广东省韶关市2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省韶关市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos330°=(

)A.12 B.−12 C.2.已知复数z满足i⋅z=2+i，则z的共轭复数是(

)A.−1−2i B.−1+2i C.1−2i D.13.已知向量a=(1,2)，b=(1,−1)，若(a+λbA.5 B.4 C.2 D.14.已知空间中有三条不重合的直线l1，l2，l3和两个不重合的平面α，β，则下列结论中正确的是A.若l1//α，l2//α，则l1//l2

B.若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1//l35.在某次数学测试中，10位同学的得分依次为：80，84，80，95，88，89，86，88，97，88，这组数据的众数和第75百分位数分别为(

)A.80，88 B.80，89 C.88，88.5 D.88，896.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是23和14，则密码被成功破译的概率为(

)A.34 B.16 C.127.如图，为了测量河对岸的塔AB的高度，某测量队选取与塔底B在同一水平面内且相距约为70米的两个测量基点C与D.现测量得∠BCD=60°，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，则塔高AB约为(    )米．A.30

B.35

C.40

D.458.在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M为线段BC的中点，N为线段AC上的动点，则MN⋅BN的最小值为(

)A.78 B.158 C.716二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=m2−1+(m+1)i，m∈R，则A.若m=0，则z的虚部为1

B.若复数z为纯虚数，则m=±1

C.若m=2，则|z−|=32

D.10.某中学高一(3)班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.在班级里随机选一人，事件A=“选到男生”，事件B=“选到女生”，事件C=“选到团员”，则(

)团员非团员合计男生151025女生12820合计271845A.P(A)=59,P(B)=35 B.P(AC−)=29

C.事件B与事件11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的外接圆半径为2，且sinAsinBsinC=38，则A.abc=83

B.△ABC的面积为3

C.当B=π3时，A−C=π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量m与n不共线，向量a=m+4n，b=−2m+xn，13.从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为

．14.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB、AD的中点，G为棱C1D1上的点，且C1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

从某小区抽取n户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW⋅h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，其频率分布直方图如图所示，其中月用电量超过300kW⋅h的居民有6户．

(1)求x和n的值；

(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样从[50,100)和[100,150)两组中随机抽取了5户居民，现从已抽取的5户居民中随机抽取2户，求这16.(本小题15分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，CC1=4，E为线段CC1中点．

(1)17.(本小题15分)

如图，在△ABC中，点D，E满足AB=2AD，AC=2CE，AC边上的中线BM与DE交于点O.设BA=a，BC=b．

(1)用a，b表示BM，DE；

(2)设|a|=2，|b|=4，18.(本小题17分)

在锐角△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=c−2acosB．

(1)求证：B=2A；

(2)求1tanA−1tanB+65sinB的最小值；

19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=PD=5，PB=7．

(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)求点B到平面PCD的距离；

(3)在线段PB上是否存在一点Q，使得直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】−8

13.【答案】31014.【答案】315.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知每组频率依次为：0.12，0.18，0.3，50x，0.12，0.06，

则0.12+0.18+0.3+50x+0.12+0.06=1，解得x=0.0044，

又因为月用电量超过300kW⋅h的频率为0.06，且居民有6户，所以n=60.06=100．

(2)因为[50,100)和[100,150)两组的频率比为0.12：0.18=2：3，

若随机抽取了5户居民，则[50,100)中有5×22+3=2人，设为a1，a2；

[100,150)中有5×32+3=3人，设为b1，b2，b3；

若从已抽取的5户居民中随机抽取2户，

则样本空间Ω={(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(16.【答案】证明：(1)在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连接AC交BD于点O，连接OE，

∵O，E分别为AC，CC1的中点，∴OE⫽AC1，

∵OE⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE，∴AC1⫽平面BDE．

(2)∵正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，C17.【答案】解：(1)M是AC中点，则BM=12(BA+BC)=12a+12b，

由AB=2AD得D是AB中点，由AC=2CE得AE=32AC，

因此DE=DA+AE=12BA+32AC=12a+32(b−a)=32b−a．

(2)由题意得a⋅18.【答案】解：(1)证明：已知a=c−2acosB，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，

可得sinA=sinC−2sinAcosB⇒sinA=sin(A+B)−2sinAcosB⇒sinA=sinAcosB+sinBcosA−2sinAcosB，

化简得sinA=sin(B−A)，因为△ABC为锐角三角形，所以A,B∈(0,π2),B−A∈(−π2,π2)，所以A=B−A⇒B=2A．

(2)由题，1tanA−1tanB+65sinB=cosAsinA−cosBsinB+65sinB=cosAsinB−cosBsinAsinAsinB+65sinB=sin(B−A)sinAsinB+65sinB

=sinAsinAsinB+65sinB=1sinB+65sinB19.【答案】解：(1)取AD中点O，连接PO、OB，

因为PA=PD=5，所以PO⊥AD，又AD=2，故AO=1，

所以

PO=PA2−AO2=5−1=2，

因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=AD=2，故△ABD是等边三角形，

又O为AD中点，因此OB⊥AD，OB=AB2−AO2=4−1=3，

在△POB中，PO2+OB2=4+3=7=PB2，则PO⊥OB，

因为PO⊥AD，PO⊥OB，AD∩OB=O，AD，OB⊂平面ABCD，

故PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，

所以平面PAD⊥平面ABCD．

(2)由(1)知PO⊥平面ABCD，故P到平面BCD的距离为PO=2，

△BCD的面积

S△BCD=12SABCD=12×2×2×sin60°=3，

因此VP−BCD=13S△BCD⋅PO=233，

在△CDO中，DO=1，CD=2，∠CDO=120°，

所以CO=1+4−2×1×2×(−12)=7，

因为PO⊥平面ABCD，CO⊂平面ABCD，

所以PO⊥CO，故△POC为直角三角形，

在Rt△POC中，PO=2，CO=7，∠POC=90°，

所以PC=PO2+OC2=11，

在△PDC中，PD=5，CD=2，PC=11，

所以cos