26.4 实际问题与二次函数 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章二次函数2026人教版·九年级上册26.4实际问题与二次函数（第1课时）学习目标1.能准确识别实际问题中的自变量与因变量；掌握从实际情境中提炼数量关系、构建二次函数解析式的方法；会根据实际意义确定自变量的取值范围；能利用解析式简单分析两个变量的变化规律.2.经历“实际情境—提取变量—分析关系—建立模型—验证范围”的完整建模过程，掌握数学建模的基本流程，提升抽象概括、数据分析和数学转化能力.3.感受二次函数在生活、几何、运动问题中的广泛应用，体会数学源于生活、用于生活的特点，增强数学应用意识，培养严谨的建模思维和求真务实的解题习惯.复习导入用你认为最简单的方法求出顶点坐标，说出开口方向，对称轴及最值.(1)y=x2-4x-5开口方向对称轴顶点坐标最值向上x=2（2，`9）y最小值=-9向下(2)y=-x2+x+y最大值=例题分析例1在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=−4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题.例题分析解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为运动员重心的最大高度.即运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.当时，h有最大值

函数h=－4.9t²+2.8t+11的图象如图所示，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？运动员从11m高度起跳，先向上做减速运动,约0.3s后到达11.4m的最高点，随后向下做加速运动，约1.8s后落入水中，整个过程的重心高度变化呈现先增后减的抛物线形态.例题分析新知小结一般地，当a>0(a<0)时，抛物线

y=ax2+bx+c的顶点有最低(高)点，也就是说，当

x=

时，二次函数有最小(大)值

.即时即练1.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)的关系近似为h=30t－5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？（选自教材P52练习第2题）根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度.即时即练（选自教材P52练习第2题）解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度.h＝30t-5t2(0≤t≤6)当

时，h有最大值即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m.例题分析例2如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？墙菜园分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为xm，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题.例题分析20-2xxx解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(20−2x)m，矩形菜园的面积S=x(20-2x),墙菜园即

S=−2x2+20x(0＜x＜10).当

时，S有最大值因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m².即时即练（选自教材P52练习第1题）2.如果例2中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？(0<x<10)(5,50)20-2xxx6

(6≤x<10)墙菜园解：平行于墙的边长20-2x≤8，解得x≥6.所以6≤x<10.当x=6时，S最大值=-2×62+20×6=48因此，当垂直于墙的边长为6m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48m².新知小结利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析.通过例题和变式，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.新知小结课堂小结实际问题与二次函数运动问题1.运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解；2.物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.图形面积最值问题由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.课堂练习1.若某飞机落地时,飞机在地面的滑行距离s(米)与滑行时间t(秒)的关系近似满足：s=−2t2+60t，则该飞机从落地到停止，在地面滑行的时间为____秒.152.用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，那么a的值不可能为（

D

）A.20 B.40 C.100 D.120D3.用长8m的铝合金制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（

C