A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.yOz相交3.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),a的一个法向量为n=(3,1,2),则在平面α内的点是4.已知点A(0,1,0),B(-1,0,一1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为()A.(1,0,-2)B.(1,0,2)C.(-1,0,2)C.(4,—6,2)D.(-2,3,—1)6.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，且AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),A.APLABB.AP⊥BDC.AP是平面ABCD的一个法向量D.AP//BD7.已知AB=(-3,1,2),平面a的一个法向量为n=(2,-2,4),点A:不在平面a内，则直线AB与平面α的位置关系为()A.ABLαB.ABCαAF=1,M在EF上，且AA.(1,1,1)9.若直线l的方向向量为a=(2,1,m),平面a的法向量为,且lLα,则m的值DD₁上的点，如果B₁E⊥平面ABF,则CE与DF的长度之和(2)能否在平面PAD内找到点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.1.若平面a,β的法向量分别为u=(2,—3,5),v=(-3,1,—4),则()2.已知平面α的一个法向量是(2,-1,1),a//β,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是A.(4,2,—2)B.(2,0,4)C.(2,-1,—5)D.(4,—2,2)3.已知平面α的法向量是(一4,6,2),平面β的法向量是(x,-3,-1),若a//β,则x的值是SC与BC所成的角为()A.30°B.45°C.60°5.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平行β的一个法向量为n=(-1,A.a//β6.已知平面a内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(A.-1,2B.1,-2C.1,2A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对8.若平面α的一个法向量为v₁=(-3,y,2),平面β的一个法向量为v₂=(6,—2,z),且a//β,9.两平面a,β的法向量分别为μ=(3,一1,z),v=(-2,一y,1),若a⊥β,则y+z的值该四棱锥的体积为12.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱C*(2)若平面A₁BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平A.30°2.若平面α的法向量为μ,直线l的方向向量为v,直线l与平面α所成的角为θ,则下列关系式3.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论错误的是()C.△ADC为等边三角形D.AB与平面BCD所成角为60°4.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a,α的法向量为n,若,则l与α所成角是