青岛版小学数学五年级上册《多边形的面积》单元整体教学设计

生活中的多边形

青岛版小学数学五年级上册《多边形的面积》单元整体教学设计

关于数学的整体性、结构性，有不少经典论述。瑞士儿童心理学家皮亚

杰早在其1968年出版的《结构主义》一书中就指出：“如果不从检验数学结

构开始，就不可能对结构主义进行批判性的陈述。……几乎在所有的数学领

域里，并且在逻辑学里，我们都发现了群结构。”在《新数学教育哲学》一

书中，郑毓信教授强调：“数学对象的建构事实上是一种整体性的建构活动。

或者说，数学的对象并非各个孤立的模式，而是整体性的建构。”可见整体

性、结构性是数学学料鲜明的本质特性。顺应这种特性，数学教学也把“整

体”“结构”等作为重要的研究方向。单元整体设计也正是顺应了这一特性，

把分散的知识进行整体设计，给学生完整的知识体系，形成系统的知识框架。

一.单元整体分析

（一）整体分析

本单元知识是在学生学习了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯

形的特征及长方形、正方形面积计算的基础上进行教学的，是今后学习立体

图形知识的基础。平行四边形、三角形、梯形的面积计算是“几何与图形”

领域中的重要内容，在日常生活中有着广泛的应用。

本单元教材编写的主要特点：

1.强调动手操作的学习方式。

本单元教材在探索多边形面积计算方法的过程中，强调动手操作，并在

操作过程中渗透平移、旋转等思想方法，让学生在学习活动中体会知识形成、

发展的过程，了解知识之间的内在联系。

2.注重渗透学习方法。

本单元在探索新知识的过程中，渗透了学习数学知识的一般思路与方法。

比如：学习平行四边形的面积计算时，教材呈现出“联想猜测一实验验证一

得出结论”的研究过程，提示了研究问题的基本思路。在研究平行四边形、

三角形、梯形的面积时，充分体现了转化的思想。

（二）单元内容分析

平行四边形、三角形和梯形的面积计算是在学生掌握了这些图形的特征

以及长方形正方形面积计算的基础上学习的。组合图形是这些基本图形的综

合运用，教材安排在平行四边形、三角形和梯形面积计算之后学习。学生在

计算组合图形的面积时，要把一个组合图形分解成已学过的平面图形，以进

一步认识所学的平面图形的特征，并巩固所学的面积公式。此外，还安排了

不规则图形面积的内容，以提高学生综合应用数学知识解决实际问题的能力。

通过这些内容的学习，一方面让学生运用转化的思想方法推导出面积计算公

式，积累数学活动经验。另一方面，在自主探索组合图形的面积等活动过程

中发展空间观念。同时，这些也是进一步学习圆面积和立体图形表面积的基

础

本单元安排了4个信息窗和1个“相关链接”，呈现了生活中常见的场

景。

第一个信息窗通过创设工人安装楼梯玻璃的情境，提出“这块玻璃的面

积是多少平方米”，引导学生深入研究平行四边形面积的计算方法。

第二个信息窗通过创设工人制作标志牌的情境，提出“制作这块标忑牌

需耍多少平方分米的铝皮”，引导学生探索三角形面积的计算方法。

第三个信息窗，通过创设工人制作椅子的情境，提出“制作这个椅子面

需要多少平方厘米的木材”，引导学生探索梯形面积的计算方法。

第四个信息窗通过创设参观虾池的情境，提出“虾池的面积是多少平方

米”，引导学生探索简单的组合图形面积的计算方法。

“相关链接”呈现了一个新建学校的平面图，提出“1公顷有多大”，通

过“小博士”的介绍，引导学生理解并感受1公顷和1平方千米的大小，并

能在实际生活进行灵活运用。

本单元教材编写的基本结构如下:

第且倒4

安装修仲吸国祸件标志Q飨底虾ft

这坎殿M的这个制作这个

■的面怀本牌需椅

帜基多襄方少平♦名少平如池的面

少平方|I公惯的F

万分米的方燎米的枳玷多少

大？

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湎睢加含认识潴量土♦的

，'行四功二的形阖梯形面枳

黑形面枳念用西则羊位公

枳什算公计算公式

的计将博知平方F米

算公式

（三）课程标准中的解读

学生的观察、分析、概括和动手能力，发展学生空间观念，是本单元的教学

难点也是重点，在小学阶段“几何与图形”领域的学习中起着举足轻重的作

用，平行四边形面积的计算，是先借助数方格的方法，得到平行四边形的面

积；再引导学生将平行四边形转化为一个长方形，推导出平行四边形的面积

计算公式。三角形的面积计算就直接耍求学生将三角形转化为已学过的图形

推导出面积计算公式。到梯形面积的计算，要求学生综合运用学过的方法自

己推导出面积计算公式。每一种图形教学均没有给出推导的过程和计算公式,

以便于学生从多种途径探索，自己得出结论，从而给教师和学生都留有较大

的创造空间。一系列转化的方法一脉相承，把未知转化成已学过的知识，方

法可以完全迁移，打通了不同图形之间的内涵联系。

四.教学目标

L通过观察、操作，掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，并

能正确计算相应图形的面积；了解简单组合图形面积的计算方法。

2.经历探索平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的过程，培养观察、

比较、推理和概括能力，渗透转化思想，发展空间观念。

3.能用有关图形的面积计算公式解决简单的实际问题。在解决问题的过程

中，感受数学和现实生活的密切联系，体会学数学用数学的乐趣。

五.单元教学重点、难点，

教学重点：探索平行四边形、三角形、梯形及组合图形的面积公式推

导过程

教学难点：培养学生观察、比较、推理和概括能力，渗透转化思想，

发展空间观念。

六.单元教学设计建议

本单元的教学重点是学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。

教学时，应引导学生通过动手操作、观察、分析等活动让学生自主探索，使

学生不仅掌握面积计算的方法，还要参与面积计算公式的推导过程。通过学

生主动参与探索过程，培养分析、判断、推理、抽象、概括能力，发展学生

的空间观念。

1.重视让学生经历知识的探索过程。

(1)平行四边形的面积教学

根据三种不同的思路：猜测平行四边形的面积可以用邻边相乘得到；可

以用数方格的方法来求；把平行四边形转化成长方形来求面积。接着教材呈

现了把平行四边形转化成长方形的验证过程，通过长方形和平行四边形的关

系推导出平行四边形的面积计算公式。

温馨提示：

1.做一做:想办法把平行四边形转化成学过的图形。

2.找一找：转化成的图形和原来的平行四边形有什么关系？

3.想一想：平行四边形的面积该怎么求？

教学时可以引导学生经历“联想猜测一实验验证一得出结论”的过程，

探索出平行四边形面积的计算方法。教学中，要关注两次“猜测一验证”和

两次转化。

两次“猜测一验证”：

第一次猜测是学生根据长方形的面积公式猬测平行四学边形的面积是邻

边相乘，通过活动学具用反证法来验证，根据假设，邻边不变，其面积应该

不变，但平行四边形的活动学具在拉动的过程中，邻边不变，面积却发生了

变化，实际与假设矛盾，所以假设不成立。

第二次是猜测平行四边形面积是否可以转化成长方形面积来计算，通过

剪拼平行四边形学具来验证。

两次转化：一次是平行四边形转化成长方形；另一次是公式的转化。

把平行四边形转化为长方形以后，面积有没有变化？平行四边形的底相

当于长方形的什么？平行四边形的高相当于长方形的什么？引导学生一一对

应，完成公式的转化。

在推导平行四边形的面积公式时，要注意：

第一，不仅要让学生去猜测，还要让学生说出猜测的依据。

第二，要给学生自主探索的机会，让他们充分展示探索的过程和结昊，

并用自己的语言进行表述。

第三，当出现割补的方法时，教师应让学生先交流想法，再指导操作活

动，体会转化思想在几何学习中的作用。

第四，重视操作后的分析与比较，使学生明确平行四边形面积与转化后

的长方形面积及各部分之间的关系。

知！也，1寸并力比K为佗»jW***彳-7也摊NI'HJ4「冬木/MJX系

K已依1巾1和！=氏X

、产彳j17也3上「肉1/"和！=J氐x

、产行口“运^^的面和工=/ssx荷

»用字母表示：S=ch

【设计意图】：教师完全放手让学生在小组活动中选取材料进行实践验

证，教师在关键处引导学生去思考、去发现。引发学生不断深入唱考，推导

出平行四边形面积计算公式。学生真正经历了像数学家一样探究平行四边形

面积计算公式的过程。

（2）教学三角形的面积

在探究三角形的面积是时，借助学生已有的探索平行四边形面积计算的

基础，引导学生联想采用图形转化的方法推导三角形面积计算公式。借助学

生的已有经验，充分利用三角形学具材料（包括不同大小和不同种类的三角

形）引导学生自主探索。学生可能会用平移、旋转的方法将两个完全相同的

三角形转化成长方形或平行四边形，推导出角形面积计算公式。要注意进一

步提炼转化思想：用两个完全一样的三角形拼在一起探索三角形面积计算方

法，实质上是把三角形转化成已学过的图形，是把未知转化成已知。

探索活动要求：

A.想一想。求标志牌的面积，实际上就是求什么图形的面积？

B.猜一猜。平行四边形的面积计算公式是把平行四边形转化成长方形推导

出来的。三角形呢？会验证你的猜想吗？

C.做一做。利用学具（两个完全相同的三角形）拼一拼，摆一摆，看看

你有什么发现。

预设1：剪拼预设2：

剪拼

预设3：以盈补虚

“半广者”，以盈补虚，为直田也。

预设4：发现法

预设5：三角形和平行四边形的关联预设6：三角形折叠法

拼成的平行四口形，”京来的：ffj膨之fiij/j怎样的关系呢？

乎打叫「膨晌而机等

J四小三角膨的面枳.

箝叫边形的底等J三“I形晌

底.正打四边形的岛等「二ffi

形的高。

:角形的而枳=平行四边形的面视+2

I

=底X高-=-2

三角形的面枳底X高4-2

川字修友示：Sah-S-2

1、折叠后的长方形的宽,朦三角形的

（高的中）

2,折我后的长方彬的长=原三地形的

s（底的•华）

3、原三角形的面积二折厘后

长方形面枳的（2倍）

JL

三角形的面枳=底+2X高+2X2

三角形面积的推导，不同版本设计思路有着明显的不同:

青岛版是引导学生用两个完全相同的锐角三角形、直角三角形和钝角三

角形拼成一个平行四边形。

人教版、北师大版都是启发学生运用已有的知识经验，把三角形剪拼成

长方形或平行四边形，还启发学生用两个相同的三角形拼成一个平行四边形,

从而

用不同的方法推导出三角形的面积公式。

苏教版通过观察平行四边形分成两个相同的三角形，进而思考三角形的

面积和它等底等高平行四边形面积之间的关系。

在探究三角形面积的推导过程中，根据学生的认知规律，因为平行四边

形的面积是剪拼推导出的面积公式，三角形面积的推导，学生可能很自然的

会想到剪拼，所以我认为人教版中的剪拼法更符合学生的认知规律，然后再

借鉴苏教版中的观察法发现三角形的面积和它等底等高平行四边形面积之间

的关系。

【设计意图】学生充分经历了平行四边形面积的推导过程，自然会想到

“转化”的数学思想方法。通过学生大胆猜测，选择图形一动手操作一观察

一交流一讨论一汇报得出公式的系列过程，可以使学生很自然地产生，一步

步向前探索的需要。学生既理解公式的来龙去脉，又实实在在经历探究与发

现的全过程，既让学生掌握探索问题的一般方法，又使学生感受到数学方法

的内在魅力

（3）教学梯形的面积

教学梯形的面积时，根据生活情境图提出“制作这个椅子面需耍多少平

方厘米的木材？”根据学生已有的经验，让学生自主探究，学生可能会迁移

类推以上的转化方法，将梯形剪拼成长方形或平行四边形，再通过观察剪拼

成的平行四边形与原来梯形的直观图，让学生对比分析，发现拼成后的平行

四边形与原来梯形的关系，进而推导出梯形面积公式。

由于学生受已有经验的影响，可能会用两个完全相同的梯形转化为平行

四边形，也有可能用一个梯形剪拼成已学过的其他图形。最后在充分交流的

基础上，得出梯形面积的计算公式：梯形的面积;（上底+下底）X高一2,最

后，利用公式计算出椅子面的面积。

探索活动要求：

A.想一想。求椅子面的面积，实际上就是求什么图形的面积？

B.猜一猜。可以把梯形转化成什么图形来研究？会验证你的猜想吗？

C.做一做。利用学具拼一拼，摆一摆，看看你有什么发现。

【设计意图】借助前面研究的经验，让学生自主归纳，营造生生互动

的学习氛围，会让学生体验到自主探究获得成功的喜悦，激发学生学习数学

的热情。最后，教师引领学生回顾整个研究过程，总结研究的方法，帮助学

生积累数学活动经脸。

预设1：迁移类推

预设2；拼摆转化

预设3：剪拼转化

上底

旭翻分成两个三角形,分别颠积,然后计算它们的利

把翻分成两个三角形,如酬示，一体左下,

个似i上。

右上三角形的面积=上底X高+2

左下三角形的面积:下底X高+2

所以梯形的面积=上歙高+2+卜•底X高+2

=（上届+下底）X高+2

因此梯形的面枳=（上底+下底）X高-2

平行四边形的毓是原翻的上底,三触的底是翻的下底与上底之差

把两个完全对I|，ij的梯形拼成一平行四边形O

梯形的面枳=平行四必形的而积4-2

育

底

一X2

一UQ

7m。X2

r..'J

想一想：梯形的而税“算公式是怎样的？会川字母我系【吗？

梯形的面积=（上底+下底）x高+2

用字母表示：S=（a+b>h4-2

【设计意图】探究环节给予学生充足的时间和空间，让孩子借助学具动手操

作，观察发现。在全班的交流过程中相互启发，拓展思维。适时借助课件可

以帮助学生更为直观清晰的观察图形各部分之间的关系，将整个推导过程更

加直观化。

（4）教学组合图形的面积

教学组合图形的面积时，学生受已有经验的影响，可能用“割”的方法

进行图形的转化，也可能用“补”的方法进行转化，只要有道理，教师都要

给予肯定。在完成对组合图形的转化之后，让学生独立进行计算。组织交流

时，要让学生说清自己的解题方法，在相互沟通中体验解题方法的多样性。

咨补法

/

求组合图形面积的一般方法：

⑴分割法：可以把一个组合图形分成几个简单的图

.形，分别求出这几个简单图形的面积，再求和。,

⑵添补法：可以把一个组合图形看作是从一个简单图

形中减去几个简单的图形，求出它们的面积差。

【设计意图】学生采用多种分割方法与添补法计算组合图形的面积，能

形成多角度思考问题的习惯。在学生探究时给学生充足的探索时间和机会，

让学生借助直尺在组合图上画一画，用添加辅助线的方法找出尽可能多的解

题方法，培养学生的发散思维，然后通过比较的方法让学生从中优化出解题

的最佳方法：“割”或“补”的平面图形越少越容易计算

2.重视渗透“转化”思想。

通过本单元中平行四边形转化为长方形，三角形转化为平行四边形或长

方形，梯形转化为三角形和平行四边形，组合图形转化为基本图形等渗透转

化思想。

平行四边形的转化过程：

三角形面积的转化：剪拼

三角形面积的转化：拼摆

把•个梯形割补成•个平行四边形。

梯膨的而枳=平行四边形的面枳

底X高

把两个完全相同的梯形排成一平行四边形。

上成卜位悌形的血枳=平行四边形的而枳+2

卜概1U=（上底+下底）X岛+2

想•想；梯形的面积计”公式是怎样的？会用字母表示吗？

梯形的面枳=（上底+卜-底）X高+2

用字母表示：s=（a+b）h+2

灵活选择分割法或者填补法分析组合图形的面积：

3.渗透数学文化，关联不同方法

在了解我国古代数学史关于多边形面积的计算方法的记载以及数学

家关于多边形面积的研究后，增强民族自豪感；在多边形面积计算方法推导

的探究过程中，感受不断探索的数学精神，体会多边形面积计算的简洁美。

在解决问题的过程中，感受多边形面积计算在生活中的运用，激发对数学的

热爱。

出入相补：在教学平行四边形面积公式推导后，补充古代的“出入相补”

原理，以及《九章算术》中的记载，渗透数学文化，激发学生的民族自豪感。

我国古代三国时期魏国的数学家刘徽就总结出了“出入相补”（又称“以

盈补虚”）的思想，就是一个图形可以任意旋转、倒置、移动、复制，面积

保持不变，或者是一个图形可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积

保持不变，这种思想对于将来学习的立体图形同样适用，这一简单明了的思

想，为后来复杂的数学几何证明提供了解决思路，正可谓“大道至简”。

你知道吗?

我国古代数学家刘微利用出入相补原理来计算F面囹形的面积出人

机补原理就是把一个图舷经过分割、移补,而面积保持不变，来计算出

它的面机如下留所示，们显示了平面图形的转化,

在教学梯形面积时，再一次引用“出入相补”（又称“以盈补虚”）的

思想。

《九章算术》：

为了渗透数学文化，在三角形面积推导面积公式后补充《九章算术》中、

的记载：

◎你知道吗"

大触肝年肌我国数学名著（九鞘木）中的“方瞳r雌

述了啊福形醐的算法。书中也“方咻日,广从*步数根m机步”

其中“方『是指长方形mt“广”旷从”是指长和宽,也雕说:

施二Kx宽还说：珪田术日，半广以来正从“就1晚：

三角形面积=底乂高以

—二,柳一

原文

［二十五］今有圭'田广②十二步正从③二十一步。问为田几何。

答日：一百二十六步。

术日：半广以乘正从。

注释

①圭：圭形，指三角形。②广：三角形底边长。③正从：三角形底

4.回顾整理并概括提升

在探究了平行四边形、三角形、梯形、组合图形的面积之后，引导学生

回顾各种公式的推导过程，沟通图形之间的联系，适时对转化思想进行概括

提升。

平行四边形面枳计算公式推导:

长方形的面枳二KX宽

IIII_II

平行四边形的面枳二底X高

平行四边形的面枳底x高

用字母表示:S=ah

三角形面积计算公式推导:

三角形的面积=底乂高+2

用字母表示：Sah-?2

梯形面积计算公式推导:

2

2

2

梯形的面积=(上底+下底)X高+2

用字母表示：S=(a+b)h4-2

组合图形的面积

分割法：将组合图形分割成两个或两个以

I.的基本图形的方法。

s圾介二s用形+s氏力形

(10-4)X(12-8)+2+10X892(cm2)

10cm

添补法：通过添加辅助线，将组合图形转

化成基本图形的方法。

s堀介二S火K方形"SH；形

10X12-(10+4)X(12-8)4-2=92(cm2)

图形之间的关系:

知识结构图

/平行四边形的面积一Sah-

I［，、~11

转

三角形的面枳一S弱.2{8［s；］：

I转

多边形的面积［化h2S.（aM

梯形的面枳」一S=（a山）h:24

Ia山二2S+h

［组合图形的面枳也化成求几个简单的平面图形

面枳的和或足

推导面积公式时都用转化了的方法

5.发挥操作在探索活动中的作用。

教学时，教师要注重紧密联系学生的生活实际，从学