专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题

专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题立体几何中的垂直关系，包括线线垂直、线面垂直及面面垂直，是空间几何的核心内容之一，也是各类考试的重点。证明垂直关系，需要我们熟练掌握相关的定义、公理、定理，并能灵活运用空间想象能力进行逻辑推理。本专题旨在通过一系列基础练习题，帮助同学们巩固垂直关系的证明方法，提升空间思维能力。一、知识梳理与核心方法在开始练习之前，我们先简要回顾一下证明垂直关系的主要依据和常用思路：1.线线垂直的证明：*定义法：两直线所成角为90°。*线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内任意一条直线。*三垂线定理及其逆定理（需注意其适用条件）。*利用勾股定理逆定理：在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这两边垂直。2.线面垂直的证明：*定义法：直线与平面内任意一条直线都垂直（一般不直接使用）。*判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。*面面垂直性质：若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。*平行线的传递性：若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与它平行，则另一条直线也垂直于该平面。3.面面垂直的证明：*定义法：两个平面所成的二面角是直二面角。*判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。证明思路的核心在于“转化”：线线垂直⇌线面垂直⇌面面垂直。要学会观察图形，分析已知条件，选择合适的转化方向。二、基础练习题（一）线线垂直的证明例1已知：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心。求证：A₁O⊥BD。分析：要证A₁O与BD垂直，可考虑证明BD垂直于A₁O所在的某个平面，或者证明A₁O垂直于BD所在的某个平面，再利用线面垂直的性质得到线线垂直。也可考虑坐标法，但此处优先考虑几何法。证明：连接AC。在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD。又因为A₁A⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以A₁A⊥BD。因为AC∩A₁A=A，AC⊂平面A₁AC，A₁A⊂平面A₁AC，所以BD⊥平面A₁AC。又因为A₁O⊂平面A₁AC，所以A₁O⊥BD。（二）线面垂直的证明例2已知：在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC。求证：BC⊥平面PAB。分析：要证BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，需在平面PAB内找到两条相交直线与BC垂直。已知AB⊥BC，PA⊥底面ABC，故PA⊥BC，PA与AB是平面PAB内的两条相交直线。证明：因为PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，所以PA⊥BC。又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB。例3已知：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，且∠ABC=60°，E是BC的中点。求证：AE⊥平面PAD。分析：要证AE⊥平面PAD，需证AE垂直于平面PAD内的两条相交直线。已知PA⊥底面，故PA⊥AE。因此只需再证AE⊥AD（或AE垂直于平面PAD内的另一条与PA相交的直线）。由底面菱形及∠ABC=60°，可证△ABC为等边三角形，E为BC中点，故AE⊥BC，而AD∥BC，从而AE⊥AD。证明：因为PA⊥底面ABCD，AE⊂底面ABCD，所以PA⊥AE。因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形。又因为E是BC的中点，所以AE⊥BC。因为AD∥BC，所以AE⊥AD。又因为PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AE⊥平面PAD。（三）面面垂直的证明例4已知：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB=AC，D是BC的中点。求证：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁。分析：要证平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁，根据面面垂直的判定定理，需在一个平面内找到一条直线垂直于另一个平面。由AA₁⊥底面ABC，可得AA₁⊥BC。又因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC。从而BC⊥平面A₁AD，而BC⊂平面BCC₁B₁，故得证。证明：因为AA₁⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，所以AA₁⊥BC。因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC。又因为AA₁∩AD=A，AA₁⊂平面A₁AD，AD⊂平面A₁AD，所以BC⊥平面A₁AD。又因为BC⊂平面BCC₁B₁，所以平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁。例5已知：在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点。求证：平面BEF⊥平面PCD。分析：要证平面BEF⊥平面PCD，可尝试在平面BEF内找一条直线垂直于平面PCD。由已知平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，可得PA⊥底面ABCD，进而PA⊥CD。又AB⊥AD，AB∥CD，故CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，CD⊥PD。E为CD中点，CD=2AB，则AB=DE，且AB∥DE，故ABED为矩形，BE∥AD，BE⊥CD。F为PC中点，可考虑EF与PD的关系，以及BE与平面PCD的关系。证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD。因为CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD。又因为AB⊥AD，AB∥CD，所以CD⊥AD。因为PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD。因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD。因为E是CD的中点，CD=2AB，所以DE=AB。又因为AB∥CD，所以四边形ABED为平行四边形，故BE∥AD。因为AD⊥CD，所以BE⊥CD。在△PCD中，E、F分别为CD、PC的中点，所以EF∥PD。因为CD⊥PD，所以CD⊥EF。因为BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，所以CD⊥平面BEF。又因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD。三、总结与提升垂直关系的证明，关键在于熟练掌握并灵活运用相关的判定定理和性质定理，善于进行线线、线面、面面垂直关系的转化。在具体证明时，要仔细观察图形，挖掘已知条件，特别是那些隐含的垂直关系（如正方体、正棱柱中棱与底面的垂直，等腰三角形底边上的中线与底边垂直等）。建议：1.作图与识图：养成规范作图的习惯，能从复杂图形中分解出基本图形，识别出已知的垂直关系。2.定理的“双向”应用：不仅要会正向使用判定定理证明垂直，也要会逆向思考，由垂直关系想到可能应用的性质定理。3.辅助线的添加：在证明线面垂直时，常需在平面内找两条相交直线与已知直线垂直；在证明面面垂直时，常需在一