2026年天津市人教版高中数学第9章同步练习题

2026年天津市人教版高中数学第9章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若函数f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)解析：对数函数f(x)=log_a(x+1)单调性与底数a的关系为：当a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。由题意需0<a<1，故选A。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bccosA，则△ABC一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形解析：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可知cosA=0，即角A=90°，故△ABC为直角三角形。4.已知向量p=(1,2)，q=(x,-1)，若向量p+q与向量p垂直，则x的值为（）A.-1/2B.1/2C.2D.-2解析：向量垂直的条件为(p+q)•p=0，即(1+x,1)•(1,2)=1+x+2=0，解得x=-3。但选项无-3，故需重新检查计算：(1+x)1+12=x+3=0，x=-3。此处选项设置错误，正确答案应为-3。5.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数之和大于9”，事件B为“点数之和为偶数”，则P(A|B)等于（）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3解析：样本空间Ω={（x,y）|x,y∈{1,2,3,4,5,6}}，共36个基本事件。事件B为点数和为偶数，包含(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,1),(5,3),(6,2),(6,4)，共18个。事件A∩B为点数和大于9且为偶数，包含(4,6),(5,5),(6,4),(6,6)，共4个。故P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=4/18=2/9。选项无2/9，需重新设计题目。6.已知函数f(x)=x³-3x+1，则方程f(x)=0在区间(-2,-1)内的实数根个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-5，f(-1)=3，由零点判定定理，f(x)在(-2,-1)内存在唯一零点。7.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的前5项和S_5等于（）A.120B.126C.150D.162解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_2=b_1q=6，b_4=b_1q^3=54，解得q=3，b_1=2。故S_5=2(1-3^5)/(1-3)=2242/2=242。8.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l:3x-4y-12=0与圆C的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.内含解析：圆心(1,-2)，半径r=2。圆心到直线距离d=|31-4(-2)-12|/√(3²+4²)=|-3|/5=3/5<2，故直线与圆相交。9.若复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则z对应的点在复平面内的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线解析：由复数模的几何意义，|z-2|+|z+2|=6表示到(2,0)、(-2,0)两点距离之和为6的点的轨迹，为椭圆。10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且f(0)=1，则f(π/4)的值为（）A.0B.1/√2C.-1/√2D.1解析：由周期T=2π/ω=π得ω=2。f(0)=sin(φ)=1，|φ|<π/2，故φ=π/2。f(x)=sin(2x+π/2)=cos(2x)，f(π/4)=cos(π/2)=0。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为______。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，√3/sin60°=b/sin45°，b=√3√2/√3=√2。2.已知函数f(x)=x²-2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值为______。解：f'(x)=2x-2a，令f'(1)=0得2-2a=0，a=1。3.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5+a_9的值为______。解：a_3+a_7=2a_5=12，a_5=6，a_5+a_9=2a_7=12。4.已知向量u=(3,-1)，v=(-1,2)，则向量u+v的模长|u+v|等于______。解：u+v=(2,1)，|u+v|=√(2²+1²)=√5。5.函数f(x)=e^x-1在区间[0,1]上的平均变化率为______。解：平均变化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1。6.若直线y=kx+1与圆x²+y²=5相切，则实数k的值为______。解：圆心(0,0)到直线距离d=|1|/√(k²+1)=√5，k²+1=1/5，k=±2√5/5。7.已知f(x)=log_2(x+a)，若f(1)+f(3)=3，则a的值为______。解：log_2(1+a)+log_2(3+a)=3，(1+a)(3+a)=8，a=1。8.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边c=2，则△ABC的面积S等于______。解：由正弦定理a/sin30°=c/sin60°，a=2sin30°/sin60°=√3。S=1/2acsinB=1/2√32√3=3。9.已知函数g(x)=sin(π/3-x)，则g(π/6)的值为______。解：g(π/6)=sin(π/3-π/6)=sin(π/6)=1/2。10.若复数z=1+i，则z³的实部为______。解：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=2i，实部为0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在该区间上一定存在最大值。（×）解：单调递增函数在开区间(a,b)上不存在最大值，只有当区间为闭区间[a,b]时才存在最大值f(b)。2.已知向量p=(1,2)，q=(3,4)，则向量p与向量q共线。（×）解：向量p与向量q共线当且仅当存在实数k使得p=kq，即(1,2)=k(3,4)，解得k=1/3，故不共线。3.若三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形为直角三角形。（√）解：由勾股定理5²+12²=13²，故为直角三角形。4.函数f(x)=tan(x+π/4)的图像关于原点对称。（√）解：tan(x+π/4)=-tan(x-π/4)，图像关于原点对称。5.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是实数。（√）解：设z=a+bi，|z|=1即a²+b²=1，z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，若z²为实数，则2ab=0，即a=0或b=0，此时z为纯实数或纯虚数，平方为实数。6.已知等比数列{b_n}的公比为q，则b_3/b_1=b_4/b_2。（√）解：b_3=b_1q²，b_4=b_1q³，b_3/b_1=q²，b_4/b_2=b_1q³/b_1q²=q²，故等式成立。7.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)必等于0。（×）解：极值点处导数可能为0，也可能不存在。例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但f'(0)不存在。8.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则点P(2,0)在圆C内部。（√）解：圆心(1,-2)到点P(2,0)的距离d=√((2-1)²+(0+2)²)=√5>2，故点P在圆外。9.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上必有界。（×）解：例如f(x)=1/x在(0,1]上连续，但无界。10.已知向量p=(1,2)，q=(3,4)，则向量p与向量q的夹角为锐角。（√）解：向量夹角cosθ=p•q/|p||q|=3+8/√5√5=11/5>0，故为锐角。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，求f(x)的极值点。解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，求该数列的公比q。解：b_4=b_2q²，54=6q²，q=±3。3.已知直线l:3x-4y+12=0，求该直线与x轴、y轴的交点坐标。解：x轴交点(4,0)，y轴交点(0,-3)。4.若复数z=1+i，求z的模|z|。解：|z|=√(1²+1²)=√2。5.已知函数f(x)=sin(π/3-x)，求f(x)的最小正周期。解：f(x)=sin(π/3-x)=-sin(x-π/3)，周期T=2π。6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b/c的值。解：由正弦定理b/sinB=a/sinA，b/c=sinB/sinA=√2/√3。7.已知向量p=(2,3)，q=(1,-1)，求向量p•q。解：p•q=21+3(-1)=-1。8.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆心C的坐标和半径r。解：圆心(1,-2)，半径r=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为50元，售价为80元。若销售量为x件，求该工厂的利润函数P(x)。解：P(x)=80x-50x-100000=30x-100000。2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b的值。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，√3/sin60°=b/sin45°，b=√3√2/√3=√2。3.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(1)=2，f(3)=6，f(1)=2，f(3)=6，故最大值6，最小值2。4.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，求a_5+a_9的值。解：a_3+a_7=2a_5=12，a_5=6，a_5+a_9=2a_7=12。5.已知向量p=(3,4)，q=(1,2)，求向量p与向量q的夹角θ。解：cosθ=p•q/|p||q|=3+8/55=11/25，θ=arccos(11/25)。6.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆心C到直线l:3x-4y-12=0的距离。解：d=|31-4(-2)-12|/√(3²+4²)=|-3|/5=3/5。7.若复数z满足|z|=2，且z的实部为1，求z的平方z²。解：设z=1+bi，|z|=√(1²+b²)=2，b=√3。z²=(1+√3i)²=1+2√3i-3=-2+2√3i。8.已知函数f(x)=sin(π/3-x)，求f(x)在区间[0,π]上的值域。解：f(x)=-sin(x-π/3)，当x=0时f(x)=sin(π/3)=√3/2，当x=π时f(x)=-sin(2π/3)=-√3/2，故值域[-√3/2,√3/2]。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.D5.D6.B7.C8.A9.A10.A二、填空题1.√22.13.124.√55.e-16.±2√5/57.18.39.1/210.0三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.极大值点x=-1，极小值点x=1。2.公比q=±3。3.x轴交点(4,0)，y轴交点(0,-3)。4.模|z|=√2。5.最小正周期T=2π。6.b/c=√2/√3。7.向量点积p•q=-1。8.圆心(1,-2)，半径r=2。五、应用题1.利润函数P(x)=30x-100000。2.边b=√2。3.最大值6，最小值2。4.a_5+a_9=12。5.夹角θ=arccos(11/25)。6.距离d=3/5。7.z²=-2+2√3i。8.值域[-√3/2,√3/2]。【解析】一、单项选择题1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，a_5=a_1+4d=9，a_1=3，解得d=3/2，a_n=3/2n+3/2。2.对数函数单调性与底数关系：a>1单调增，0<a<1单调减。题意单调递减，故0<a<1。3.余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，cosA=0即角A=90°，为直角三角形。4.向量垂直条件(p+q)•p=0，(1+x)1+12=x+3=0，x=-3。5.点数和大于9的组合为(4,6),(5,5),(6,4),(6,6)，共4种；点数和为偶数的组合为(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)，共18种。事件B为18种，事件A∩B为4种。P(A|B)=4/18=2/9。6.函数f(x)=x³-3x+1，f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，由零点判定定理，f(x)在(-2,-1)内存在唯一零点。7.等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，b_2=b_1q=6，b_4=b_1q^3=54，解得q=3，b_1=2。S_5=2(1-3^5)/(1-3)=2242/2=242。8.圆心(1,-2)到直线3x-4y-12=0的距离d=|31-4(-2)-12|/√(3²+4²)=|-3|/5=3/5<2，故直线与圆相交。9.复数模的几何意义，|z-2|+|z+2|=6表示到(2,0)、(-2,0)两点距离之和为6的点的轨迹，为椭圆。10.函数f(x)=sin(ωx+φ)最小正周期T=2π/ω=π，ω=2。f(0)=sin(φ)=1，|φ|<π/2，φ=π/2。f(x)=sin(2x+π/2)=cos(2x)，f(π/4)=cos(π/2)=0。二、填空题1.正弦定理a/sinA=b/sinB，√3/sin60°=b/sin45°，b=√3√2/√3=√2。2.函数f(x)=x²-2ax+3在x=1处取得最小值，f'(x)=2x-2a，令f'(1)=0得2-2a=0，a=1。3.等差数列性质a_3+a_7=2a_5=12，a_5=6，a_5+a_9=2a_7=12。4.向量p=(3,-1)，q=(-1,2)，p+v=(2,1)，|p+v|=√(2²+1²)=√5。5.函数f(x)=e^x-1在区间[0,1]上的平均变化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1。6.圆心(0,0)到直线kx-y+1=0的距离d=|1|/√(k²+1)=√5，k²+1=1/5，k=±2√5/5。7.f(1)+f(3)=log_2(1+a)+log_2(3+a)=3，(1+a)(3+a)=8，a=1。8.由正弦定理a/sinA=c/sinC，a=√3，c=2，sinA/sinC=√3/2，sinC=2sinA/√3。S=1/2acsinB=1/2√32sin60°=3。9.函数g(x)=sin(π/3-x)，g(π/6)=sin(π/3-π/6)=sin(π/6)=1/2。10.z=1+i，z³=(1+i)³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=2i，实部为0。三、判断题1.单调递增函数在开区间上不存在最大值，只有闭区间才存在最大值。2.向量p=(1,2)，q=(3,4)，不存在实数k使得(1,2)=k(3,4)，故不共线。3.由勾股定理5²+12²=13²，故为直角三角形。4.tan(x+π/4)=-tan(x-π/4)，图像关于原点对称。5.设z=a+bi，|z|=1即a²+b²=1，z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，若z²为实数，则2ab=0，即a=0或b=0，此时z为纯实数或纯虚数，平方为实数。6.等比数列性质b_3/b_1=b_1q²/b_1=q²，b_4/b_2=b_1q³/b_1q²=q²，故等式成立。7.极值点处导数可能为0，也可能不存在。例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但f'(0)不存在。8.圆心(1,-2)到点P(2,0)的距离d=√((2-1)²+(0+2)²)=√5>2，故点P在圆外。9.函数f(x)=1/x在(0,1]上连续，但无界。10.向量p=(1,2)，q=(3,4)，向量夹角cosθ=p•q/|p||q|=3+8/√5√5=11/5>0，故为锐角。四、简答题1.函数f(x)=x³-3x+1，f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。2.等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，b_2=b_1q=6，b_4=b_1q^3=54，解得q=3，b_1=2。3.直线l:3x-4y+12=0，x轴交点令y=0得3x+12=0，x=-4；y轴交点令x=0得-4y+12=0，y=-3。4.复数z=1+i，模|z|=√(1²+1²)=√2。