带电粒子在有界磁场中的运动

带电粒子在有界磁场中的运动

目录

类型1—直线单边界磁场模型...............................................................................................................1

题型一、直线单边界磁场.......................................................................................................................2

类型2—平行边界磁场模型.....................................................................................................................5

题型二、平行边界磁场........................................................................................................................6

类型3-—三角形或四边形磁场模型.................................................................................................1

题型三、三角形或多边形磁场...........................................................................................................12

类型4—圆形边界磁场.......................................................................................................................23

题型四、圆形磁场模型.......................................................................................................................24

类型1--直线单边界磁场模型

a

一、对称性(必考)

带电粒子从同一条直线边界射入、射出匀强磁场，满足：入射角=出射角(速度与边界夹角相等),轨迹关

于边界法线对称。

核心推论：速度偏转角=2倍入射角

基础公式：,运动时间

二、两类经典入射模型

模型1:垂直边界入射(θ=90°)

粒子垂直直线边界射入磁场，必垂直边界射出，轨迹为半圆。

几何结论：入射点与出射点间距d=2R;

时间结论：运动时间,为单边界最长运动时间。

模型2:斜向边界入射(夹角为θ)

粒子以速度与边界成θ角射入，以同样θ角射出。

核心几何关系：

1.劣弧轨迹：圆心角α₁=20

2.优弧轨迹：圆心角α₁=2π-20

3.进出点弦长：L=2Rsinθ

4.运动时间

劣弧时间：

优弧时间：

三、粒子源全场发射临界规律(高频压轴)

粒子源在直线边界上，等速率、全角度射入磁场：

1.最远出射距离：垂直入射时出射点离源点最远，最大距离dmax=2R;

2.相切临界：轨迹与直线边界相切时，为粒子恰好不能射出磁场的临界状态；

四、正负粒子极简结论

同等条件下，正、负粒子偏转方向相反，两段圆弧可拼接为一个完整圆周，半径、周期大小完全相同。

五、解题三步法(万能模板)

1.判对称：利用入射角=出射角快速画轨迹；

2.找圆心：过入射、出射速度作垂线，交点即为圆心；

3.定角度：由几何关系求圆心角，计算半径、时间、位移。

题型一、直线单边界磁场

1.(多选)(21-22高三上·福建泉州·阶段检测)比荷相同的带电粒子M和N,经小孔S以相同的方向垂直

射入匀强磁场中，M和N仅在洛伦兹力作用下运动的部分轨迹分别如图中虚线a、b所示。下列说法正

确的是()

A.M、N均带正电B.N的速度大于M的速度

C.M、N在磁场中运行的周期相等D.洛伦兹力对M、N均做正功

【答案】AC

【难度】0.85

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】A.由左手定则可知，两粒子均带正电，A正确；

B.由洛伦兹力作为向心力可得,解得,两粒子的比荷相同，且由图可知M的轨道

半径大于N的轨道半径，故M的速度大于N的速度，B错误；

C.粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期为,两粒子的比荷相等，故两粒子在磁场中运行的周

期相等，C正确；

D.洛伦兹力始终垂直于运动方向，故洛伦兹力不做功，D错误。故选AC。

2.(多选)(25-26高三上·山东菏泽·阶段检测)如图所示，比荷不同的带电粒子M和N以相同的速率经小

孔S垂直进入匀强磁场，不计带电粒子所受重力，M和N运动的半圆轨迹如图中虚线所示，则下列表述

正确的是()

A.M带负电，N带正电B.M的比荷大于N的比荷

C.M的运行周期等于N的运行周期D.M的运行时间大于N的运行时间

【答案】AD

【难度】0.85

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】A.由左手定则判断出N带正电荷，M带负电荷，选项A正确；

B.粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，由,解得,M的比荷小于N的比荷，

选项B错误；

CD.粒子在磁场中运动半周，即时间为周期的一半，周期为,则M的运行周期、时间大于N的

运行周期、时间，选项C错误，选项D正确。故选AD。

3.(25-26高三上·陕西商洛·阶段检测)如图所示，直线MN上方存在范围足够大的磁感应强度为B的匀强

磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度v从O点沿与MN成30°角的方向射入磁场中，不计

粒子重力，则()

A.粒子从磁场中射出时到O点的距离为

B.粒子从磁场中射出时到O点的距离为

C.粒子在磁场中运动的时间为

D.粒子在磁场中运动的时间为

【答案】C

3

【难度】0.85

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】AB.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示

有洛伦兹力充当向心力，有,从磁场中出射的点到O点的距离为d=2rsin30°

可解得,故AB错误；

CD.带电粒子在磁场内转过了300°,运动时间为,故C正确，D错误。故选C。

4.(2025·福建龙岩·二模)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向

均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后

垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为

A.

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】运动轨迹如图：

即运动由两部分组成，第一部分是·个周期，第二部分是个周期，粒子在第二象限运动转过的角度

为90°,则运动的时间为;粒子在第一象限转过的角度为60°,则运动的时间

4

;则粒子在磁场中运动的时间为：,故B

正确，ACD错误。

5.(21-22高三上·河南·阶段检测)如图所示，直线MN是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别

沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t₁、t₃时间均

从p点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于MN)的粒子经t₂时间从q点离开磁场，p是Oq的中点，则t₁、

t₂、t₃之比为()

A.1:2:3B.1:3:5C.2:3:4D.3:4:5

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】由于粒子运动的速度相等，所以三个粒子的轨道半径也相等。粒子2在磁场中运动了半个周期，

所用时间为,由于p是Oq的中点，根据几何关系可知，粒子1的圆心角为60°,所用时间为t₁=

,粒子3的圆心角为300°,所用时间为,所以t₁:t2:t₃=1:3:5。故选B。

类型2—-平行边界磁场模型

U

d=R₁(1-cosθ)

一、两大基础入射模型

模型1:垂直边界入射

粒子垂直平行边界射入磁场，速度方向垂直边界、平行于磁场宽度方向。

轨迹特征：圆心在入射边界上，轨迹为一段圆弧，垂直入射、斜向出射，速度偏转角=轨迹圆心角。

几何关系：设磁场宽度为d,由勾股定理R²=(R-x)²+d,可快速求解侧移量x、偏转角。

模型2:斜向边界入射(常规考法)

①速度较小时，做部分圆周运动后从原边界飞出

5

②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动，其轨迹与另一边界相切

③速度较大时粒子做部分圆周运动后从另一边界飞出

二、平行磁场的临界模型

临界1:刚好穿出磁场临界(最大半径/最大速度)

粒子斜入射，轨迹圆弧刚好与另一边界相切，为粒子能穿出磁场的临界状态。

几何核心：此时轨迹半径最小/速度最小(固定角度),是能否出磁场的分水岭。速度再小、半径再

小，粒子会打在同侧边界，无法穿出。

临界2:刚好不穿出磁场临界

与上述临界相反，粒子入射后轨迹无法抵达对侧边界，最终从入射侧边界射出。常用于求解最大磁

感应强度、最小速度。

三、解题万能步骤

1.找圆心：过入射、出射速度作垂线，交点即为圆心；

2.卡临界：相切状态锁定半径最值、速度最值；

3.算参量：结合圆心角求时间、位移、侧移量。

题型二、平行边界磁场

6.(2025·广东茂名·模拟预测)如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和v₆射入匀强磁场，两

粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°,磁场宽度为d,两粒子同时由A点出发，同时到达

B点，则()

A.两粒子圆周运动的周期之比Ta:T=2:1B.两粒子的质量之比ma:m,=1:2

C.两粒子的轨道半径之比R:R₆=1:√3D.两粒子的速率之比va:v=3:2

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】A.如图

由几何关系可得，从A运动到B,a粒子转过的圆心角为60°,b粒子转过的圆心角为120°,两粒子运动时

间相同，根据；,可得运动周期为T:T=0:0a=2:1,故A正确；

BCD.设粒子a的运动轨迹半径为Ra,粒子b的运动轨迹半径为R,,根据几何关系可知

,整理可得R:R₆=√3:1,两粒子做匀速圆周运动有

此可得vVa:₆=√3:2,粒子所受洛伦兹力提供向心力，故有,整理可得,由此可得

ma:m,=2:1,故BCD错误。故选A。

7.(24-25高三上·山东临沂·阶段检测)如图所示，有界匀强磁场的宽度为d,一带电荷量为q、质量为m的

带负电粒子以速度vo垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为30°,不计粒子受到的重力，下列说法

正确的是()

A.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d

B.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为

C.带电粒子在匀强磁场中运动的时间为

D.匀强磁场的磁感应强度大小为

【答案】B

【难度】0.65

7

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】A.由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为,选项A

错误；

B.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为,选项B正确；

,选项错误；

C.带电粒子在匀强磁场中运动的时间为；C

,选项错误。故选B。

D.根据,解得匀强磁场的磁感应强度大小为。D

8.(2026·河南·高考真题)如图，间距为l的两虚线a、b间存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，虚线b上方

存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子在纸面内垂直于虚线a从O点射入磁场，一段时间

后又从O点射出磁场。已知该粒子在下方磁场中运动的圆轨迹半径为1,不计重力，则上、下磁场的磁

感应强度大小之比为()

A.2:1B.3:1C.4:1D.5:1

【答案】C

【难度】0.54

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】根据运动的对称性，可得粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示

带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，有,整理得磁感应强度,由于粒

,由几何关系，可知△O₂BC与△O₁AB相似，则

子的不变，因此磁感应强度,即

,由勾股定理得,联立解得

,故选C。

8

9.(24-25高三上·甘肃白银·阶段检测)如图所示，平行直边界M、N区域内分布有磁感应强度大小为B、

方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场宽度为d。将质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从O位置沿M边

界向上射入磁场中，速度大小,经历一段时间，粒子从边界N上的Q点(图中没有画

出)射出磁场，粒子重力不计，则粒子在磁场中运动的时间为()

【答案】D

【难度】0.4

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】粒子进入磁场后，洛伦兹力始终与速度垂直，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有

,角得,设粒子从O点运动到Q点对应的圆心角为θ,由几何关系有

d=R(1-cos0),解得，,因此,粒子做圆周运动的角速度为w=

,粒子在磁场中的运动时间为：,解得；,故选D。

10.(2025-河北保定·一模)如图所示，平行虚线MN、PQ间有宽度为L、磁感应强度为B、方向垂直纸面向里

的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿着纸面与MN夹角为θ=37°的方向以速率v垂直射

入磁场中，恰能垂直PQ边界射出磁场；改变粒子入射速度方向和大小，使粒子均以的速率沿纸面不

同方向射入磁场，不计粒子的重力，sin37°=0.6,cos37°=0.8,下列说法正确的是()

A.粒子射入磁场的速率v满足

B.粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场时，粒子在磁场中运动的周期变为原来一半

C.粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出的粒子中在磁场中运动的最短时间

9

为

D.粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出范围的长度为

【答案】C

【难度】0.4

【知识点】带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式、带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】A.速度为v的粒子沿着纸面与MN夹角为θ=37°的方向垂直射入磁场时，洛伦兹力提供向心

力，在磁场中做圆周运动轨道半径为,洛伦兹力提供向心力有Bqv=

,解得,A错误；

B.根据周期公式,洛伦兹力提供向心力1,解得周期,从周期表达

式可以看出周期只与磁感应强度B,粒子质量m和粒子电荷量q有关，而这些物理量均未发生变化，所

以周期T不变，B错误；

C.从A项中洛伦兹力表达式可以看出速度为v时，轨道半径,从B选项中洛伦兹力表

达式可以看出速度为分析知，当粒子在磁场中的弦长为

时，轨道半径,解得L

时，圆心角最小，时间最短，设此时圆心角为2α,则；,因此α=53°,所以速度为的粒子

在磁场中的最短时间为；,解得；,C正确；

D.当粒子平行于边界MN向下入射时，在边界PQ射出时有最低点，出射点与入射点竖直方向的距离

为,当出射方向与边界PQ相切时，在PQ上有最高点，出射点与入射点竖直方

向距离为,所以从PQ边界射出范围为,D错误。故选C。

11.(多选)(23-24高三下·湖南邵阳·阶段检测)如图所示，一个理想边界为PQ、MV的足够大的匀强磁场

区域，宽度为d,磁场方向垂直纸面向里。O点处有一体积可忽略的电子发射装置，能够在纸面所在平面

内向磁场内各个方向连续、均匀地发射速度大小相等的电子，当电子发射速率为v₀时，所有电子恰好都

不能从MN边界射出磁场，则当电子发射速率为4v₀时()

A.电子的运动半径为4d

B.从MN边界射出的电子数占总电子数的三分之二

C.MN边界上有电子射出的总长度为2√3d

10

D.电子在磁场中运动的最长时间为

【答案】BCD

【难度】0.4

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【分析】根据左手定则判断电子所受的洛伦兹力方向，即可确定偏转方向；分析临界点，画出轨迹，由几何

知识求出电子打在MN上的点与B点的距离以及转过的圆心角；确定出轨迹对应的圆心角，由圆周运动

公式求解时间.

【详解】A.向磁场内各个方向连续、均匀地发射速度大小相等的电子，当电子发射速率为vo时，所有电

子恰好都不能从MN边界射出磁场，则知,则当电子发射速率为4v₀时，根据,知半径变

为原来的4倍，即为2d,故A错误；

BC.水平向右射出的粒子达到MN最右端的r=2d,根据几何关系知偏折角为60°AB=2dsin60°=

√3d,与MN相切是到达的最左的点，根据几何关系知速度与PQ夹角为60°,所以从MN边界射出的电

子数占总电子数的三分之二；BC=2dsin60°=√3dMN边界上有电子射出的总长度为2√3d,故BC正

确；

D.根据BC项分析，粒子轨迹与MN相切时，转过的圆心角最大为120°,最长时间为

,故D正确。故选BCD。

【点睛】本题关键是画出电子运动的轨迹，由几何知识求出相关的距离和轨迹的圆心角，掌握左手定则和

相关几何知识是正确解题的关键。

类型3--三角形或四边形磁场模型

1.三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有

等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图甲、乙所示。

甲乙

解答该类问题主要把握以下两点：

(1)射入磁场的方式

11

①从某顶点射入。

②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。

(2)射出点的判断

其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。

2.矩形边界

矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边

射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。

解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad边中点e

垂直射入)

(1)两个临界半径

①从d点射出：②从c点射出：

(2)三种情况

①r≤r₁,粒子从ed段射出。

②r₁<r≤r₂,粒子从cd段射出。

③r>r₂,粒子从cf段射出(不会到达f点)。

题型三、三角形或多边形磁场

12.(多选)(2025·河南南阳·模拟预测)如图所示，边长为a的正三角形ACD区域内有一垂直于纸面向里的

匀强磁场.一电子束从A点以不同的速度(在纸面内)沿角平分线射入磁场.已知磁场的磁感应强度大

小为B,电子质量为m,电荷量为e,不计电子重力及电子间的相互作用.关于电子的运动情况，下列说

法正确的是()

A.从AC边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长

B.从AC边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长

C.从AC边射出的电子的最大速度为

D.从AC边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同

【答案】BC

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在三角形边界磁场中的运动

【详解】A.因为电子束从A点以不同的速度沿角平分线射入磁场，电子从AC边射出时速度与边界的

夹角均为30°,电子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角θ均为60°,电子在磁场中运动周期!

是相同的，由可知，从AC边射出的电子在磁场中的运动时间与轨迹长度无关，故A错

12

误；

B.由于从AC边射出的电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角相等，所以轨迹半径越大轨迹越长，根据

洛伦兹力提供向心力，有,可得电子在磁场中运动轨迹半径,即轨迹半径越大，说明

电子速度越大，故B正确；

C.电子从AC边的C点射出时，电子轨迹半径最大且为a,由洛伦兹力提供向心力,解得v

,故C正确；

D.从AC边射出的电子轨迹不同，但所经历的时间相同，从AC边射出的电子偏转角均为60°,动量变

化量大小为|△p|=2mwsin30°=mw,因速度不同，动量变化量不同，故D错误。故选BC。

13.(2026·四川绵阳·二模)如图所示，直角△ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出),∠ACB

=60°。一带正电的粒子以v₁的速度从A点沿AB方向射入磁场，从AC边射出且半径最大，粒子在磁场

中运动的时间为t;若仅将△ABC区域内磁场的方向反向，同样的粒子以v₂的速度从C点沿CB方向射

入磁场，同样从AC边射出且半径最大，粒子在磁场中的运行时间为t₂。不计粒子重力。则()

D

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在三角形边界磁场中的运动

【详解】

图1图2

设AC边长为L,一带正电的粒子以v₁的速度从A点沿AB方向射入磁场，从AC边射出且半径最大，画

出粒子运动轨迹如图1所示，由几何关系可知，粒子运动的轨迹半径r₁=L,粒子在磁场中轨迹圆弧的圆

心角θ=60°,在磁场中的运动时间,同样的粒子以v₂的速度从C点沿CB方向射入磁场，同样从

AC边射出且半径最大，画出粒子运动轨迹如图2所示，由几何关系可知，粒子运动的轨迹半径

粒子在磁场中轨迹圆弧的圆心角α=120°,在磁场中的运动时间

13

AB.粒子在磁场中运动过程中，洛伦兹力提供向心力,可得rαv,所1以,AB

错误；

,C正确，D错误。故选C。

14.(25-26高三上·天津和平·阶段检测)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀

强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从

AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L,要使粒子从CD边射出，则

v的取值范围为()

L

A.B.

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在三角形边界磁场中的运动

【详解】若粒子恰好从C点射出时，粒子运动轨迹半径最小，粒子的速度最小，如图所示

由几何知识可知,根据洛伦兹力提供向心力，则有,解得,则粒子的最小速

度为,若粒子恰好从D点射出时，粒子的轨迹半径最大速度最大，如图所示

14

连接OD形成直线边界，取AD中点F,在三角形OFD中，DF>FO,可知∠FOD>∠FDO,由直线边

界的性质可知，多大角度进入则以多大角度射出磁场，可知此时粒子不能从D点射出，故速度最大时应

与AD相切，由几何关系有r+L=√2r,解得r=(√2+1)L,粒子的最大速度为,故

粒子入射时的速度取值范围为,故选C。

15.(25-26高三下·河南·阶段检测)如图所示，在正三角形ABC区域内存在垂直向外的匀强磁场，三角形

边长为L,D点为BC边靠近C点的一个三等分点，现有一电子平行于BA方向射入磁场，粒子在三角形

磁场边界仍受到洛伦兹力作用，电子质量为m,电荷量为e,下列说法正确的是()

A.电子离开磁场时的速度偏向角可能为60°

B.若电子速度为,则粒子在磁场中的飞行时间为

C.若电子从AB边飞出，则电子可能飞出的区域长度为

D.电子可能从A点飞出

【答案】B

【难度】0.43

【知识点】带电粒子在三角形边界磁场中的运动

【详解】A.电子平行于BA方向入射，当电子轨迹与AC边相切时，根据几何关系可知，此时速度的偏向

角恰好为60°,所以当电子从AC边射出时的速度偏角都小于60°;由分析可知，当电子从AB边或BC边

射出时，其速度偏向角都大于60°,所以电子离开磁场时的速度偏向角不可能为60°,故A错误；

C.当电子的运动轨迹恰好与AB边相切时，运动轨迹如图所示：

15

根据几何关系可知，2r₁=BDcos30°,解得此时电子做匀速圆周运动的半径为,由分析可知，当

电子的运动轨迹恰好与AC边相切时，其圆周运动的圆心恰好为E点，运动轨迹如上图所示，根据几何

关系可知，此时电子做匀速圆周运动的半径为,所以若电子从AB边飞出，则电子可能飞

出的区域长度为,故C错误；

B.若电子速度为,根据洛伦兹力提供向心力有。,解得此时电子做匀速圆周运动的半

径为,所以电子将从BC边飞出。由几何关系可知，当电子从BC边飞出时转过的圆

心角为240°,电子在磁场中运动的周期为,所以粒子在磁场中的飞行时间

,故B正确；

D.由C选项分析可知，电子不可能从A点飞出，故D错误。故选B。

16.(多选)(25-26高三上·河南南阳·期末)如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面

内从顶点a以速度v₀射入磁场，速度方向垂直于ab,最终电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在

磁场中运动的时间分别为t₁、t₂和t₃,则()

A.若磁感应强度的大小恒定，v₀大小不同，则t₁<t₂=t₃

B.若磁感应强度的大小恒定，vo大小不同，则t₁=t₂>t₃

C.若v₀恒定，磁感应强度的大小不同，则t₁<t₂=t₃

D.若vo恒定，磁感应强度的大小不同，则t₁=t₂>t₃

16

【答案】BC

【难度】0.85

【知识点】带电粒子在矩形边界磁场中的运动

【详解】AB.若磁感应强度的大小恒定，vo大小不同，电子在磁场中的运动时间为

,可知运动时间与轨迹圆心角成正比，则有t₁=t₂>t₃,故A错误，B正确；

CD.若v₀恒定，磁感应强度的大小不同，设正方形abcd的边长为L,则有

,则有t₁<t₂=t3,故C正确，D错误。故选BC。

17.(多选)(2026·陕西商洛·三模)如图所示，矩形区域abcd内、外分别存在着垂直于纸面向里、向外的匀强磁

场，磁场的磁感应强度大小均为B。比荷为k的带正电粒子(不计重力)从a点以与ab边夹角为30°的速

度射入矩形区域内，粒子第一、二次穿过矩形区域边界时恰好分别经过b、c点。已知ab=L,矩形区域

外的磁场范围足够大。下列说法正确的是()

A.粒子的速度大小为kBLB.bc=√2L

C.粒子不经过d点D.粒子相邻两次经过a点的时间间隔为

【答案】AD

【难度】0.73

【知识点】带电粒子在矩形边界磁场中的运动

【详解】A.粒子第一次穿过矩形区域边界时恰好经过b点，作出运动轨迹，如图所示

17

设粒子圆周运动的半径为r,根据几何关系，可知圆心角θ₁=60°,则有r₁=L,根据洛伦兹力提供向心力

有,联立解得v=kBL,故A正确；

B.粒子第二次穿过矩形区域边界时恰好经过c点，作出运动轨迹，如图所示

根据几何关系，可得bc=2rsin(90°-30°)=√3L,故B错误；

C.粒子经过b点时速度方向与bc边的夹角为60°,因此粒子经过c点时速度方向与cd边的夹角为30°,

利用对称性可知，粒子恰能经过d点，并且能再次经过a点，故C错误；

D.根据几何关系，可得粒子相邻两次经过a点的过程转过的圆心角(

所用时间；,故D正确。故选AD。

18.(25-26高三上·新疆阿克苏·阶段检测)如图所示，在边长为L的正方形区域里有大小不变的垂直于纸面

向里的匀强磁场，有a、b、c三个带电粒子(不计重力)依次从A点沿AB方向水平射入磁场，其运动轨迹

分别如图所示，带电粒子a从AC边中点E射出，b从C点射出，c从D点射出。下列说法正确的是

()

18

A.三个粒子均带正电荷

B.若三个粒子的比荷相等，则a、b、c三个粒子在磁场中的速率之比为1:2:4

C.a、b、c三个粒子在磁场中的运动时间之比一定为2:1:1

D.若三个粒子射入时动量相等，则a、b、c三个粒子的带电量之比为1:2:4

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在矩形边界磁场中的运动

【详解】A.三个粒子在A点受洛伦兹力均向下，由左手定则可知三个粒子均带负电荷，故A错误；

B.a、b、c三个粒子在磁场中的轨迹半径之比为1:2:4,由洛伦兹力提供向心力,可得r=

,若三个粒子的比荷相等，则速率之比等于半径之比，故B正确；

C.a、b、c三个粒子在磁场中运动的圆心角θ之比为2:2:1,运动时间为,由于比荷之比

未知，则运动时间之比不能确定，故C错误；

D.由可得，,若三个粒子射入时动量相等，则带电量q与r成反比，为4:2:1,故D错误。

故选B。

19.(多选)(25-26高二上·宁夏银川·期末)如图所示，在直角坐标系xOy中，有一个边长为L的正方形区

域，a点在原点，b点和d点分别在x轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强

度大小为B,一带正电的粒子质量为m,电荷量为q,以速度vo从a点沿x轴正方向射入磁场，不计粒子

重力。下列说法正确的是()

A.若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度

B.若粒子从cb边射出磁场，则粒子的速度

19

C.若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是

D.若粒子的速度,则粒子出射时速度方向与y轴正方向夹角的正弦值为

【答案】BD

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在矩形边界磁场中的运动

【详解】A.若粒子恰好从c点射出磁场，根据几何关系可知，粒子圆周运动半径为r=L,根据洛伦兹力

提供向心力，有,解得,故A错误；

B.若粒子从cb边射出磁场，则r≥L,则粒子的速度,故B正确；

C.根据,若粒子从d点射出，可知圆心角为180°,时间最长，最长

时间：,若粒子从c点射出，可知圆心角为90°,时间最短，最短时间

,若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是,故C错误；

D.若粒子的速度,则轨迹圆半径,则粒子从cd边射出，设粒子射出磁场时

速度方向与y轴正方向夹角为θ,则,故D正确。

故选BD。

20.(多选)(2024-河北·模拟预测)长71、高2l的矩形区域abcd中，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度

为B。纸面内大量电荷量为q、质量为m的带负电粒子(不计重力),从d点以相等的速率沿各

个方向射入磁场，e为bc边中点，如图所示。则下列说法正确的是()

A.从c点射出的粒子速度偏转角度最大B.be区域没有粒子射出

C.粒子在磁场运动的最大位移为5√21D.粒子在磁场中运动的最长时间为

【答案】BCD

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动

【详解】ABC.如图，轨迹与ab边相切的粒子位移最大，轨迹所对的线最长，运动时间最长，偏角最大，根

据,可得r=51,若轨迹与ab线切，则由几何关系可得af=4L,fb=3l,gf=l,则粒子恰好从

bc边中点e射出，be区域没有粒子射出；可得最大位移为de=√(7)²+P=5√21,选项A错误，BC正

确；

D.由几何关系可知圆弧dfe所对的圆心角为直角，则时间为四分之一周期；,所以D正

20

确。故选BCD。

21.(25-26高三上·江苏苏州·阶段检测)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域

内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速

度射入正方形内，经过时间t₀刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°

角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。下列说法中正确的是()

a

A.若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t₀

B.若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为cd

C.若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为cd

D.若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在矩形边界磁场中的运动

【详解】A.由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t₀刚好从c点

射出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t₀。当粒子沿纸面以与Od成30°角的方向射

入正方形内时，如图所示，作出从ab边射出的临界轨迹①,该带电粒子从ab边射出经历的时间一定不大

,故A错误；

B.作出从bc边射出的临界轨迹②,由图可知，从bc边射出经历的时间一定不大于,故B

错误；

C.作出从cd边射出的临界轨迹③,由图可知，从cd边射出经历的时间一定是,故C正

确；

D.作出从ad边射出的临界轨迹④,由图可知，从ad边射出经历的时间一定不大于,故D

错误。

21

b

故选C。

22.(多选)(24-25高三·河北·三轮复习)如图所示，空间中存在一个边长为5.4m的匀强磁场区域ABCD,

在D点沿同一个方向以不同速率射入同种带电粒子a、b、c。已知粒子a从BC边上的E点沿平行DC

的方向射出，粒子b从BC边上F点射出，速度方向相较于入射方向偏转了90°,EF=2m,粒子c从DC

边上G点射出，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则下列说法正确的是()

A.粒子a与粒子c在磁场中运动时间之比为1:2

B.粒子a与粒子b从D点出发到离AB边最近经历的时间相同

C.入射方向与CD边夹角为60°

D.粒子a的轨迹半径约为7m

【答案】ABD

【难度】0.4

【知识点】带电粒子在矩形边界磁场中的运动

【详解】A.三个粒子的轨迹如图所示

由几何关系可知粒子a与粒子c的运动轨迹的圆心角之比为1:2,故运动时间之比为1:2,故A正确；

B.当粒子速度方向与AB边平行时，粒子离AB边最近，由于入射方向均相同，则粒子a与粒子b从D

点出发到离AB边最近的圆心角相同，则经历的时间相同，故B正确；

CD.由几何关系知r唱+(r。-r₆)²=(ra-x)²,由三角函数知,其中l=5.4m,x=2m,

22

角解得ra≈7m,:,0≈53°,故C错误，D正确。故选ABD。

类型4--圆形边界磁场

【模型】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)

粒子做圆周运动的半径

粒子在磁场中运动的时间,θ+a=90°

①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速

度的偏向角

②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ,则粒子射出磁场

时速度方向与半径夹角也为θ。

③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一

定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。

甲乙丙

【模型】磁发散和磁聚焦

磁发散磁聚焦

带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨

点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上

粒子出射方向与入射点的切线方向平行同一点射出，该点切线与入射方向平行

一点发散成平行平行会聚于一点

23

带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论：

(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向

射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。

(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场

圆半径的延长线的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ=0°)。

(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒

子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入

射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。

图1图2

图3图4

(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和

圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该

点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4所示。

题型四、圆形磁场模型

23.(25-26高三上·北京丰台·阶段检测)如图所示，圆心为O、半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向

里的匀强磁场，一个带电粒子质量为m,电荷量为-q,从A点以一定的速度垂直磁场方向沿半径射入磁

场中，并从C点射出，图中实线AC所示弧线为其运动轨迹。已知∠AOC=120°,磁感应强度为B,不计

粒子所受的重力。关于该粒子在磁场中的运动，下列说法中正确的是()

A.运动时间为B.运动时间为C.运动半径为rD.运动半径为2r

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】带电粒子在圆(弧)形边界磁场中运动

【详解】根据粒子运动轨迹作出速度方向的垂线，得到轨迹半径，如图所示。

24

CD.由几何关系可知轨迹半径R=rtan60°=√3r,故CD错误；

AB.粒子在磁场中运动的周期为,粒子运动轨迹对应的圆心角为θ=180°-120°=60°,则粒

子在磁场中的运动时间；,故B错误，A正确。

故选A。

24.(23-24高三下·江西·阶段检测)如图，两个质量相同的带电粒子a、b,从圆上A点沿AO方向进入垂直

于纸面向里的圆形匀强磁场，○为圆心，其运动轨迹如图所示，两粒子离开磁场区域的出射点连线过圆

心O,且与AO方向的夹角为60°,两粒子在磁场中运动的时间相等。不计粒子的重力，

,下列说法正确的是()

A.a粒子带正电，b粒子带负电B.a、b两粒子在磁场中运动的速度之比为2:3

C.a、b两粒子的电荷量之比为1:3D.a、b两粒子在磁场中运动的周期之比为2:1

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】带电粒子在圆(弧)形边界磁场中运动

【详解】A.根据左手定制可判断a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；

BCD.a粒子，b粒子的轨迹如图所示

25

由图可得a粒子，b粒子圆心角分别为120°、60°,轨道半径为

√3R,由洛伦兹力提供向心力，有,解得,带电粒子运动时间

为；,两粒子在磁场中运动的时间相等，有

即

,解得T:T=1:2,qa:Qb=2:1,Va:V=2:3,故B正确，CD错误。故选B。

25.(2026-·广西·高考真题)圆心在原点、半径为R的圆形匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向

里；质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v₀(未知)从磁场外沿x轴正方向从M点进入磁场，从N

点射出，出射速度方向与x轴正方向夹角为60°,如图所示。不计粒子的重力，则()

A.带电粒子带正电B.粒子的运动轨迹MN是抛物线

C.粒子运动速度大小D.粒子在磁场内的运动时间

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在圆(弧)形边界磁场中运动

【详解】A.根据题意，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A错误；

B.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则粒子的运动轨迹MN是圆弧，故B错误；

CD.根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示

26

设粒子做匀速圆周运动的半径为r,由几何关系有,解得r=√3R,由洛伦兹力提供向心力

有,解得,由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为θ

=60°,则粒子在磁场内的运动时间,故C正确，D错误。故选C。

26.(多选)(2024·四川乐山·三模)如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直

于纸面向里的匀强磁场，O为区域磁场圆心。现有一质量为m,带电量为-q(q>0)的粒子从距直径

MON为的P点平行于直径MON方向射入磁场，其运动轨迹通过磁场圆心O。不计粒子重力，则下

列说法正确的是()

N

A.粒子运动的轨道半径为RB.粒子射入磁场的速率为

C.粒子在磁场中运动时间为D.粒子会从O点正下方射出磁场

【答案】AD

【难度】0.65

【知识点】带电粒子在圆(弧)形边界磁场中运动

【详解】AD.作出粒子的运动轨迹，如图所示

27

由几何关系可,可得∠O₁PO=60°,由几何关系,可得粒子运

动的轨道半径为r=R,由图可知，粒子会从O点正下方射出磁场，故AD正确；

B.由洛伦兹力提供向心力,可得粒子射入磁场的速率为,故B错误；

C.由几何关系可得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为θ=120°,所以粒子在磁场中运动时间

,故C错误。故选AD。

27.(2026-河南濮阳·二模)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的圆形边界匀强磁场中，磁

场半径为R。A、B两个带正电的粒子以相同的动能，沿平行于直径ab的方向射入磁场，射入点与ab的

距离为,已知A、B两粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角分别为60°和120°,且qa:Q₆=

1:2。不计粒子的重力，下列说法正确的是()

A.A、B两粒子速率之比Va:U₆=1:2

B.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比Ta:Tb=1:2

C.A、B两个粒子质量之比ma:m,=1:2

D.A、B两个粒子磁场中运动时间之比ta:tb=1:1

【答案】D

【难度】0.5

【知识点】带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算、带电粒子在圆(弧)形边界磁场中运动

【详解】B.磁场半径为R,射入点到竖直直径ab的距离为,因此射入点与磁场圆心连线和ab夹角为

30°。

设粒子偏转角(速度偏转角等于轨迹圆心角)为φ,如图：对A粒

子，中a=60°,得轨迹半径ra=2R,对B粒子，中=120°,得轨迹半径r₆=R,因此Ta:T₆=2:1,故B错误；

28

AC.洛伦兹力提供向心力,动能,由题E.相同，因此为定

值，,代入Qa:96=1:2,ra:T₃=2:1,得ma:m=1:1,动能相同EA=AB,ma=m;,因此va=

V6,故AC错误；

D.粒子在磁场中运动时间