2026新教材人教版九年级上册数学25.3第3课时 循环问题 教案

2026新教材人教版九年级上册数学25.3第3课时循环问题教案一、基本信息授课教材：2026新教材人教版九年级数学上册授课章节：第二十五章概率初步25.3用频率估计概率（第3课时）课时主题：循环规律类概率问题（周期循环概率）授课时长：45分钟学情分析：学生已经掌握随机事件、频率与概率的关系、简单概率计算公式，具备基础的数据观察、归纳能力。但对周期循环、规律重复类实际概率问题缺乏解题模型，不会通过找周期、求余数判断结果，容易盲目列举、计算出错，是九年级概率难点与高频中考题型。二、教学目标1.知识与技能（1）掌握循环（周期）规律问题的概率求解思路，能准确找出题目变化周期。（2）学会利用周期求余数的方法判断指定次数、位置的事件结果，进而计算概率。（3）熟练解决数字循环、图形循环、运动循环、操作循环四类常考概率题型。2.过程与方法通过观察、列举、归纳、建模，总结循环概率问题通用解题步骤，培养学生规律探究能力、数据分析能力和模型思想。3.情感态度与价值观感受概率与生活、规律探究的紧密联系，体会数学建模的简洁性，提升学生解题信心和逻辑推理素养。三、教学重难点重点：找出循环周期，利用周期规律求解随机事件概率。难点：根据余数判断对应位置结果，区分整除、有余数两种情况，建立循环概率解题模型。四、教学准备多媒体课件、例题习题学案、黑板板书设计五、教学过程（一）复习导入（5分钟）1.知识回顾（1）概率计算公式：P(A)=（2）频率稳定在概率附近，可用频率估计概率。2.情境设问出示问题：有一串数字按“1，2，3，1，2，3……”不断重复出现，第100个数字是多少？随机取一个数字，是偶数的概率是多少？学生思考作答，教师点拨：这类按照固定周期重复出现的问题，就是本节课重点——循环规律概率问题。设计意图：由简单数字循环切入，降低入门难度，引出本节课核心题型。（二）新知探究：循环概率通用模型（12分钟）1.核心概念循环周期：一组现象、数字、图形、操作按照固定个数重复出现，重复一次的个数即为一个周期。常见周期：数字周期、图形排列周期、转盘转动周期、运动落点周期、操作变换周期。2.通用解题步骤（板书核心口诀）一步找周期、二步算余数、三步定结果、四步求概率（1）找周期：观察重复规律，确定周期长度T；（2）算余数：总次数/总位置数÷周期T，求出余数；（3）定结果：余数为0，取周期最后一个；余数不为0，取周期第余数位；（4）求概率：统计符合条件结果数量，代入概率公式计算。3.基础例题精讲例1一组数按2，4，6，2，4，6……循环排列，随机抽取一个数，求抽到4的概率。解析：①找周期：周期T=3，循环组：2、4、6②统计结果：一个周期内共3种等可能结果，数字4出现1次③求概率：P(变式：第2026个数是偶数的概率？解：2026÷3=675⋯⋯1，余数为1，对应第一个数2，为偶数，故概率为1。设计意图：夯实基础模型，让学生掌握余数判定核心方法。（三）重点题型精讲（18分钟）题型一：数字循环概率例2观察数列：1，1，2，1，1，2，1，1，2……，求任意取一个数为2的概率。解：周期T=3，循环组（1,1,2）一个周期内3个结果，数字2出现1次P=题型二：图形循环概率（中考高频）例3图形按△、□、○、△、□、○……循环排列，随机抽取一个图形，求抽到圆形的概率。解：周期T=3，每组1个圆，总3个图形P(题型三：转盘循环转动概率例4一个均匀转盘平均分成4份，依次标1、2、3、4，转动转盘，指针数字循环出现，连续转动，求第25次指针指向奇数的概率。解：周期T=425÷4=6⋯⋯1，余数1，对应数字1（奇数）第25次必为奇数，P=1题型四：操作循环概率（重难点）例5小球在A、B、C三点间循环跳动，顺序A→B→C→A→B→C……，从A点出发，跳动第10次后落在B点的概率。解：周期T=310÷3=3⋯⋯1余数1：跳动1次到B，故第10次落在B点，P=1教师总结易错点：1.余数为0→周期最后一个；2.余数不为0→周期第余数个；3.所有循环问题必须先找周期，不能盲目列举。（四）课堂练习（7分钟）1.数列：3，6，9，3，6，9……，周期为____，随机取一个数是3的概率为____。2.图案按“红、黄、蓝”循环，第100个图案颜色是____，抽到黄色概率为____。3.周期为5的循环数列，第2025个位置对应周期第几个数？参考答案：1.3；12.红；13.2025÷5=405，余数0，对应周期第5个（五）课堂小结（2分钟）1.本节课核心：循环周期概率模型2.四步解题法：找周期→算余数→定结果→求概率3.关键规则：余0取尾，余几取几（六）布置作业（1分钟）1.基础作业：教材对应课后循环规律习题；2.提升作业：整理数字、图形、转盘、操作四类循环概率错题；3.拓展：自主编写一道循环概率题目并解答。六、板书设计25.3第3课时循环规律概率问题1.核心公式：P(A)=2.解题四步法：找周期→算余数→定结果→求概率3.判定规则：余数=0→周期最后一个余数≠0→周期第余数个4.常见题型：数字、图形、转盘、运动循环七、教学反思本节课聚焦九年级概率难点——循环周期概率问题，通过统一解题模型，有效解决学生无序列