题组9 不等式与线性规划教案

题组9不等式与线性规划

一、考法解法

命题特点分析

本部分内容高考主要考查以下几方面：

(1)考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题.

(2)考直以线性目标函数的最值为重点，目标函数的求解常结合其代数式的几何意义(如

斜率、截距、距离、面积等)来求解.

(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查

一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等.

不等式部分重点掌握一元二次不等式的解法，特别是含有字母参数的一元二次不等式的解

法，基本不等式求最值，二元一次不等式组所表示的平面区域，包括平面区域的形状判断、

面积以及与平面区域有关的最值问题，简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用.对不

等式的深入复习要结合数列、解析几何、导致进行.

解题方法荟萃

1.解一元二次不等式或，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函数间的关系.

2.使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是

创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中

要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目

的.在使用基本不等式求/函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条

件，尽量避免二次使用基本不等式.

3.平面区域的确定方法是"直线定界、特殊点定域"，二元一次不等式组所表示的平面区

域/是各个不等式所表示的半平面的交集.线性目标函数中的不是直线在y轴上的截距，把

目标函数化为可知是直线在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得

最大值、什么情况下取得最小值.

二、真题剖析

【题干】（2019新课标全国II卷5）设，满足约束条件，则的最小值是（）

A.-15B.-9C.lD.9

【答案】A

【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，可知当目

标函数经过点时取得最小直，最小值为-15,选A

（点评）本题考查简单的线性规划求最值问题.

【题干】（2019新课标全国I卷16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型

材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲

材料0.5kg,乙材料03kg,用3个工时.生产T牛产品A的利润为2100元生产一件产品

B的利润为900元.该/企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条

件下，生产产品A.产品B的利润之和的最大值为元

【答案】216000

【解析】由已知确定可行域,，目标函数为

由图得在4（60,100）处取得最大值为216000

（点评）本题的背景是企业的生产安排问题.企业的利润受到材料数量和工时的限制，所以本

题的本质/是带有约束条件的线性规划问题.本题考查考生对实际问题的理解和应用数学手

段解决实际问题的能力，考查数形结合的数学思想

【题干】（2019新课标全国n卷）若x,y满足约束条件/,则/的最大值为.

【答案】|3

【解析】画出可行域如图，由图可知使得儆最大值的点为/,得/。

（点评）本题是线性规划问题中的基本问题（给出可行域，求截距的最值），只要细心作凰画

出目标函数所在直线，就能观察出最优解。题目不难，属容易题。

【题干】(2019新课标全国II卷)设函数f(x)=/sin/.若存在f(x)的极值点x0满足

x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()

A.(-oo,-6)U(6,+oo)B.(-oo,-4)U(4,+oo)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-co,-1)U(4,+oo)

【答案】A

【解析】(命题意图)考有三角函数的最值，考查导数的应用，考直不等式的解法

(解题点拨)「f(x)=/sin/的极值为土/,gp[f(xO)]2=3,|x0|</

/.x02+[f(xO)]2>/+3,/./+3<m2,解得|m|>2,故选C

(点评)综合考查的数导数不等式.

【题干】(2019新课标全国I卷)不等式组/的解集记为/.有下面四个命题：

其中真命题是()

【答案】C

【解析】(命题意图)本题通过线性规划模型来考查命题的真假判断与应用，巧妙地嗨性

规划与常用逻辑结合在一起，着重考查作图能力，熟练作图，正

确分析是关键，属于中档题1kg

(解题点拨)解法I选C(作图验证)

作出可行域如图：设/,即/,当直线过/时，/,.•・/,・•・命题/、/真命X

题，选C

解法2选C(特殊点验证)

取点(40)代入/=4,则历成立，所以/成立，而不成立，排除A.B.D选C

(点评)因为作图需要一定的时间，所以解法二取特殊点验证更节省时间，提高解题效率，线

性规划是高考热点之一，考查内容涉及最优解、最值、区域面积与形状等,通常通过画可行域、

移线、数形结合等方法解决问题。近几年，高考对线性规划的问题的考查不再仅仅是对常规

问题的考直，在知识点的交汇处命题成为高考的一个新热点。

【题干】（2019新课标全国I卷）知/分别为/的三个内角/的对边,/二2,且/,则/面积的最大

值为.

【答案】G

【解析】（命题意图）本题主要考查正弦定理及基本不等式的应用，属于中档题.

（解题点拨）由/且/,

即/,由及正弦定理得:/

.•/故/,・・/・・・/

［另解］由/且/,

即/,由及正弦定理得：（/

然后利用角形式的余弦定理可计算得A=g。后面过程同解法1

（点评）由条件利用正弦定理可得/.再利用基本不等式可得/,当且仅当b=c=2时，取等号，

此时，AABC为等边三角形，从而求得它的面积.此题是常规的解三角形的问题，无论是解法

1的角化边还是解法2的边化角，核心'技巧都是及时地把/换作/。不过对比而言，解法2处

理起来较复杂一些。正弦定理和余弦定理是高中数学的两个重要定理，应用极为广泛,是历年

高考考查的重点，近几年的高考命题强调能力立意，加强对正弦定理和余弦定理综合性和应

用性的考查。

三,高考圈题

【题干】1.已知x>Qy>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是（）.

A.3B.4C.D.

【圈题理由】均值不等式是高考考查的重点内容.当函数或代数式具有"和是定值"、"积是

定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值.在具体题目中，一般很少考查

基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系/,然后利用基本

不等式得出结果.

【答案】B

【解析】•.x+2y+2xy=8,/.y=>0,/.-l<x<8,

/.x+2y=x+2*=(x+1)+-2>2-2=4,此时x=2,y=l,故选B.

【题干】2.已知a,干CWR,函数f(x)=ax2+bx+c^f(0)=f(4)>fQ),则()

A.a>0,4a+b=.B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=.D.a<0,2a+b=0

【圈题理由】综合考查二次函数图像与性质，不等关系.

【答案】A

【解析】•/f(0)=f(4)>f(l),/.c=16a+4b+c>a+b+c,/.16a/+4b=0,即4a+b=0,且

15a+3b>0,即5a+b>0,而5a+b=a+4a+b,「.a>0.故选A.

【题干】3.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则

+的最小值为().

A.B.C.D.4

【圈题理由】线性规划的实质曷巴代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一,

准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜

率进行比较，避免出借，比如上题中目标函数所对应直线的斜率-<0；三，一般情况下，目

标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

【答案】A

【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分.

当直线ax+by=z(a>0,b>0)过期x・y+2=0与酸3x・y・6=0的交点(4,6)时,目

标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.所以+==

+>+2=

出,分层训练(20题)

基础过关(第1—10题)

【题干】1函数的最大值为.

【答案】2叵

【解析】将函数平方得至IJV=2x—1+5—2x+2J(2x-1)(5—2x)

,当且仅当即时取

此时y=2jL

【题干】2在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于

2,则a的值为()

A.-...B....C....D.3

【答案】D

【解析】由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为&ABC,其中A(l,0),

B(0zl),C(l,l+a)fia>-1,因为S^ABC=2,所以x(l+a)xl=2,解得a=3.

【题干】3.已知，且，的最小值为.

【答案】4

【解析】，

VQY

当且仅当上=一即x=Ly=3时取"=”.

xy

【题干】4若x£[0,+8),则下列不等式恒成立的是().

A.ex<l+x+x2B.<1-x+x2

C.cosx>l-x2D.In(l+x)>x-x2

【答案】C

【解析】正确命题要证明，错误命题只需举一个反例即可.如A,因为e3>1+3+32,故A

不恒成立同理当x=时，>l・x+x2,故B不恒成立因为'=-sinx+x?O（xe[O,+河）,

且x=0时，y=cosx+x2-l=0,所以y=cosx+x2-l1恒成立所以C对；当x=4

时,/ln（l+x）<x-x2,故D不恒成立.

【题干】5已知不等式的解为，求不等式

ex2+（。+b）x+6（b-。）<0的解集.

【答案】-1<x<2

【解析】由题意得，根据韦达定理:一

原不等式可化为，即，

得—1<x<2.

【题干】6关于的方程的两个根分别为,，且/,则的取值/范围为.

【答案】一

【解析】此题实质上是与函数根的分布相结合的隐含的线性规划问题，不妨设

,由题意可得，由此可得到的限定条件，以的坐标为横坐标，为纵坐标，画出可行域，则为可

行域内的点与原点连线的斜率，易得斜率取值范围为，注意区间端点不可取得。

【题干】7设z=kx+y,其中实数x,v满足若z的最大值为12,则实数k=.

【答案】2

【解析】画出可行域/,根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为（4,4）,这

时12=4k+4,k=2.

【题干】8若不等式对叵成立，求实数k的取值范围.

【答案】k<2

【解析】利用分离参数法得:，又，则对于恒成立，则.

【题干】9设函数f(x)=x2-L对任意x£[,+oo),fQ-4m2f(x)<f(x-1)+则

实数m的取值范围是

【答案】(-oo,-]U[,+oo)

【解析】依据题意得・1-4m2(x2-l)<(x-1)2-l+4(m2-1)在xe[,+8)上恒成

立,

即-4m2<--+1在xG[,+8）上怛成立.

即(-4m2)W(--+l)min,

当*二时函数y=・•+1取得最小值

所以-4m2<-,即(3m2+l)(4m2-3)>0,

解得m<-喙或m2坐

【题干】10.变量满足，目标函数，则的最小值是（）

A./B./C./D.

【答案】D

【解析】：根据题意画出可行域如图：

由可得：，平移直线，显然直线过点A时,z的值最/小，孔所以z最小值为，故选择D.

智能拓展（第11-20题）

【题干】11.已知，则的最小值是（）

A.6B.5C.D.

【笞案】C

【解析】：,

【题干】12.已知正数满足，则的最小值为（）

A.B.C.D.3

【答案】A

【解析】：,

当且仅当即时取.故A正确.

【题干】13.若正实数满足，则的最小值是（

【答案】D

【解析】：由化简得

【题干】14.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）

【答案】D

【解析】：因为二次三项式对于一切实数恒成立，所以；又，使成立，所以，故只有，即，所

以二，故选D.

【题干】15.若，则的最小值为（）

【答案】C

【解析】：由，得，即，则械所以当且仅当时等号成立，所以的最小值为4,故选C.

【题干】16.设，则的最小值为（）

【答案】D

【解析】：因为,

所以3a2+—-----+——6〃c+9c2=2/+—-----+(。-3c)

a(a-b)abb(a-b)

,当且仅当时，等号成立，所以的最小值为•故选D.

【题干】17.设均为正数目则的最小值为（）

A.16B.15C.10D.9

【答案】D

【解析】：因为均为正数，且，所以，整理可得:，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍

去），所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选D.

【题干】18.若实数满足，则的最大值为（）

C..D./

【答案】D

【解析】：，设

]

所以最大值为1+

272+3

【题干】19.设/是不相等的两个正数，且，给出下列结沦：①/；②/；③/.其中所有正确结

论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】：因为，设对求导可得，则在上是增函数，在上是减函数，其图象如图所示，因为

不妨设，因为，则，即，所以结论①正确；再由图可知，所以，所以结论②正确；下面先证明,

为此可证明，即证，所以只需证明即可