小学数学六年级上册分数除法第6课时核心知识清单

小学数学六年级上册分数除法第6课时核心知识清单一、基本概念与原理（一）分数除法的意义▲【基础】【重点】分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。例如，已知两个因数的积是3/4，其中一个因数是1/2，求另一个因数，列式为3/4÷1/2。（二）倒数1.【重要】乘积是1的两个数互为倒数。倒数是对两个数而言，相互依存，不能单独说某个数是倒数。例如，3/8和8/3互为倒数，即3/8的倒数是8/3，或8/3的倒数是3/8。2.求一个数（0除外）的倒数的方法：（1）求一个分数的倒数，交换分子、分母的位置。例如，2/5的倒数是5/2。（2）求一个整数（0除外）的倒数，可以先把整数看成分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。例如，6=6/1，其倒数是1/6。（3）求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，再求其倒数。例如，0.25=1/4，其倒数是4。（4）求一个带分数的倒数，可以先把带分数化成假分数，再求其倒数。例如，1又3/4=7/4，其倒数是4/7。3.★【易错点】1的倒数是1，0没有倒数。因为0乘任何数都得0，找不到一个数与0相乘等于1。（三）分数除法的计算法则▲【核心】【高频考点】一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为：a÷b=a×1/b(b≠0)。对于分数除法，则有：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。4.分数除以整数（0除外）：一个分数除以一个非零整数，等于这个分数乘这个整数的倒数。例如，4/7÷3=4/7×1/3=4/21。5.整数除以分数：整数除以一个分数，等于这个整数乘这个分数的倒数。例如，8÷2/3=8×3/2=12。6.分数除以分数：一个分数除以另一个分数，等于被除数乘除数的倒数。例如，3/5÷9/10=3/5×10/9=2/3。（四）商与被除数的关系▲【难点】【易错点】在除法里，除数不为0。当被除数不为0时：7.除数大于1，商小于被除数。例如，8÷4=2，2<8。8.除数等于1，商等于被除数。例如，8÷1=8。9.除数小于1（且大于0），商大于被除数。例如，8÷1/2=16，16>8。此规律可以帮助我们快速检验计算结果是否合理，也常用于比较分数除法算式结果的大小。二、核心方法与技能（一）分数除法的计算步骤【重要】在计算分数除法时，可以遵循以下标准化步骤，以确保计算的准确率。1.一审：看清题目中有没有括号，是哪种运算（连除、乘除混合等），以及除数的特征（是整数、分数、带分数还是小数）。2.二转：将除法转化为乘法。把除号变成乘号，同时把除数变成它的倒数。注意，只有除数变倒数，被除数不变。3.三算：按照分数乘法的计算方法进行计算。（1）能约分的要先约分，使计算简化。（2）约分时，只能是在分子和分母之间进行，并且是交叉约分。（3）计算时，分子乘分子作新分子，分母乘分母作新分母。4.四查：检查计算结果是否是最简分数；检查计算过程是否符合运算法则；如果题目有特殊要求（如化成带分数或小数），按要求处理结果。（二）分数四则混合运算【基础】分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。5.在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算（如只有加减法或只有乘除法），要从左往右依次计算。6.在一个没有括号的算式里，如果含有两级运算（既有加减法又有乘除法），要先算乘除法，后算加减法。7.在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。（三）简便运算【高频考点】在分数除法中，有时可以巧妙地利用运算定律和性质进行简便计算，提高解题速度和准确率。核心思想是将除法转化为乘法，然后运用乘法运算定律。8.乘法交换律：a×b=b×a。例如，在连除或乘除混合运算中，全部转化为乘法后，可以交换因数的位置。如：3/5÷2/7÷1/5=3/5×7/2×5。可以转化为3/5×5×7/2进行简便计算。9.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。例如，在连除或乘除混合运算中，全部转化为乘法后，可以把乘积是整数或易于计算的因数结合在一起先算。如：4/9÷4/7÷7/9=4/9×7/4×9/7=(4/9×9/7)×7/4=4/7×7/4=1。10.乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c或a×c+b×c=(a+b)×c。这是除法简便运算中最重要的一个定律，通常出现在一个数除以一个分数，而这个分数可以拆分成两个分数的和或差的情况，或者是一个带分数的除法问题中。【典型例题】计算(7/9+5/6)÷1/18。解法一（常规思路）：先算括号内的加法，再算除法。(7/9+5/6)÷1/18=(14/18+15/18)÷1/18=29/18÷1/18=29/18×18=29。解法二（简便运算）：利用乘法分配律。除以1/18等于乘18。(7/9+5/6)×18=7/9×18+5/6×18=14+15=29。两种方法结果相同，但后者计算更快捷，且避免了分数加减时通分的麻烦。★【易错点】运用乘法分配律进行简便计算时，要特别注意除数是一个数的情况，需要先将除法转化为乘法，再看是否符合分配律的形式。例如，18÷(7/9+5/6)就不能直接使用分配律，因为被除数是和，而除数是和，此时应先算括号内的加法，再算除法，或者转化为18×(18/29)进行计算。三、解决问题策略（一）已知一个数的几分之几是多少，求这个数▲【核心】【高频考点】这是本单元最重要的实际问题类型，也是分数除法应用题的基石。题目的特点是已知一个具体的数量（比较量），以及这个数量占单位“1”的几分之几（分率），求单位“1”的量（标准量）。1.解题步骤：（1）【关键一步】找准单位“1”。通常，在分率句中，“的”字前面的量，“比”字后面的量，往往是单位“1”。例如，“男生人数的3/4是女生”，单位“1”是男生人数；“实际产量比计划增产1/5”，单位“1”是计划产量。（2）【难点突破】画出线段图。用一条线段表示单位“1”的量，然后根据分率将线段平均分成若干份，标出已知的具体数量和它所对应的分率。（3）【核心等量】根据“单位‘1’的量×对应分率=对应数量”列出等量关系式。（4）【列式解答】根据等量关系式，单位“1”是未知的，用除法计算。即：对应数量÷对应分率=单位“1”的量。（5）检验：将求出的单位“1”的量代入原题，看是否符合题意。2.常见题型举例：【例1】小明的体重是35千克，是爸爸体重的7/10，爸爸的体重是多少千克？分析：单位“1”是爸爸的体重，未知。等量关系：爸爸的体重×7/10=小明的体重（35千克）。列式：35÷7/10=35×10/7=50（千克）。【例2】一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的2/5，离中点还有30千米。甲乙两地相距多少千米？分析：单位“1”是全程。中点是全程的1/2。30千米对应的分率是全程的（1/22/5）。等量关系：全程×(1/22/5)=30千米。列式：30÷(1/22/5)=30÷(5/104/10)=30÷1/10=300（千米）。★【难点】【易错点】当题目中分率和具体数量不直接对应时，需要先求出已知数量所对应的分率（可能是两个分率的和或差），再用量除以对应的分率来求单位“1”。（二）分数乘除法的对比与辨析【重要】正确区分何时用乘法，何时用除法是解题的关键。3.已知单位“1”，求它的几分之几是多少，用乘法。单位“1”的量×分率=分率对应量。4.已知一个数的几分之几是多少，求这个数（即求单位“1”），用除法。分率对应量÷分率=单位“1”的量。5.已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。解题思路一：先求出已知数量相当于这个数的几分之几，再用除法计算。即：这个数=已知数量÷(1±几分之几)。解题思路二：设这个数为x，根据等量关系列方程解答。方程法是解决这类问题的通用方法，尤其在分率关系复杂时优势明显。【例3】一种电视机，现在售价1800元，比原价降低了1/10，原价是多少元？分析：单位“1”是原价，未知。等量关系：原价×(11/10)=现价（1800元）。列式：1800÷(11/10)=1800÷9/10=2000（元）。或列方程：解：设原价为x元。x×(11/10)=1800，解得x=2000。（三）和倍、差倍问题（两个未知量的分数除法问题）【难点】【热点】这类问题通常给出两个未知量的和（或差），以及它们之间的倍数关系（用分数表示），要求这两个量各是多少。6.解题关键：一般设单位“1”的量为x，然后用含有x的式子表示出另一个量，再根据“和”或“差”的等量关系列出方程。7.【例4】果园里有苹果树和梨树共360棵，苹果树的棵数是梨树的4/5。苹果树和梨树各有多少棵？分析：单位“1”是梨树的棵数。设梨树有x棵，则苹果树有4/5x棵。等量关系：苹果树棵数+梨树棵数=总棵数。列方程：x+4/5x=3609/5x=360x=200苹果树：4/5×200=160（棵）【例5】农场养的白兔比黑兔少24只，黑兔的只数是白兔的7/5。白兔和黑兔各有多少只？分析：单位“1”是白兔的只数。设白兔有x只，则黑兔有7/5x只。等量关系：黑兔只数白兔只数=24只。列方程：7/5xx=242/5x=24x=60黑兔：7/5×60=84（只）（四）工程问题▲【拓展】【高频考点】工程问题是将工作总量看作单位“1”的一类特殊问题。8.基本概念：（1）工作总量：需要完成的工作量。在工程问题中，通常把工作总量看作单位“1”。（2）工作效率：单位时间内完成的工作量。工作效率=工作总量÷工作时间。如果单独完成整个工程需要t天，那么工作效率就是1/t。（3）工作时间：完成一定工作量所用的时间。工作时间=工作总量÷工作效率。9.数量关系：工作效率×工作时间=工作总量。10.常见题型：（1）求合作时间：两人或两队合作完成一项工程，求合作所需时间。合作时间=工作总量（单位“1”）÷工作效率之和。【例6】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，需要多少天完成？分析：甲队工作效率：1/10，乙队工作效率：1/15，合作工作效率之和：1/10+1/15。列式：1÷(1/10+1/15)=1÷(3/30+2/30)=1÷5/30=6（天）。（2）求剩余工作量：先由一方做几天，再由另一方做几天，或求剩下的由一方做还需要几天。【例7】一项工程，甲队单独做需要8天，乙队单独做需要12天。现在甲队先做2天，剩下的由乙队单独做，还需要几天？分析：甲队先做2天完成的工作量：1/8×2=1/4。剩余工作量：11/4=3/4。乙队工作效率：1/12。列式：(11/8×2)÷1/12=(11/4)÷1/12=3/4÷1/12=9（天）。（3）已知合作时间，求单独完成时间（逆向工程问题）：这种问题稍复杂，需要利用工作总量与工作效率的关系列方程或算式求解。★【难点】工程问题的核心在于，无论工作总量如何变化，只要将总量看作“1”，工作效率就可以用时间的倒数来表示，从而把实际问题抽象为分数运算问题。四、常见题型与考向分析（一）直接计算题【基础】主要考查对分数除法计算法则的掌握程度。1.直接写出得数：如2/3÷4/9=？8÷4/5=？6/7÷3=？2.计算下面各题，能简算的要简算：这是最典型的计算题，全面考查分数四则混合运算的顺序和运算定律的灵活运用。如：(5/8+7/12)÷1/243/10÷(4/51/2)12÷4/5÷3/8（二）解方程题【重要】将分数除法知识融入方程中，考查学生的逆向思维和等式的基本性质。如：2/5x=18x÷4/7=143/4x1/3x=15（三）填空题【高频考点】以填空形式考查核心概念和关键知识。3.考查倒数：如()的倒数是0.25；最小的合数的倒数是()。4.考查计算法则：如3/8÷5/6=3/8○()/()；在○里填上“>”、“<”或“=”。7/9÷2/3○7/9；8÷4/5○8。5.考查数量关系：如一本书，看了3/5，正好是60页，这本书有()页。数量关系式是()。（四）判断题【易错点】考查学生对易混淆概念和易错计算的理解。6.一个数除以分数，商一定大于这个数。（×）（因为当除数是大于1的分数时，商小于这个数）7.1的倒数是1，0的倒数是0。（×）（0没有倒数）8.如果甲数的1/2等于乙数的1/3（甲、乙两数均不为0），那么甲数大于乙数。（×）（可通过假设结果进行推导，假设乘积为1，则甲=2，乙=3，甲<乙）（五）选择题【综合】考查学生对知识点的辨析和灵活选择能力。9.一个数的3/4是30，这个数的5/8是多少？正确列式是（）。A.30×3/4×5/8B.30÷3/4÷5/8C.30÷3/4×5/810.把一根长4/5米的绳子平均分成4段，每段长（）米，每段占全长的（）。A.1/5B.1/4C.4/511.修一条路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修4天后，还剩下这条路的（）。A.1/10B.9/10C.1/5（六）解决问题▲【核心】【压轴题】这是分数除法的最终落脚点，综合考查学生分析问题、构建数学模型和解决问题的能力。12.基本型：直接套用“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的模型。13.稍复杂型：涉及“比一个数多（少）几分之几”，需要先求出对应分率。14.综合型：将分数除法与和倍、差倍问题结合，或与工程问题、行程问题等结合。15.图文信息题：从线段图、统计图或文字描述中提取有效信息，解决问题。五、解题步骤与易错点总结（一）【重要】解决问题的一般步骤（六步法）1.读：认真读题，理解题意，至少读两遍，弄清题目中已知条件和所求问题。2.找：找准单位“1”，找出关键句（分率句），确定分率和具体数量的对应关系。3.画：对于较复杂的题目，可以画线段图或简单示意图，直观地表示出数量关系。4.列：根据等量关系列出算式或方程。当单位“1”已知时，用乘法；单位“1”未知时，用除法或方程。5.算：细心计算，能约分的先约分，注意检查计算过程。6.答：写清单位和答语，并检查结果是否符合实际。（二）★【易错点】盘点7.除号变乘号后，忘记将除数变成倒数，或者只把整数或分母变成倒数。8.在连除或乘除混合运算中，没有将所有的除号都转化为乘号，导致运算顺序错误。例如，计算1/2÷3/4÷2/3时，必须转化为1/2×4/3×3/2进行计算。9.在简便运算中，误用乘法分配律。如12÷(3/4+5/6)不能错误地计算为12÷3/4+12÷5/6。10.解决实际问题时，找错单位“1”或找错分率的对应量。例如，在“比原价降低1/10”中，单位“1”是原价，现价对应的分率是(11/10)，而不是1/10。11.混淆“求一个数是另一个数的几分之几”与“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。前者是分数乘法（或除法）的比较关系，后者是分数除法的标准模型。12.在工程问题中，混淆工作时间和工作效率。例如，甲单独做要5天，工作效率是1/5，而不是5。六、拓展与提高（一）分数除法在浓度问题中的应用【拓展】浓度=溶质质量÷溶液质量×100%。在稀释或加浓问题中，常常需要利用分数除法来求解。例如，现有含盐率为20%的盐