2027山东专升本高数二 二元函数定义域、极限与连续同步练习（含完整解析）

山东专升本高数二二元函数定义域、极限与连续同步练习练习说明1.适配2027山东专升本高数二（经管类）考纲，聚焦多元函数入门核心考点：二元函数定义域求解、二重极限计算、极限存在判定、二元函数连续性判定、间断点判断。2.题型完全贴合专升本真题命题风格，无超纲内容，难度循序渐进，主打基础夯实、易错点突破，是多元微分学前置必练专题。3.所有题目配备零跳步标准解析、规范数学公式，适配阅卷得分点，适合零基础巩固、考点查漏补缺。4.满分100分，建议作答时间60分钟。考前必背核心知识点一、二元函数定义域约束规则（必考）1.分式函数：分母≠0；2.偶次根式：被开方数≥0；3.对数函数：真数>0；4.反正弦/反余弦：自变量∈[-1,1]；多个约束需同时满足。二、二元函数极限定义若点(x,y)以任意路径趋近于(x0,y0)三、极限不存在判定方法找两条不同路径趋近，若极限值不同，则二重极限不存在（专升本核心解题方法）。四、二元函数连续定义函数f(x,y)在(x0,一、判断题（每题3分，共18分）第1题二元函数的定义域一定是平面区域。（）解析：√二元函数的自变量为平面点(x,第2题二元函数极限中，沿直线y=kx趋近极限存在且唯一，则二重极限一定存在。（解析：×二重极限存在要求所有路径趋近极限均相等，仅直线路径满足无法判定极限存在，曲线路径可能极限不同，命题错误。第3题若二元函数在某点极限存在，则函数在该点一定有定义。（）解析：×极限描述的是趋近过程，与该点函数值无关。函数在某点极限存在，该点可以无定义，命题错误。第4题二元函数在某点连续，则该点极限一定存在。（）解析：√连续的必要条件：函数在某点连续⇒该点极限存在且等于函数值，命题正确。第5题若(x,y)解析：√此为专升本判定二重极限不存在的核心方法，路径极限不同，可直接判定极限不存在，命题正确。第6题二元初等函数在其定义区域内处处连续。（）解析：√多元初等函数连续性定理：一切多元初等函数在其有定义的区域内都是连续函数，命题正确。二、单项选择题（每题4分，共24分）第7题函数z=1x+A.x+y>0;B.x+y<1解析：C分步约束：①根式分母x+y要求x+y>0；②对数真数联立得定义域：0<x+y第8题二元函数f(x,y)=x2yA.无极限;B.极限为0;C.极限为1;D.连续解析：B利用有界函数乘无穷小准则：0≤x2yx2函数在(0,0)无定义，不连续，选B。第9题下列函数在定义域内连续的是（）A.z=1x-y;B.z=解析：BACD均为分式、对数函数，存在无定义间断区域；B为多元初等函数，在全平面有定义，定义域内处处连续，选B。第10题极限lim(x,yA.0;B.1;C.12;D.解析：D路径1：沿y=0趋近，原式=路径2：沿y=x趋近，原式两条路径极限不同，故二重极限不存在，选D。第11题二元函数连续的充分必要条件是（）A.极限存在;B.函数有定义;C.极限存在且等于函数值;D.偏导数存在解析：C二元函数连续充要条件：lim(x,第12题函数z=4-x2A.圆环区域;B.圆形区域;C.方形区域;D.无界区域解析：A约束条件：4-x2-y2≥0x2+y三、填空题（每题4分，共16分）第13题函数z=ln⁡(x解析：分步约束：对数ln⁡x要求x>0；根式要求y-1≥0答案：x>0,第14题lim(解析：函数为初等函数，在(1,2)处连续，直接代入求值：原式答案：3第15题极限lim(解析：等价无穷小替换：(x,y)→(0,0)时，原式答案：1第16题函数f(x,y)=解析：分式分母不为0，当x-y=0即答案：y=x四、计算题（每题8分，共32分）第17题求二元函数定义域求函数z=9-详细解析：该函数由根式和对数复合而成，需同时满足两类约束条件：1.偶次根式约束：9-2.对数真数约束：x联立不等式，得函数定义域：4<答案：定义域为4<x2+y2第18题基础二重极限计算计算lim(详细解析：第一步：等价无穷小替换，t→0时令t=x2+y2，当原式第二步：约去非零因子x2+y2答案：1第19题极限存在性判定（拔高必考）判定极限lim(x详细解析：采用双路径判定法，选取两条不同趋近路径：路径1：沿直线y=kx趋近原式路径2：沿抛物线y=x2原式两条不同路径的极限值不相等，因此该二重极限不存在。答案：极限不存在第20题二元函数连续性判定设分段函数f(x,y)=详细解析：第一步：此前已证lim(x第二步：根据连续定义，函数在某点连续的前提是极限存在；该函数在(0,0)点极限不存在，因此函数在该点不连续。答案：函数在(0,0)处不连续五、综合拓展题（10分）第21题连续求参（专升本高频压轴小题）设函数f(x,y)=x2+y2sin⁡(详细解析：函数在(0,0)连续，需满足A=化简极限：lim由有界函数乘无穷小性质：sin⁡(x2+y)因此A=0答案：A=0专题易错总结（考前必记）1.定义域求解：多重复合函数需联立所有约束条件，缺一不可，重点区分根式、对数、分式的不同限制规则；2.二重极限核心：单一路径极限存在≠二重极限存在