初中数学苏科版九年级下册《图形的相似》知识清单

初中数学苏科版九年级下册《图形的相似》知识清单一、成比例线段与比例的性质【基础】【高频考点】（一）线段的比与成比例线段的概念用同一长度单位度量两条线段a，b，其长度比叫做这两条线段的比，记作a：b或a/b。在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a：b=c：d（或a/b=c/d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。这里需要注意顺序：若a，b，c，d成比例，则只能得到a：b=c：d，而不能随意更改顺序。（二）比例的基本性质（核心性质，变形是关键）1.基本性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc（b，d≠0）。反之，如果ad=bc（a，b，c，d都不为0），那么a/b=c/d。这是比例变形的基石。2.合比性质：如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d（b，d≠0）。推广到分比性质：如果a/b=c/d，那么(ab)/b=(cd)/d（b，d≠0）。a/b=c/d=...=m/na/b=c/d=...=m/n.........+n≠0），那么(a+c+...+m)/(b+d+...+n)=a/b。★特别提醒：应用等比性质时，务必检验分母之和是否为零。（三）分割【难点】【热点】点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C分割，点C叫做线段AB的分割点，AC与AB的比叫做比，其比值为(√51)/2≈0.618。一条线段有两个分割点。常考题型：已知线段总长，求较长线段或较短线段。例如，若线段AB=10cm，则较长线段AC=(√51)/2×10=5(√51)cm，较短线段BC=10AC=155√5cm。（四）平行线分线段成比例定理（三角形相似判定基础）【重要】1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图1，直线l₁∥l₂∥l₃，直线m、n被它们所截，则AB/BC=DE/EF，AB/AC=DE/DF，BC/AC=EF/DF。2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图2，在△ABC中，DE∥BC，则AD/DB=AE/EC，AD/AB=AE/AC，DB/AB=EC/AC。这是构造“A”字型和“X”字型相似的基本依据。二、相似图形的概念与性质（一）相似图形的定义【基础】形状相同的图形叫做相似图形。两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。理解时注意：①相似图形强调形状相同，与大小、位置、颜色无关；②全等图形是相似比等于1的特殊相似图形。（二）相似三角形的定义与表示三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，读作“三角形ABC相似于三角形DEF”。对应顶点要写在对应位置上，如△ABC∽△DEF，意味着∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF=AC/DF。（三）相似多边形的定义【重点】两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。对应边的比叫做相似比（或相似系数）。判断两个多边形是否相似，必须同时满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例，二者缺一不可。例如，所有的正方形都相似（角都是90°，边比相等），但所有的矩形不一定相似（角相等，但边比不一定相等）。（四）相似多边形的性质【必考】1.对应角相等，对应边成比例。2.周长比等于相似比。3.面积比等于相似比的平方。4.对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。三、相似三角形的判定【核心】【高频考点】（一）预备定理（平行线法）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是所有判定定理的基础，体现了从一般到特殊的数学思想。（二）判定定理1（两角法）【易操作，最常用】两角分别相等的两个三角形相似。简记为“AA”。如图，在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC∽△DEF。★易错点：在两个直角三角形中，一组锐角相等即相似，无需再证直角。（三）判定定理2（两边夹角法）【注意角必须是夹角】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。简记为“SAS”。如图，在△ABC和△DEF中，若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则△ABC∽△DEF。▲警示：若两边成比例，但相等的角不是夹角，则这两个三角形不一定相似。（四）判定定理3（三边法）三边成比例的两个三角形相似。简记为“SSS”。如图，在△ABC和△DEF中，若AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。此法适用于已知三边长度的计算题或网格题。（五）直角三角形相似的特殊判定【热点】1.一组锐角相等，则两直角三角形相似（即AA）。2.两组直角边对应成比例，则两直角三角形相似（即SAS）。3.斜边和一条直角边对应成比例（HL），则两直角三角形相似。即若Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，且AB/DE=AC/DF（或AB/DE=BC/EF），则△ABC∽△DEF。四、相似三角形的性质【必考】【易错点】（一）对应元素的比例性1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。（二）周长与面积的性质1.相似三角形的周长比等于相似比。2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。★易错警示：学生常常将面积比直接当作相似比，或在计算中混淆平方与倍数的关系。例如，相似比为2：3，则面积比为4：9，而不是2：3。（三）性质的综合应用常与方程思想结合，在比例式中设未知数求解线段长度或图形面积。五、相似三角形的应用【实践】【难点】（一）测高与测距（数学模型）1.利用阳光下的影子（同一时刻，物高与影长成正比例）。基本关系：物高1/影长1=物高2/影长2。2.利用标杆或镜子（构造相似三角形）。通过反射或视线构造出两个相似直角三角形，利用对应边成比例求解。3.利用物理中的凸透镜成像原理（物距、像距、焦距关系）也常涉及相似。（二）证明等积式与比例式证明四条线段成比例或证明等积式（如AB·CD=EF·GH），通常先将等积式化为比例式，再寻找所在的两个三角形，证明这两个三角形相似即可。若线段不在两个三角形中，则需要通过等量代换或找中间比过渡。（三）分类讨论思想在相似中的应用【难点】【压轴题常见】在动态几何问题中，当题目未明确指出两个三角形的对应顶点时，往往需要分类讨论。例如，在△ABC和△DEF中，若已知∠A=∠D，要使两三角形相似，则可能有两种情况：①∠B=∠E；②∠B=∠F（即对应角不确定）。解题时需分情况讨论，并舍去不符合题意的解。六、图形的位似【拓展】【热点】（一）位似图形的定义如果两个图形不仅相似，而且经过每对对应点的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比。位似中心可能在图形外，也可能在图形内或边上。（二）位似图形的性质1.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形（位似要求位置特殊）。2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。3.对应线段平行或在同一条直线上。（三）位似作图与坐标变换【重要】在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，将一个图形各点的横、纵坐标都乘以k（或除以k），那么所得图形与原图形位似，位似中心是原点，位似比为|k|。当k>1时，图形扩大；当0<k<1时，图形缩小。注意：若所作位似图形与原图形在位似中心同侧，则k为正；若在异侧，则k为负（此时图形与原图形关于位似中心中心对称）。七、考点、考向与解题策略（一）高频考点分布1.选择题、填空题：考查比例性质、分割、相似多边形的定义、相似三角形的判定条件辨析、位似坐标变换。2.解答题：通常以几何证明题或综合题形式出现，考查相似三角形的判定与性质的综合运用，常与勾股定理、四边形、圆、函数相结合，作为压轴题出现。3.网格作图题：考查在网格中画位似图形或相似三角形，利用网格计算边长判断相似。（二）典型解题步骤（以证明两三角形相似为例）第一步：定目标。明确要证明哪两个三角形相似。第二步：找条件。观察图形，寻找已知的角相等（对顶角、公共角、同角的余角或补角、平行线产生的同位角或内错角）或边成比例关系。第三步：选定理。根据找到的条件，选择最直接的判定定理（AA，SAS，SSS）。第四步：写过程。规范书写推理过程，先罗列条件，再得出结论。（三）易错点归纳1.对应关系混淆：在写比例式或利用性质时，未找准对应边、对应角。对策：先确定对应顶点，再写对应边。2.面积比误用：误将面积比当作相似比。对策：牢记面积比等于相似比的平方。3.判定定理条件遗漏：用SAS判定时，忽略了角必须是夹角；用AA判定时，误以为两边及其中一边的对角相等也能判定（这是错误的）。4.分类讨论不全：在动态相似问题中，只考虑了一种对应情况。对策：读题时圈出“相似”二字，若未明确对应关系，立即启动分类讨论。（四）常见题型剖析1.条件开放题：给出部分条件，补充一个条件使两三角形相似。答案往往不唯一，需从角、边两个角度思考。2.结论探索题：在复杂图形中找出相似三角形，并证明。常用方法：从复杂图形中分离出基本图形（“A”字型、“X”字型、双垂直型、一线三等角型）。3.综合计算题：将相似与方程、函数结合，通过设未知数，利用比例关系列方程求解。八、跨学科视野与核心素养提升（一）物理中的相似杠杆平衡条件、光的反射定律、凸透镜成像规律中都蕴含着相似三角形的模型。例如，小孔成像实验中，物体高度与像的高度之比等于物距与像距之比，这直接利用了相似三角形的性质。（二）地理与测绘中的相似比例尺是相似多边形在实际生活中的应用。地图上的比例尺即相似比，利用比例尺可以计算实际距离和面积。（三）艺术与设计中的相似分割被广泛应用于绘画、摄影、建筑设计中，用以创造和谐的美感。国旗的设计、名画的构图都遵循着比例。（四）数学思想方法