高中数学必修一（北师大版）第四章对数运算与对数函数知识清单

高中数学必修一（北师大版）第四章对数运算与对数函数知识清单一、对数的概念与指对互化【基础】★（一）对数的定义一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中，a叫做对数的底数，N叫做真数158.深入理解这一概念，需把握三个核心要素：底数a、真数N和对数值b，它们与指数式中的底数、指数和幂值一一对应。对数运算实际上就是求指数的运算，它揭示了底数与真数之间的指数关系。因此，对数式logaN本身就是一个实数，它表示一个指数，这个指数能使底数a自乘后等于真数N。（二）指数式与对数式的互化【高频考点】▲指数式与对数式的互化是对数运算的基础，其本质是同一种数量关系的两种不同表达形式。将指数式化为对数式，可以理解为“求指数”；将对数式化为指数式，则是将对数还原为指数形式。1.互化公式：ab＝N⇔logaN＝b（a＞0，且a≠1，N＞0）158.2.互化要点：（1）位置对应：在互化过程中，底数a始终是底数，位置不变。指数式中的指数b移动到对数式中成为对数值，幂值N移动到对数式中成为真数。（2）恒等关系：对数式logaN是指数式ab＝N的另一种写法，两者描述的是同一个指数关系。（3）变形应用：在解决与对数相关的问题时，常利用“指数式与对数式的互化”作为转化工具，将对数问题转化为指数问题处理，或反之。3.常见题型与示例：【题型1】将指数式化为对数式例：将下列指数式写成对数式：（1）54＝625⇒log5625＝4.（2）2－6＝1/64⇒log2(1/64)＝－6.（3）3a＝27⇒log327＝a7.【题型2】将对数式化为指数式例：将下列对数式写成指数式：（1）log5125＝3⇒53＝125.（2）log1/28＝－3⇒(1/2)－3＝8.（3）lg0.01＝－2⇒10－2＝0.01.（三）两种特殊对数【基础】★在科学技术和实际生活中，有两类对数因其特殊的底数而被赋予了专用的名称和符号，需要熟练掌握其表示方法。1.常用对数：以10为底的对数称为常用对数。为了简便起见，通常将log10N简记为lgN18.例如：log10100＝2，可记为lg100＝2；log100.001＝－3，可记为lg0.001＝－3.2.自然对数：在数学、物理、工程等许多领域中，以无理数e（e＝2.71828…）为底的对数称为自然对数。通常将logeN简记为lnN18.例如：logee＝1，可记为lne＝1；loge1＝0，可记为ln1＝0；logee2＝2，可记为lne2＝2.二、对数的基本性质与恒等式【重要】▲对数的定义直接衍生出一系列重要的性质和恒等式，这些是化简和求值的关键工具，必须准确记忆并理解其推导原理。（一）对数的基本性质1.零和负数没有对数：由于在指数式ab＝N中，幂值N＝ab＞0恒成立，因此真数N必须大于0，即负数和零没有对数18.这是对数运算中确定定义域的首要原则。2.1的对数为0：因为任何非零实数的0次幂都等于1，即a0＝1（a＞0，且a≠1），所以loga1＝078.3.底的对数为1：因为a1＝a（a＞0，且a≠1），所以logaa＝178.（二）两个重要的对数恒等式【难点】1.对数恒等式（一）：alogaN＝N（a＞0，且a≠1，N＞0）7.这个恒等式的意义在于，先取对数再取指数，两种互逆的运算相互抵消，结果还原为原来的真数。它是指数运算和对数运算互为逆运算的直接体现。2.对数恒等式（二）：logaab＝b（a＞0，且a≠1）7.这个恒等式的意义在于，先取指数再取对数，同样相互抵消，结果还原为原来的指数。它表明对数运算可以“摘下”指数。（三）解题应用与易错点【高频考点】▲【考向1】利用性质求值例1：求下列各式的值：（1）log51＝0.（1的对数为0）（2）lg10＝1.（底的对数为1）（3）lne－3＝－3.（应用恒等式logae－3＝－3）（4）2log25＝5.（应用恒等式a＝N）【考向2】对数式中参数的取值范围例2：已知对数log（x－1）（2x＋3）有意义，求实数x的取值范围.解析：对数有意义需满足三个条件：底数大于0且不等于1，真数大于0.即：{2x＋3＞0{x－1＞0{x－1≠1解得：x＞－1.5，x＞1，x≠2.综合得：x＞1且x≠2.易错点警示：在解决与对数定义域有关的问题时，极易遗漏底数大于0且不等于1以及真数大于0这两个条件，必须同时考虑。三、对数的运算性质【核心】★★★对数的运算性质是对数式进行化简与求值的主要工具，它们源于指数的运算性质，是“降级运算”思想的具体体现，能将乘除、乘方运算转化为加减、倍数运算，极大地简化了计算。（一）运算性质内容（M＞0，N＞0，a＞0，且a≠1）21.积的对数：loga(M·N)＝logaM＋logaN.即：正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。2.商的对数：loga(M/N)＝logaM－logaN.即：两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。3.幂的对数：logaMn＝n·logaM（n∈R）.即：正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数的幂底数的对数。（二）运算性质的推广与注意事项【难点】▲1.正用与逆用：运算性质既可以正用（将复合对数拆分成简单对数），也可以逆用（将多个同底对数的加减运算合并为单个对数）。在解题时需根据题目特点灵活运用。2.推广公式：（1）loga(M1·M2·…·Mn)＝logaM1＋logaM2＋…＋logaMn.（2）loga(Mn·Nm)＝n·logaM＋m·logaN.（3）loga(Mn/Nm)＝n·logaM－m·logaN.3.使用前提：所有性质的应用都必须确保每个对数都有意义，即每个真数均大于0，且底数满足条件。4.常见错误警示：（1）错将loga(M＋N)当成logaM＋logaN.（2）错将loga(M·N)当成logaM·logaN.（3）错将loga(M/N)当成logaM/logaN.（三）运算性质的应用【高频考点】▲【考向1】化简求值（正用性质）例：计算下列各式的值：（1）log2(23×45).解法一：log2(23×45)＝log2(23×(22)5)＝log2(23×210)＝log2213＝13.解法二：log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5·log24＝3＋5×2＝13.（2）lg14－2lg(7/3)＋lg7－lg18.解析：lg14－2lg(7/3)＋lg7－lg18＝lg14－lg(7/3)2＋lg7－lg18＝lg[14×7÷(49/9)÷18]＝lg[14×7×(9/49)×(1/18)]＝lg(14×9×(1/18))＝lg(14/2)＝lg7.【考向2】表示对数（逆用性质）例：已知lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示下列各式：（1）lg12＝lg(22×3)＝2lg2＋lg3＝2a＋b.（2）lg√15＝(1/2)lg(3×5)＝(1/2)(lg3＋lg5).此处需要进一步用已知量表示lg5，由lg5＝1－lg2＝1－a，故原式＝(1/2)(b＋1－a).四、换底公式【难点与热点】★★★换底公式是解决不同底对数运算与化简的关键工具，它将任意底的对数转化为同底（常用底10或e）的对数，使得对数运算得以在不同底之间进行。（一）换底公式及其证明1.换底公式：logab＝logcb/logca（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0）2.2.公式证明：设logab＝x，则ax＝b.两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即x·logca＝logcb，解得x＝logcb/logca，故logab＝logcb/logca.（二）换底公式的重要推论1.logab＝1/logba（a，b＞0，且a，b≠1）.证明：由换底公式，取c＝b，则logab＝logbb/logba＝1/logba.2.loganbm＝(m/n)·logab（a＞0，且a≠1，b＞0，n≠0）.证明：loganbm＝logbm/logan＝m·logb/(n·loga)＝(m/n)·(logb/loga)＝(m/n)·logab.3.logab·logbc·logca＝1（a，b，c＞0且均不为1）.（三）换底公式的应用【高频考点】▲【考向1】不同底对数化简与求值例1：计算(log43＋log83)·(log32＋log92).解析：观察到各对数底数不同，可统一换为常用底或统一换为以2为底的对数（或3为底）.方法一（换为以2为底）：原式＝(lg3/lg4＋lg3/lg8)·(lg2/lg3＋lg2/lg9)＝(lg3/(2lg2)＋lg3/(3lg2))·(lg2/lg3＋lg2/(2lg3))＝(lg3/lg2)(1/2＋1/3)·(lg2/lg3)(1＋1/2)＝(5/6)×(3/2)＝5/4.方法二（换为以3为底）：原式＝(1/log34＋1/log38)·(log32＋1/log39)＝(1/(2log32)＋1/(3log32))·(log32＋1/2)＝(1/log32)(1/2＋1/3)·(log32＋1/2)＝(5/6)·(1/log32)·(log32＋1/2)此处不展开，最终结果一致。【考向2】利用推论化简例2：已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log4256.解析：这是一个典型的用已知对数表示目标对数的问题。目标对数的底数和真数均可分解为已知数的幂与积。log4256＝log2(7×8)/log2(42)＝(log27＋log28)/log2(2×3×7)由log23＝a，log37＝b⇒log27＝log23·log37＝a·b.log28＝3.log2(2×3×7)＝1＋log23＋log27＝1＋a＋ab.所以，log4256＝(ab＋3)/(1＋a＋ab).解题策略：涉及不同底或复杂底数的对数化简求值，首选换底公式，将其转化为同底对数（通常以已知对数的底为底，或以常用对数、自然对数为底），然后利用运算性质合并、化简。五、对数函数的概念与基本性质【基础】★对数函数是基本初等函数之一，它是指数函数的反函数，是刻画许多自然和社会现象的重要数学模型。（一）对数函数的定义一般地，函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）23.理解要点：（1）形式化定义：对数函数的解析式具有严格的形式，必须是形如y＝logax的形式，前面的系数必须为1，自变量x必须在真数的位置。（2）定义域：由对数的定义可知，真数必须大于0，因此对数函数的定义域为（0，＋∞）.这是研究对数函数性质的基础。（3）与指数函数的关系：对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）与指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）互为反函数35.它们的定义域和值域互换，图像关于直线y＝x对称。（二）对数函数的图像与性质【核心】★★★对数函数的图像与性质取决于底数a的取值。当a＞1和0＜a＜1时，函数的单调性、图像位置等有着本质的区别。1.图像特征：（1）所有对数函数的图像都过定点（1，0）.因为loga1＝0对任何a＞0且a≠1都成立23.（2）图像在y轴右侧，并向左无限靠近y轴，即以y轴为渐近线.（3）当a＞1时，函数图像从左到右呈上升趋势；当0＜a＜1时，函数图像从左到右呈下降趋势.2.函数性质对比：|性质|a＞1|0＜a＜1||:|:|:||图像|上升曲线|下降曲线||定义域|（0，＋∞）|（0，＋∞）||值域|R|R||定点|（1，0）|（1，0）||单调性|在（0，＋∞）上是增函数|在（0，＋∞）上是减函数||函数值变化|x＞1时，y＞0；0＜x＜1时，y＜0|x＞1时，y＜0；0＜x＜1时，y＞0|（三）与对数函数相关的复合函数问题【难点与热点】▲对数函数常与其他函数复合，形成如y＝logaf（x）或y＝f（logax）等形式，这些复合函数的性质研究是考试的重点和难点。1.定义域的求解：对于函数y＝logaf（x），其定义域由f（x）＞0决定，即解不等式f（x）＞03.例：求函数y＝log2（x2－3x＋2）的定义域.解析：需x2－3x＋2＞0，即（x－1）（x－2）＞0，解得x＜1或x＞2.故定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞）.2.值域的求解：求对数型函数的值域，通常先求出真数部分的取值范围，再结合对数函数的单调性确定整个函数的值域.例：求函数y＝log2（x2＋4）的值域.解析：令t＝x2＋4，则t≥4.由于y＝log2t在[4，＋∞）上单调递增，所以y≥log24＝2.故函数的值域为[2，＋∞）9.3.单调性的判断【高频考点】▲复合函数y＝logaf（x）的单调性遵循“同增异减”原则：（1）先求定义域，确保f（x）＞0.（2）分解为y＝logau和u＝f（x）.（3）判断内外层函数的单调性：若内外层单调性相同（同增或同减），则复合函数为增函数；若内外层单调性相反，则复合函数为减函数9.例：求函数y＝log0.5（x2－2x－3）的单调递增区间.解析：第一步，求定义域：x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3.第二步，分解函数：外层y＝log0.5u为减函数.第三步，分析内层：内层u＝x2－2x－3在（－∞，1）上递减，在（1，＋∞）上递增.第四步，结合定义域与“同增异减”：由于外层为减函数，要求复合函数递增，需内层也为减函数，即取u的递减区间，且在定义域内.内层在（－∞，1）上递减，与定义域（－∞，－1）取交集，得（－∞，－1）.故函数y＝log0.5（x2－2x－3）的单调递增区间为（－∞，－1）9.4.奇偶性的判断【重要】▲对数函数本身是非奇非偶函数，但通过对真数的特殊构造（如与绝对值、倒数等结合），可以形成具有奇偶性的复合函数.例：判断函数f（x）＝ln（x＋√（x2＋1））的奇偶性.解析：定义域为R.计算f（－x）＝ln（－x＋√（x2＋1））.将f（x）与f（－x）相加：f（x）＋f（－x）＝ln[（x＋√（x2＋1））（－x＋√（x2＋1））]＝ln[（x2＋1）－x2]＝ln1＝0.所以f（－x）＝－f（x），即函数为奇函数9.六、对数比较大小的策略【高频考点】★★★比较对数式的大小是考试中的常见题型，需要综合运用对数函数的单调性、中间量法等技巧。（一）同底对数比较大小若底数相同，直接利用对数函数的单调性比较真数的大小即可.（1）当a＞1时，函数单调递增，真数越大，对数值越大.（2）当0＜a＜1时，函数单调递减，真数越大，对数值反而越小.（二）同真数对数比较大小若真数相同，底数不同，可通过图像法或转化为同底进行比较.常用方法是利用换底公式转化为同底，或借助中间值（如1）进行比较.例：比较log23与log32的大小.解析：log23＞1（因为log22＝1，且3＞2），而log32＜1（因为log33＝1，且2＜3），所以log23＞1＞log32.（三）底数和真数均不同此时常需引入中间量（如0、1、－1等）作为桥梁进行比较.例：比较log0.32，log20.3，0.32三个数的大小.解析：log0.32＜log0.31＝0；log20.3＜log21＝0，但log20.3＜log20.5＝－1，而－1＜log0.32＜0；0.32＝0.09＞0.故log20.3＜log0.32＜0.32.（四）利用图像比较在同一坐标系中画出不同底的对数函数图像，通过图像的高低直观判断函数值的大小.例如，当x＞1时，底数越大，图像越靠近x轴；当0＜x＜1时，底数越大，图像越远离x轴.七、对数方程与对数不等式的解法【热点】▲（一）对数方程的解法解对数方程的基本思想是“化同底”，将对数方程转化为代数方程求解.常见类型：（1）形如logaf（x）＝b的方程：化为指数式f（x）＝ab，然后求解，并检验f（x）＞0.（2）形如logaf（x）＝logag（x）的方程：由对数函数的单调性，可得f（x）＝g（x）＞0，解此代数方程并检验.（3）可化为二次型或可换元的方程：如2（log3x）2－log3x－1＝0，可设t＝log3x，先解t，再求x.解题步骤与易错点：（1）明确解题步骤：确定定义域→化简方程（化同底）→转化为代数方程→求解→检验（所得解必须满足定义域）.（2）易错点警示：解对数方程最易忽略的就是检验真数大于0，导致增根的出现.（二）对数不等式的解法解对数不等式同样基于对数函数的单调性，但需注意底数的取值范围对不等号方向的影响.常见类型与解法：（1）形如logaf（x）＞b的不等式：将b写成logaab，然后分情况讨论.若a＞1，则f（x）＞ab；若0＜a＜1，则0＜f（x）＜ab.（2）形如logaf（x）＞logag（x）的不等式：若a＞1，则f（x）＞g（x）＞0；若0＜a＜1，则0＜f（x）＜g（x）9.（3）复杂对数不等式：如含不同底的对数，可先通过换底公式化为同底，再按上述方法求解.解题步骤：（1）确定使每个对数有意义的x的取值范围（定义域）.（2）利用对数的运算性质或换底公式，将不等式两边化为同底对数.（3）根据底数的范围（是否大于1），确定对应对数函数的单调性，脱去对数符号，得到关于真数的不等式组.（4）解所得不等式组，并与定义域取交集，得到最终解集.八、综合应用与思想方法提炼（一）对数运算中的常用技巧1.“拆”与“合”：在化简求值时，既要熟练运用运算性质将复杂对数拆成简单对数的和差（拆），也要能灵活地将多个同底对数合并成一个对数（合）.2.“1”的妙用：lg2＋lg5＝1，logab·logba＝1，lne＝1，logaa＝1等恒等式常用于化简.3.换底策略：遇到不同底的对数运算，优先考虑换底；遇到底数与真数都是幂的形式，考虑用推论loganbm＝(m/n)logab简化.4