小学五年级数学《因数与倍数性质深度探究》教学设计

小学五年级数学《因数与倍数性质深度探究》教学设计一、教材深度解读与教学背景分析【基础】本课教学内容源自人教版小学数学五年级下册第二单元《因数与倍数》，是在学生已经掌握了整数四则运算的基础上，对数论知识的第一次系统接触。本课并非简单的概念介绍，而是聚焦于因数与倍数这两个核心概念的“性质”层面进行深度探究，意在引导学生超越对概念的表面记忆，深入理解因数与倍数内在的规律性、结构性与辩证关系1。从知识体系的纵向联系来看，本课内容起着承上启下的关键作用。“承上”在于，它是整数除法运算中“整除”现象的抽象与升华，将具体的计算经验转化为具有普适性的数学关系；“启下”则在于，本课所探究出的数的性质——如一个数的因数个数有限、倍数个数无限，最小因数是1、最大因数是它本身，最小倍数是它本身等——是后续学习最大公因数、最小公倍数、约分、通分以及分数四则运算不可或缺的理论基础2。可以说，本课是学生建构初等数论知识体系的基石。从知识体系的横向联系来看，因数与倍数的性质探究为培养学生的数学核心素养提供了绝佳的载体。在探究过程中，学生需要经历“操作感知—抽象概括—推理验证—应用拓展”的完整思维链条，这不仅是知识的习得，更是数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的落地生根2。同时，在探究一个数的因数时，引导学生有序、全面、不重复、不遗漏地思考，是对学生思维条理性和严谨性的早期且有效的训练。【热点】在当前的课程改革背景下，本课的设计理念应实现从“教概念”向“育思维”的转变。传统的教学可能止步于让学生记住“什么是因数、倍数”，而代表最高水平的深度探究教学，则要求教师引导学生像数学家一样去“发现”和“论证”这些性质。这意味着教学设计必须创设富有挑战性和探究性的问题情境，提供充分的动手操作与合作交流的机会，让学生在“做数学”和“说数学”的过程中，自主建构知识意义，深刻领悟蕴含其中的数学思想方法，如有序思考、归纳推理、数形结合等26。二、学情精准研判与教学策略调适【重要】五年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段。他们已经具备了初步的抽象概括能力，能够理解并表达一些简单的数量关系。对于“因数”和“倍数”这两个名词，学生在生活中可能有所耳闻，但对其精确的数学定义和内在的辩证关系是模糊的27。学生在学习中可能遇到的主要障碍及教学调适策略如下：其一，对“相互依存性”的理解困难。学生受思维定势影响，容易孤立地说“4是因数”或“24是倍数”，而忽略了因数与倍数必须指明是谁的因数、谁的倍数这一前提。为此，教学伊始，可以通过类比生活中的相互依存关系（如母子关系、师生关系），为学生搭建认知的脚手架，并在每一次概念应用中，强化“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”的规范表述56。其二，在找一个数的因数时，思维的无序性导致遗漏或重复。这是本课教学的核心难点之一。学生往往凭借直觉零散地寻找，难以保证结果的全面性。对此，教学策略不是直接告诉学生方法，而是通过展示“无序找”与“有序找”的对比案例，引导学生自我反思、评价，从而自主建构并优化出“一对一对、按顺序”寻找的策略，即通过乘法算式（哪两个整数相乘等于这个数）或除法算式（这个数除以哪些整数商为整数）来系统枚举58。其三，对“一个数的倍数个数无限”这一抽象性质的感知困难。学生习惯于有限集合的思维，对于“无限”和“省略号”的理解需要借助想象和推理。教学中，可以通过让学生尝试“继续说下去”、“能说完吗”等追问，引导他们从“乘以一个自然数”的生成过程中，感悟到自然数的无限性决定了倍数的无限性15。三、核心素养导向的教学目标体系【非常重要】依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的精神，结合本课内容的育人价值，确立如下四位一体的教学目标：（一）知识与技能目标1.学生能结合具体情境，准确理解因数与倍数的意义，掌握其相互依存的关系，能正确判断并表述谁是谁的因数，谁是谁的倍数。2.学生能在1—100的自然数范围内，自主探究并掌握有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数的方法。3.学生能自主探究并掌握找一个数的倍数的方法，理解并掌握用省略号表示无限个数的数学规范。4.学生能通过观察、比较、归纳，自主发现并总结出一个数的因数与倍数的基本性质：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（二）过程与方法目标1.通过动手操作（拼摆长方形）、观察分类、计算验证等数学活动，经历因数与倍数概念的形成过程，发展抽象概括能力。2.在“找一个数的因数”的探究活动中，经历从无序思维到有序思维的优化过程，体会分类讨论和有序思考的数学思想方法，提升思维的条理性和严谨性2。3.通过小组合作交流，比较不同找因数、找倍数的方法，在分析与评价中，培养合作交流能力和反思意识。（三）情感态度与价值观目标1.在自主探究和发现数学规律的过程中，感受数学的神奇与奥秘，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣和自信心。2.通过理解数与数之间的相互依存关系，初步渗透事物是普遍联系的辩证唯物主义观点。3.在严谨、有序的数学探究活动中，培养一丝不苟、追求真理的科学态度。（四）科学思维目标【难点】重点发展学生的“归纳推理”与“模型意识”。通过观察多个数的因数（如12、18、24、36的因数）的共同特征，归纳出一个数因数的普遍性质；通过构建“M÷N=P（M、N、P均为非0自然数）”或“A×B=C（A、B、C均为非0自然数）”这样的代数模型，来概括因数与倍数的关系，实现从算术思维向代数思维的初步跨越9。四、教学重点与难点的突破策略【高频考点】教学重点：深刻理解因数与倍数的意义及其相互依存关系；掌握有序、全面地找出一个数的因数和倍数的方法。教学难点：理解因数与倍数概念的相互依存性；自主建构并内化有序、不重复、不遗漏地找出一个数全部因数的思维策略；理解一个数的倍数个数是无限的。【难点】突破策略：1.针对“相互依存性”：采用“关系类比法”与“错例辨析法”。开课伊始，即用生活中的“父子关系”进行类比，让学生明白“关系”是相互的，不能单独存在。在概念揭示后，出示“4是因数”这样的错误表述，让学生辨析、改正，在认知冲突中深化对依存性的理解58。2.针对“有序找因数”：采用“操作奠基法”与“策略优化法”。首先，通过用12个小正方形拼摆长方形的操作活动，让学生直观感受“每排个数”和“排数”的对应关系，这是“一对一对”找因数的直观模型26。其次，在寻找18、30、36等数的因数时，让学生充分暴露各种方法（无序的、遗漏的、重复的），然后组织全班对这些方法进行评价、比较和优化，引导学生自己总结出“从1开始，用乘法或除法一对一对地找，一直找到两个数非常接近为止”的最佳策略，并在后续练习中不断强化这一策略。3.针对“倍数个数无限”：采用“追问溯源法”与“符号表征法”。在找2的倍数时，当学生列举出2、4、6、8……后，连续追问“接下来呢？”“再接下来呢？”“能写得完吗？为什么写不完？”引导学生认识到自然数有无限多个，2乘以不同的自然数就会得到无限多个2的倍数，从而理解用“……”来表示无限的合理性56。五、教学准备教师准备：多媒体教学课件（PPT），内含情境图、探究任务、例题与练习；12个小正方形磁力贴或学具投影；学习任务单（含前测题、探究记录表、分层练习题）；板书记划。学生准备：每人准备12个小正方形或圆片；课本；草稿本。六、教学实施过程（深度探究取向）（一）【基础】创境激疑，感知“相互依存”（约5分钟）1.生活类比，引出“关系”。上课伊始，教师亲切谈话：“同学们，在学校里，我们之间是什么关系？（师生关系）。在家里，你和爸爸是什么关系？（父子或父女关系）。这些关系有什么特点？”引导学生说出“关系是相互的，不能单独说我是老师，必须指明我是谁的学生”。这种关系就叫做“相互依存”。（板书：相互依存）2.算式分类，聚焦“整除”。课件出示一组算式：12÷2=6，19÷5=3.8，20÷10=2，30÷7≈4.28，8÷3=2……2，63÷9=7。让学生小组合作，根据“商是否是整数且没有余数”将这些算式分为两类。指名汇报分类结果，教师将整除算式板书在黑板左侧。3.揭示课题，明确目标。教师引导：“观察这些整除算式，我们发现被除数、除数、商之间除了乘除运算关系，还存在着一种特殊的‘相互依存’的数与数的关系。今天，我们就来深度探究这种关系，走进‘因数与倍数’的世界。”（板书课题：因数与倍数性质深度探究）（二）【重要】操作建构，理解核心概念（约12分钟）1.动手拼摆，建立表象。任务一：请同学们用手中的12个小正方形拼成一个长方形。每排摆几个，摆了几排？用一道乘法算式把你的拼法记录下来。看看谁有不同的拼法？学生独立操作后，全班交流，根据学生的回答，课件依次呈现三种拼法及对应的乘法算式：4×3=12，6×2=12，12×1=12。2.结合实例，揭示概念。教师指着4×3=12的算式介绍：“在数学中，根据这道算式，我们可以说：4和3都是12的因数，12是4的倍数，12也是3的倍数。”（板书：4和3是12的因数，12是4和3的倍数）3.即时模仿，内化理解。请学生仿照老师的说法，说一说另外两道乘法算式（6×2=12，12×1=12）中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？同桌互相说一说，再指名回答。4.辨析深化，突出“依存”。教师出示一道除法算式：12÷2=6，提问：“根据这道算式，你能找到因数和倍数关系吗？”引导学生发现除法算式可以转化为乘法来思考。随后，教师故意抛出陷阱：“现在，老师想考考大家。我说‘4是因数’，对吗？我说‘24是倍数’，对吗？”引发学生激烈的思辨。在学生争论中，引导他们得出结论：因数和倍数不能单独存在，必须说清楚“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”，它们是相互依存的19。教师补充板书：因数和倍数是相互依存的。5.明确范围，规定前提。教师说明：“为了研究方便，我们所说的因数、倍数一般指不是0的自然数。”（板书：非0自然数）（三）【难点】【高频考点】深度探究一：发现“一个数的因数”的性质（约15分钟）1.提出问题，初次尝试。课件出示任务二：你能找出18的所有因数吗？请把你的思考过程写在任务单上。看谁找得又快又对。2.展示交流，暴露思维。教师巡视，选取典型作品进行展示。可能会有如下几种情况：情况A（无序遗漏）：找到了1、18、2、9，遗漏了3、6。情况B（有序枚举）：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。情况C（除法思路）：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷4不行……，所以因数是1、18、2、9、3、6。3.比较评价，优化策略。引导学生对比不同方法：“你们觉得哪种方法最好？为什么？”在交流中，让学生自己感悟到：一对一对地找（利用乘法或除法），并且按从小到大的顺序，能够保证不重复、不遗漏。教师顺势板书找因数的方法：有序、一对一对地找。4.练习巩固，迁移应用。任务三：请你用刚才学到的好方法，快速找出24和36的所有因数。学生独立完成，教师巡视指导，指名汇报。在汇报36的因数时，重点处理当因数“撞车”时（如6×6=36），只写一个6的问题。5.观察归纳，发现性质。课件出示12、18、24、36的因数。组织小组讨论：仔细观察这些数的因数，你发现有什么共同的规律？最小的因数是几？最大的因数呢？因数的个数有什么特点？引导学生归纳出：【重要】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的16。6.拓展思考，培养数感。追问：“有没有哪个数的因数只有它本身一个？如果有，会是哪个数？”（为后续学习质数埋下伏笔）。“通过今天的学习，我们能不能说‘1是任何非零自然数的因数’？”引导学生得出结论。（四）【难点】【热点】深度探究二：发现“一个数的倍数”的性质（约12分钟）1.类比迁移，自主探究。任务四：我们已经会找一个数的因数了，那如何找一个数的倍数呢？请你找出2的倍数。先独立思考，然后把你的方法和结果在小组内交流。2.汇报交流，明晰方法。学生可能出现的方法：用2×1=2，2×2=4，2×3=6……依次乘下去。教师追问：“能写完整吗？2的倍数有多少个？”引导学生理解：2的倍数有2、4、6、8……，后面还有很多很多，写不完，所以要用省略号表示。明确找一个数倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数，所得的积都是这个数的倍数5。3.练习巩固，形成技能。任务五：请分别找出3和5的倍数。学生独立完成后，用集合图的方式在投影上展示。重点检查“……”的使用是否规范。4.观察归纳，发现性质。课件出示2、3、5的倍数（用省略号）。组织小组讨论：观察这些数的倍数，你又有什么共同的发现？最小的倍数是几？最大的倍数呢？倍数的个数有什么特点？引导学生归纳出：【重要】一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是无限的69。5.对比思辨，构建体系。引导学生回顾刚才对因数和倍数的探究过程，完成学习任务单上的对比表格（或头脑中构建对比图）。从“个数”、“最小”、“最大”三个维度进行对比总结，形成系统的知识结构。（五）【基础】分层练习，内化应用（约6分钟）1.基础性练习（全员覆盖）。判断并改错：（1）18的因数有1、2、3、6、9、18，一共6个。（√）（2）8的倍数只有16、24、32。（×）为什么错了？怎么改？（3）因为36÷9=4，所以36是倍数，9是因数。（×）错在哪？怎么表述？2.应用性练习（思维提升）。猜数游戏：它是一个非0自然数。（1）我的最小因数是1，最大因数是36，我是（36）。（2）我是50以内7的最大倍数，我是（49）。（3）我是一个质数，但我也是2的倍数，我是（2）。3.拓展性练习（挑战自我）。思考题：一个数既是42的因数，又是3的倍数，这个数可能是多少？你能全部找出来吗？（引导学生综合运用因数和倍数的知识）（六）【总结】反思回顾，构建模型（约5分钟）1.知识梳理。教师引导学生回顾：“这节课我们一起深度探究了因数和倍数的哪些性质？我们是怎样一步步发现这些性质的？”学生畅谈收获，教师根据板书进行系统梳理。2.模型建构。引导学生尝试用字母表示因数和倍数的关系。如果用a、b、c表示三个非0自然数，且a×b=c，那么你能说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？引导学生用字母概括：a和b是c的因数，c是a和b的倍数。3.评价反思。请学生对自己在本节课的表现进行自我评价，包括“我的发现”、“我的疑惑”、“我的好方法”等，培养元认知能力。七、【重要】板书设计（结构化呈现）黑板上方中央：课题——因数与倍数性质深度探究左侧区域（概念区）：右侧区域（性质探究区）：因数和倍数的意义：一、因数的性质（以18为例）在整数除法中，如果商是整数方法：有序、一对一对找而没有余数，我们就说……18的因数：1，2，3，6，9，18（举例：4×3=12）归纳：个数（有限），4和3是12的因数，最小因数（1），12是4和3的倍数。最大因数（本身）。↓【重要】相互依存，非0自然数。二、倍数的性质（以2为例）方法：用2×1，2×2，2×3……2的倍数：2，4，6，8，10……归纳：个数（无限），最小倍数（本身），没有最大的倍数。八、作业设计（一）基础性作业（面向全体）完成课本练习二第2、3、4、5题。要求：找一个数的因数时，必须用有序的方法写出过程；找一个数的倍数时，至少要写出5个并用省略号表示。（二）探究性作业（面向学有余力者）【