机器人技术基础-第4章

机器人技术基础第四章机器人动力学第四章机器人动力学第二节机器人速度分析第三节牛顿-欧拉动力学方程第四节机器人动力学的拉格朗日方程第一节概述第一节概述本章研究对象机器人末端速度、关节空间速度和加速度、关节空间驱动力矩机器人动力学作用于机器人关节空间的驱动力或力矩与其位置、速度以及加速度的运动方程关系。是实现机器人控制和仿真等相关研究的基础。雅可比矩阵等研究机器人末端速度与关节空间速度之间的关系的重要手段上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，建立了机器人的运动学方程，获得了操作空间与关节空间的映射关系。何为操作空间？何为关节空间？用通俗的话来说，操作空间就是我们普通人能容易感知的3维空间，最简单地用X、Y、Z及绕X、绕Y和绕Z这样6个量就能完全描述了的；而关节空间则是受过专门训练的“工程师”才能感知和驾驭的空间。它们通过运动学方程来翻译（映射）沟通。

第二节机器人速度分析

操作空间

逆运动学正运动学用更为简洁的数学公式来表达:操作空间为x，关节空间为q，它们之间的位移关系就是上式。第二节机器人速度分析考虑两个自由度的平面机器臂：我们想要知道，在“工程师”才能感受的关节坐标参量[

1,

2]发生一些“小小”的变化时，末端执行器坐标[xe,ye]会产生多大变化。这可以用简单的偏微分得到。（敏感度）显然，θ1和θ2都是xe，ye的变量第二节机器人速度分析

第二节机器人速度分析

第二节机器人速度分析本章在分析机器人末端执行器微运动和关节微运动的关系基础上，引入了雅可比矩阵的概念，研究了雅可比矩阵的性质，并对恒速轨迹跟踪的关节速度分配进行了阐述。本章对机器人动力学方程进行了较详细的推导，这些方程可以用来估计以一定速度和加速度驱动机器人时各个关节所需的动力，也可以用来为机器人选择合适的驱动器。通用机器人的动力学方程非常复杂。实际使用时都进行某种形式的简化，根据运动学方程各项的物理意义，确定某些特定项的重要性，适当时可以不考虑科氏力或重力的影响。第二节机器人速度分析例：如图所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5m。设在某瞬时θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时的关节速度。第二节机器人速度分析第二节机器人速度分析

换个说法：雅可比矩阵的每个列向量表示当固定所有其他关节时，相应关节以单位速度运动时所引起的末端执行器速度。（更糊涂了？？？）用几何来解释：（思考一下J1

和J2

是的方向）第二节机器人速度分析其中向量J2的指向垂直连杆2的方向。但是请注意，向量1不垂直于连杆1，而是垂直于线OE（关节1到端点E的连线）。这是因为J1表示固定关节2时由关节1引起的端点速度；换言之，连杆1和连杆2被牢固地连接成为连杆长度为OE的单个刚体，J1是“连杆OE”的尖端速度。第二节机器人速度分析

n自由度机器人的雅可比

表示为:J(q)第二节机器人速度分析

第二节机器人速度分析

第二节机器人速度分析但是，如果两个列向量方向对齐，则末端执行器（在笛卡尔空间）就只能沿一个方向（正反）运动。第二节机器人速度分析

第二节机器人速度分析第二节机器人速度分析例4-2再次考虑两个自由度的机械臂。我们想以恒定的速度从起始点A（+2，0）沿着X轴移动机械臂的端点，并通过点B（+ε，0）和C（0，+ε）绕过原点，然后沿着Y轴到达Y轴的终点D（0，+2）。为简单起见，每个机械臂均为单位长度。当末端执行器以恒定速度跟踪路径时，获取各个关节速度的轮廓。第二节机器人速度分析请同学解释该图！雅可比矩阵怎样求？平面的容易。空间六坐标需要专门的手段。第二节机器人速度分析通过前面的分析，我们可以知道各关节驱动电机的速度。根据这些信息，我们可以构建机器人动画，进行机器人仿真。然而，对实际机器人，由于质量的存在，对加减速和克服各种负载等，我们还需要“动力”，需要知道各关节（电机）的驱动力矩。研究机器人的运动特性与力的关系。有两类问题：

动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度、加速度、运动轨迹；

动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度和加速度，求各关节的驱动力和力矩。第三节牛顿-欧拉动力学方程第三节牛顿-欧拉动力学方程刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为：牛顿定理

:欧拉方程:式中：—

杆i质量；

—

杆i上所有外力合力；

—

杆i上所有外力对质心的合力矩；

—

杆i绕其质心惯性矩阵。第三节牛顿-欧拉动力学方程根据力（矩）平衡原理，在质心处有：则有方程即为牛顿——欧拉法的基本方程。

第三节牛顿-欧拉动力学方程

第三节牛顿-欧拉动力学方程上面推导的牛顿——欧拉法（也简称N-E法）方程式含关节联接的约束力（矩），没有显示地表示输入—输出关系，不适合进行动力学分析和控制器设计。如果变换成由一组完备且独立的位置变量（质心位置变量通常不是相互独立的）和输入力来描述，这些变量都显式地出现在动力学方程中，即得到显式的输入——输出形式表示的动力学方程，称为封闭形式的动力学方程（拉格朗日方程即是封闭的）。

第三节牛顿-欧拉动力学方程我们通过例子来说明怎样得到闭合形式的动力学方程。

第三节牛顿-欧拉动力学方程第三节牛顿-欧拉动力学方程根据前面的公式，连杆1的牛顿-欧拉方程为同样，对于连杆2第三节牛顿-欧拉动力学方程

第三节牛顿-欧拉动力学方程

线速度可以表达为：

第三节牛顿-欧拉动力学方程

动力学方程的物理意义G1和G2表示质量m1和m2围绕各自关节轴产生的力矩，表示重力的影响。系数H11表示当第二个关节固定时，第一个关节看到的惯性矩。解释为两个连杆的总惯性矩反映在第一个连杆的关节轴上。H11的前两项，表示连杆1对转轴1的惯性矩。H11的其他项是连杆2对第一个连杆关节轴惯性矩的贡献。第二连杆惯性矩取决于连杆2的质心和第一关节轴之间的距离L。第三节牛顿-欧拉动力学方程

第三节牛顿-欧拉动力学方程注意惯性矩随臂的位姿变化而变化。当臂完全伸展时惯性最大。当臂完全收缩时惯性最小。与H12相关联的项，代表了第二连杆运动对第一关节的影响。当第二连杆加速时，第二连杆产生的反作用力和扭矩将作用于第一连杆。与关节速度的平方相关联的项，代表了离心力作用。与两关节速度的乘积相关联的项，代表了科氏力效应。第三节牛顿-欧拉动力学方程根据N-E法的基本方程，利用质心运动变量与关节变量及关节运动变量之间的关系以及约束力与关节力矩之间的关系，消去中间变量，可以得到封闭形式的动力学方程。但过程非常复杂，特别是当机器人自由度较多时，更是如此。因此，对于N-E法，常用的不是它的封闭形式方程，而是它的递推形式方程。方程可直接写成如下递推形式：第三节牛顿-欧拉动力学方程而关节力（矩）可写成如下形式：

式中，为沿关节轴线的单位矢量，为关节的粘滞阻尼系数。

递推形式的N-E法方程与封闭形式方程比较，计算量从减少到：乘法次数：117n–24，加法次数：103n-21，从而大大加快了计算速度。自由度越多，递推形式的优势越明显。对于典型n=6的情形，递推形式的计算效率几乎提高10倍。因此，常用于实时计算。递推形式方程的特点是其计算从机器人操作机的一个杆到另一杆逐个顺序进行的，它充分利用了操作机的串联链特性，常用于求解动力学逆问题第三节牛顿-欧拉动力学方程刚体动力学第四节机器人动力学的拉格朗日方程基础知识拉格朗日(Lagrangian)函数：L=K-P,K为动能，P为势能系统动力学方程：

拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动力学方程。刚体的动能与位能（旋转式运动）假设连杆质量用等效连杆末端的点质量表示连杆1：连杆2：xy

1d1m1

2d2m2(x1,y1)(x2,y2)第四节机器人动力学的拉格朗日方程拉格朗日法求解动力学方程（续）第四节机器人动力学的拉格朗日方程力矩惯性力向心力哥氏力重力动力学求解步骤：求取质点的速度求质点的动能求质点的位能构造拉格朗日函数推导动力学方程第四节机器人动力学的拉格朗日方程基于拉格朗日方程得到的运动方程与基于牛顿-欧拉法相同。拉格朗日方程比牛顿-欧拉公式更简单、更系统。用拉格朗日方程计算动能时必须得到速度，但不需要加速度，速度在运动方程计算中被自动处理。在牛顿-欧拉公式中，加速度计算非常复杂，因为牛顿-欧拉公式中存在许多无功约束力和力矩，随着自由度的增加，