小学三年级数学“倍的概念”建构与初步应用教学设计

小学三年级数学“倍的概念”建构与初步应用教学设计

  一、教学背景与理论依据

  （一）课标解读与核心素养关联分析

  根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，“倍的认识”隶属于“数与代数”领域中“数量关系”主题的重要内容。课标明确指出，小学阶段应帮助学生理解常见的数量关系，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识。对于“倍”这一核心概念，其教学要求是引导学生在具体情境中，理解倍的含义，能解决“求一个数是另一个数的几倍”和“求一个数的几倍是多少”的简单实际问题。这不仅是乘除法意义认识的拓展，更是学生从加减运算的线性思维，迈向乘除运算所代表的比例思维的关键跃迁点，为后续理解分数、比、比例、百分数乃至函数关系奠定至关重要的认知基础。

  本节课将核心素养的培养贯穿始终：通过创设结构化情境，引导学生用数学的眼光观察现实世界，从数量比较中抽象出“倍”的关系；通过操作、比较、归纳、概括等思维活动，发展数学思维，特别是初步的抽象能力和模型意识；通过规范的语言表述“（谁）是（谁）的几倍”，发展数学语言表达能力，促进思维的精确化。

  （二）教材纵向脉络与横向关联分析

  从教材纵向知识体系看，在学习“倍”之前，学生已经熟练掌握了表内乘除法，理解了乘除法的意义，具备了“几个几”的认知基础。“倍”是对“几个几”的升华与形式化表述，它将两个数量的比较关系，从原先的绝对差比（“多多少”或“少多少”）拓展到相对倍比（“是几倍”）。本节课是学生首次系统接触“比率”概念，是认知上的一个飞跃。此后，在后续学习中，“倍”的概念将直接应用于解决包含“倍”的实际问题，并进一步迁移到“一个数的几分之几”、“比”的认识、正反比例关系等内容中，形成知识链条。

  从单元横向结构看，冀教版教材通常将“倍的认识”安排在一个独立单元或综合单元的开篇。教材编排往往遵循从具体到抽象的原则：首先通过分物、图形排列等直观场景，引导学生感知“倍”；然后通过圈一圈、摆一摆等操作活动，建立“标准量”与“比较量”的对应关系，理解“倍”的形成过程；最后通过丰富的变式练习，深化对“倍”的本质理解，并初步学会解决相关问题。本节课承上启下，重在概念的构建，而非复杂问题的求解。

  （三）学情分析与认知起点研判

  三年级学生的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的认知特点决定了本节课的教学必须根植于丰富的感性材料和充分的实践操作。

  认知起点方面，学生已经具备以下基础：第一，熟练掌握表内乘除法的计算，能快速说出“几个几是多少”以及相应的除法算式。第二，具有丰富的“比较”经验，能熟练进行两个数量的多少比较（即差比）。第三，在生活中有关于“倍”的模糊经验，如“我的年龄是你的两倍大”，但这种经验是感性的、不精确的。

  潜在的认知困难主要体现在：第一，从“差比”到“倍比”的思维转换存在障碍。学生习惯于关注两个数量的绝对差值，难以快速切换到关注两者之间的比率关系。第二，对“标准量”的确定和理解是难点。倍是“比较量”与“标准量”的比率，确定“谁”作为“一份”（标准量）是理解倍的前提，学生容易混淆。第三，语言的规范表述与内在意义的结合存在困难。学生会模仿说“是几倍”，但可能并不真正理解其背后的数量对应关系。

  因此，教学设计需搭建多层认知支架：利用直观操作，实现从“几个几”到“几倍”的自然过渡；通过反复对比“差比”与“倍比”，凸显“倍”作为一种新的比较方式的独特性；强化“一份”的确定与圈画，夯实概念基础；创设交流环节，在“说理”中促进语言与思维的统一。

  二、教学目标与重难点定位

  （一）教学目标

  1.知识与技能目标：在具体的情境中，通过观察、操作、比较等活动，初步理解“倍”的含义，知道“求一个数是另一个数的几倍”可以用除法计算。能正确使用“倍”的语言描述两个数量之间的关系。

  2.过程与方法目标：经历“倍”的概念的形成过程，通过“圈一圈”、“摆一摆”、“说一说”、“练一练”等数学活动，培养动手操作能力、观察比较能力和初步的抽象概括能力。

  3.情感态度与价值观目标：在探究“倍”的意义的过程中，体验数学与生活的密切联系，感受数学学习的乐趣和成功的喜悦，初步养成乐于思考、善于合作、勇于表达的学习习惯。

  （二）教学重点与难点

  教学重点：建立“倍”的概念，理解“倍”是两个数量之间的一种比率关系。

  教学难点：理解“倍”的本质含义，即“比较量”里面包含了几个“标准量”。具体表现为：能准确确定“标准量”（一份），并清晰地建立“比较量”与“标准量”的份数对应关系。

  （三）突破策略预设

  针对教学重点，将采取“多重表征，逐层深化”的策略。利用实物、图形等实物表征，动手圈画等动作表征，语言描述等符号表征，以及除法算式等数学表征，从不同角度反复刻画“倍”的概念，使学生在丰富的表象支撑下达成深刻理解。

  针对教学难点，将采取“对比辨析，凸显本质”的策略。精心设计对比性材料：一是“差比”与“倍比”的对比，让学生体会“倍”是比较关系的另一种视角；二是标准量变化或比较量变化时，“倍数关系”变化的对比，让学生体会“倍”的相对性；三是“标准量”与“比较量”角色互换的对比，让学生体会确定“一份”的重要性。通过对比，引导学生剥离非本质属性，抓住“份数对应关系”这一核心。

  三、教学准备与资源环境

  （一）教具与学具准备

  1.教师准备：多媒体交互课件（内含动态演示的实物图、标准量圈画动画、倍数关系变化动画等）；实物磁贴（如胡萝卜、白萝卜图片）；学习任务单（印刷有不同排列的图形、针对性练习题）；奖励性贴纸。

  2.学生准备：每人一套学具（如12个圆形纸片、小棒或棋子）；直尺；彩色笔。

  （二）技术融合与学习环境

  创设支持深度探究的智慧学习环境。利用交互式电子白板的拖拽、放大、圈画、即时反馈功能，实现师生、生生之间的动态交互。例如，在探究“标准量”变化如何影响倍数时，教师可实时拖动改变其中一组的数量，引导学生观察并说出倍数关系的变化，将抽象的思维过程可视化、动态化。利用希沃授课助手等工具，即时投屏展示学生的不同操作方法和思维成果，便于进行对比分析和集体研讨。技术应用的核心目的是服务于概念的深度建构，而非浮于形式的展示。

  四、教学实施过程详案

  （一）情境导入，引发认知冲突（预计用时：8分钟）

  1.游戏激活，唤醒旧知。

  师：同学们，我们先来玩一个“拍手对对碰”的小游戏。老师拍几下，请你拍出“同样多”。（教师拍3下，学生拍3下）。很好！现在增加难度，我拍几下，请你拍出“比老师多2下”。（教师拍4下，学生拍6下）。真棒！刚才我们比较拍手的次数，用的方法是看“多多少”，这是我们以前学的比较方法。

  2.创设情境，引入新知。

  师：现在，老师要带大家去参观开心农场。看，农场里丰收了！（课件出示情境图：左边有2根胡萝卜整齐摆成一排，右边有6根白萝卜摆成三堆，每堆2根，但与胡萝卜不对齐。）

  师：从图中，你发现了哪些数学信息？

  生：有胡萝卜和白萝卜。胡萝卜有2根，白萝卜有6根。

  师：你能比较一下胡萝卜和白萝卜的数量吗？

  生1：白萝卜比胡萝卜多4根。

  生2：胡萝卜比白萝卜少4根。

  师：说得很好，这是用减法来比较，看它们的“差”。（课件动态显示：6-2=4）除了比较它们相差多少，我们还可以从另一个角度来比较它们的关系。仔细观察，白萝卜的根数和胡萝卜的根数之间，还有什么有趣的联系呢？（引导学生观察白萝卜的摆放，可适当提示：如果把2根胡萝卜看作一份……）

  生3：我发现白萝卜好像可以分成几份，每份和胡萝卜一样多。

  师：你的眼睛真亮！让我们一起来圈一圈。（教师利用课件动画，将2根胡萝卜圈起来，注明“看作1份”。然后，将白萝卜每2根一圈，圈出3份。）

  师：我们把2根胡萝卜看作1份，白萝卜里面有这样的几份？

  生齐答：3份。

  师：我们就可以说：白萝卜的根数是胡萝卜的3倍。今天，我们就一起来认识这个新的比较标准——“倍”。（板书课题：倍的认识）

  【设计意图】从游戏入手，激活学生已有的“同样多”和“差比”经验。创设农场分萝卜的情境，故意将白萝卜以“堆”的形式呈现，制造观察障碍，引导学生跳出“差比”的思维定式。通过“还有什么联系”的提问和课件动态圈画，将学生的注意力引向“份数”关系，自然孕伏“倍”的概念，引发认知冲突和学习期待。

  （二）操作探究，建构概念模型（预计用时：22分钟）

  1.活动一：动手“圈画”，初识“倍”。

  （1）教师示范与明确要求。

  师：刚才我们是怎么发现“白萝卜的根数是胡萝卜的3倍”的？第一步，先确定把谁看作“一份”，也就是“标准”。（板书：标准量）这里我们把2根胡萝卜看作1份（标准量）。第二步，看另一个数量（白萝卜）里面包含了几个这样的1份。（板书：比较量）包含了3个1份，所以白萝卜的根数就是胡萝卜的3倍。这个过程，我们可以用“圈一圈”的方法来表示。

  （2）学生独立尝试（学习任务单一）。

  课件出示任务一：①第一行画2个△。②第二行画8个○。

  要求：把△看作1份，圈一圈，○有（）个这样的1份，○的个数是△的（）倍。

  学生独立完成圈画和填空。教师巡视，指导有困难的学生，并收集典型作品。

  （3）交流展示与语言规范。

  利用投屏展示学生作品，请学生汇报。

  生：我把2个△圈起来作为1份，○每2个一圈，圈了4份。○有4个这样的1份，所以○的个数是△的4倍。

  师：表达非常清晰！谁能再完整地说一遍？（指名2-3名学生复述）我们一齐说：把2个△看作一份，○里面有4个这样的一份，所以○的个数是△的4倍。

  强调语言范式：“把（标准量）看作一份，（比较量）里面有（几）个这样的一份，所以（比较量）就是（标准量）的（几）倍。”

  （4）建立与乘法的联系。

  师：想一想，“○的个数是△的4倍”，除了用圈一圈看出来，还能用我们学过的什么知识来解释？

  生：△有2个，一份是2个，○有这样的4份，就是4个2，可以用乘法2×4=8（个）来算。

  师：太精彩了！把“倍”和“几个几”联系起来了。原来，“是几倍”就是“包含了几个一份”，也就是“几个几”。（板书：几倍→几个几）

  2.活动二：动手“摆放”，理解“标准量”。

  （1）任务驱动。

  师：看来圈一圈是个好方法。现在请大家拿出学具。听清要求：第一行摆3个红色圆片。第二行摆的蓝色圆片个数是第一行的2倍。想一想，第二行应该摆几个？摆完后，和同桌说说你是怎么想的。

  （2）学生操作与讨论。

  学生动手摆放。教师巡视，关注学生是否先确定“一份”（3个红片），再摆出2个这样的一份（即2个3）。收集错误案例，如误摆成“多2个”。

  （3）辨析纠错，深化理解。

  展示正确摆法（蓝色圆片为3个一堆，摆两堆）。

  师：他摆得对吗？为什么是2倍？

  生：因为第一行的3个红片是1份，第二行摆了2个这样的3，就是2份，所以是2倍。

  展示错误摆法（蓝色圆片摆了5个，无序）。

  师：这种摆法表示第二行是第一行的2倍吗？为什么？

  生：不是。2倍应该是摆出2个3，也就是6个。他只摆了5个，虽然比3个多2个，但这不是“倍”的关系。

  师：说得对！“多2个”是比多少，“是2倍”是看份数。这是两种不同的比较方式。

  （4）变化“标准量”，体会“相对性”。

  师：如果现在改变标准，把第一行的红片变成2个（教师调整），要使第二行蓝片是第一行的2倍，第二行该怎么摆？

  生：第一行2个是1份，第二行要摆2个这样的1份，就是2个2，摆4个。

  师：看，标准量变了，虽然都是“2倍”，但蓝片的具体数量也变了。这说明“倍”表示的是两个数之间的“关系”，这个关系会随着标准量的变化而变化。

  3.活动三：对比“求同”，抽象“倍”的本质。

  （1）提供一组变式材料（课件同步呈现）。

  情境A：黄花2朵，红花有3个2朵，红花是黄花的（3）倍。

  情境B：苹果4个，梨有2个4个，梨是苹果的（2）倍。

  情境C：小狗有3只，小猫有5个3只，小猫是小狗的（5）倍。

  （2）引导观察发现。

  师：请同学们仔细观察这三个情境，它们有什么共同的地方？

  学生独立思考后小组讨论。

  生1：都是先确定一份是多少。

  生2：都是看另一个里面有几个这样的一份。

  生3：都是用“倍”来说它们的关系。

  师（总结提升）：同学们找得非常准。无论标准量是2、是4还是3，无论比较量是几倍，我们要判断“倍”的关系，关键都是两步：第一步，找准“标准”，确定“一份”是多少；第二步，看“比较量”里包含了几个这样的“一份”。这就是“倍”的本质。

  【设计意图】此环节是概念建构的核心。通过三个层层递进的操作活动，让学生亲历“倍”的形成过程。活动一“圈画”，从模仿到独立，借助视觉化工具初步建立表象，并打通“倍”与“几个几”的关联。活动二“摆放”，从正向理解到辨析纠错，在动手操作中内化“标准量”的核心地位，并通过对比明确“倍比”与“差比”的区别。活动三“求同”，提供一组结构化材料，引导学生在比较、归纳中抽象概括出“倍”概念的本质属性，完成从具体到抽象的思维爬升。

  （三）巩固应用，促进概念内化（预计用时：12分钟）

  1.基础练习：看图填一填。

  （1）☆☆☆□□□□□□□□□

  把（3）颗☆看作一份，□有（3）个这样的一份，□的个数是☆的（3）倍。

  （2）第一行：∣∣∣第二行：∣∣∣∣∣∣∣∣∣

  第二行小棒的根数是第一行的（3）倍。

  （此题无直接圈画，需学生先观察出第一行的“一份”是3根，第二行有9根，包含3个3。）

  2.变式练习：想一想，说一说。

  （1）课件出示：橘色圆片6个，蓝色圆片2个。

  师：现在，谁是标准量？谁是比较量？橘色圆片是蓝色圆片的几倍？你是怎么想的？

  引导学生将较少的2个蓝片看作一份，6个橘片包含3个2，所以橘片是蓝片的3倍。此练习旨在训练学生灵活确定标准量，即使标准量是较小的数。

  （2）课件动态变化：第一行固定为4个三角形。第二行圆形数量由12个逐渐减少为8个、4个、1个。

  师：仔细观察，第二行圆形的数量在变化，它和第一行三角形的倍数关系发生了什么变化？

  引导学生说出：当圆形是12个时，是三角形的3倍（3个4）；8个时，是2倍（2个4）；4个时，是1倍（1个4，即同样多）；1个时，不能说成整数倍，因为1个里面不够1个4。此练习旨在让学生体会倍数关系的连续变化，理解“1倍”的含义，并认识到“倍”一般用于整数比较。

  3.综合应用：解决问题。

  呈现简单生活情境：小明有5本故事书，科技书的本数是故事书的4倍。科技书有多少本？

  师：这个问题能用“倍”的知识解决吗？“4倍”是什么意思？

  生：把故事书5本看作一份，科技书就有4个这样的5本。也就是求4个5是多少，用乘法5×4=20（本）。

  初步渗透“求一个数的几倍是多少”用乘法计算的模型。

  【设计意图】练习设计遵循“循序渐进、螺旋上升”的原则。基础练习巩固操作和观察方法；变式练习通过角色互换和动态变化，加深对概念本质（尤其是标准量的确定和倍数相对性）的理解，防止思维僵化；综合应用则将概念初步置于解决问题的背景中，建立“倍”与乘法的联系，为下节课的算法学习埋下伏笔。所有练习都服务于概念的内化与巩固。

  （四）总结延伸，拓展数学视野（预计用时：3分钟）

  1.回顾梳理。

  师：同学们，今天这节课我们认识了数学王国里的一位新朋友——“倍”。现在回顾一下，你有哪些收获？你对“倍”有了哪些认识？

  引导学生从知识、方法、感受等多方面进行总结。可能的回答：“我知道了两个数比较，除了比多少，还可以用倍。”“我知道了找‘倍’要先把谁看作一份。”“我学会了圈一圈、摆一摆来找倍数关系。”“倍在生活中很有用。”

  教师完善板书，形成知识结构图：两种比较（差比、倍比）→倍的含义（把…看作一份，…有几个这样的一份）→关键（找准标准量）。

  2.生活延伸。

  师：“倍”其实就藏在我们身边。你能举个例子吗？

  学生举例：爸爸的年龄是我的年龄的几倍；一支钢笔的价格是一支铅笔价格的几倍；教室灯管的数量是风扇数量的几倍……

  3.悬念启思。

  师：大家举的例子真好！如果老师告诉你，科技书有20本，是故事书的4倍，你能求出故事书有多少本吗？这个问题和我们今天学的“求科技书有多少本”正好相反。它们之间又有什么联系呢？这就是我们下节课要继续探索的奥秘。

  【设计意图】通过自主回顾，帮助学生梳理本节课的知识脉络和探究过程，将零散的认知结构化。生活举例让学生感受到数学的实用性，体会“倍”作为一种数量关系模型在现实世界的广泛存在。设置逆向思考问题作为悬念，激发学生持续探究的兴趣，实现课的终结与延伸的统一。

  五、板书设计

  板书设计将采用结构式与过程式相结合的方式，力求突出重点，清晰展现概念的形成过程和核心要素。

  （左侧主板书区域）

  倍的认识

  比较：1.比多少（差）→减法

  2.比倍数（份）→倍

  概念：把（标准量）看作一份，

  （比较量）里面有（几）个这样的一份，

  就是（标准量）的（几）倍。

  关键：找准“一份”（标准量）

  联系：几倍→几个几

  （右侧副板书区域，用于记录学生探究过程中的关键生成或举例）

  例如：胡萝卜（2根）1份

  白萝卜（6根）3份→3倍

  图示（简单圈画图）

  六、教学反思与评价设计

  （一）过程性评价设计