初中数学专项题库：二次函数核心必会50题

1

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【各章节必会题型——二次函数50道核心题（一）】

（韩春成老师内部学员核心资料（24））

【框架梳理——14大核心题型】

【二次函数的定义、图象与性质问题】

一、二次函数的定义

二、二次函数的图象

三、二次函数的性质

【二次函数的解析式问题】

四、二次函数解析式之间的转化

五、待定系数法求解析式

【二次函数图像变换问题】

六、平移

七、对称

八、旋转

【二次函数与方程不等式结合问题】

九、函数图象的交点与方程（组）的解韩老师说：学习资料不在于多而在于精！

十、利用函数图象解方程和不等式越付出越富有，加油，年卡的春卷们！！

十一、实根分布问题

【二次函数与特殊三角形】

十二、二次函数与等腰三角形

十三、二次函数与等边三角形

十四、二次函数与直角三角形

十五、二次函数与等腰直角三角形

【二次函数与相似、全等】

十六、二次函数与相似三角形

十七、二次函数与全等

【二次函数与特殊四边形】

十八、二次函数与平行四边形

十九、二次函数与矩形

二十、二次函数与菱形

二十一、二次函数与正方形

二十二、二次函数与梯形

二十三、二次函数与直角梯形

二十四、二次函数与等腰梯形

【二次函数与面积】

一、已知三角形面积，求点的坐标

二、存在相等面积

三、存在面积的比值为几

四、存在面积的最值问题

【二次函数与线段】

五、点到点、点到线的距离问题

六、线段长度最值问题

七、线段和差最值及周长最值问题

【二次函数与动态几何】

八、点动

九、线动

十、形动

【二次函数与角度】

十一、角的三角函数值

十二、角的度数

十三、存在特殊角度

十四、存在角之间的关系

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【经典例题精炼——50道核心题】

一、二次函数的定义

1.【易】（虹口区第一学期初三年级数学学科）下列函数中，是二次函数的为（）

2

A．yx21B．y(x2)22xC．yD．y2x(x1)

x2

2

2.【中】m________，函数ym218xmmmx是二次函数．

二、二次函数的图象

3.【易】函数yx21的图象大致为（）

y

yyy

1

1

OO

OxOxxx

-1-1

ABCD

a

4.【易】（昭通）函数yax2a与ya0，在同一坐标系中的图象可能是（）

x

yyyy

OO

xOxOxx

ABCD

5.【易】（南宁市初中毕业升学考试数学试卷）已知二次函数yax²bxcc0的图

像如图所示，下列说法错误的是：（）

A．图像关于直线x1对称

B．函数yax²bxcc0的最小值是4

C．1和3是方程ax²bxc00c的两个根

D．当x1时，y随x的增大而增大

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6.【中】（十堰市初中毕业生学业考试数学试题）如图，二次函数yax2bxca0的

图象的顶点在第一象限，且过点01，和10，．下列结论：①ab0，②ba24，

③02abc，④01b，⑤当x1时，y0，其中正确结论的个数是（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

y

1

-1

x

O

三、二次函数的性质

1.点的坐标

7.【易】（泰安市高中段学校招生考试）抛物线y2x28x1的顶点坐标为（）

A．27，B．2，25C．27，D．29，

8.【易】二次函数yx223x的顶点坐标为_______________，它与x轴的交点坐标为

____________与y轴的交点坐标为________________．

2.二次函数系数与图像的关系

9.【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）二次函数yax2bxc（a0）

的图象如图所示，则下列结论：

y

Ox

①a0；②c0；③b240ac，其中正确的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

10.【易】（四川雅安中考）已知二次函数yax2bxc的图像如图，其对称轴x1，

给出下列结果①b24ac；②abc0；③20ab；④abc0；

⑤abc0，则正确的结论是（）

y

321O1x

A．①②③④B．②④⑤C．②③④D．①④⑤

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3.二次函数性质综合

11.【易】（海淀区九年级上期末）抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的

对应值如下表：

x…－2－1012…

y…0－4－408…

⑴根据上表填空：

①抛物线与x轴的交点坐标是和；

②抛物线经过点（3，）；

③在对称轴右侧，y随x增大而；

⑵试确定抛物线yax2bxc的解析式.

4.二次函数的单调性

2

12.【易】（卢湾区九年级上期末）若点A23，y12，B，y是二次函数yx2(1)1图

像上的两点，则yy12，的大小关系是（）．

A．y1y2B．y1y2C．y1y2D．不能确定．

1

13.【中】（2011江苏省常州中考）已知二次函数yx2x，当自变量x取m时对应

5

的值大于0，当自变量x分别取m1、m1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必

须满足（）

A．yy1200，B．yy1200，C．yy1200，D．yy1200，

二次函数的解析式

四、解析式间的转化

14.【易】（北京市西城区第一学期期末试卷）已知抛物线yx245x.

⑴直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；

⑵用配方法将yx245x化成ya()xh2k的形式．

五、待定系数法求解析式

15.【易】（安徽省初中毕业学业考试数学）已知二次函数图像的顶点坐标为11，，且经

过原点（0，0），求该函数的解析式．

16.【易】已知一个二次函数过0，0，1，11，1，9三点，求二次函数的解析式．

17.【易】（北京市月坛中学初三年级第一学期数学期中试卷）若抛物线yax2bxc过

3，0，1，0，且与y轴交点为04，，求二次函数的解析式.

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平移

18.【易】（2011-2012学年朝阳区九年级第一学期期末统一考试）抛物线yx(2)21是

由抛物线yx2平移得到的，下列对于抛物线yx2的平移过程叙述正确的是（）

A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

对称

2

19.【中】（北京市东城区初三年级综合练习）已知抛物线C1：yx2x的图象如图所示，

y

把C1的图象沿轴翻折，得到抛物线C2的图象，抛物线C1与抛物线C2的图象合称图

象C3．

y

C1

Ox

A

⑴求抛物线C1的顶点A坐标，并画出抛物线C2的图象；

⑵若直线ykxb与抛物线yax2bxc(a0)有且只有一个交点时，称直线与抛物

线相切．若直线yxb与抛物线C1相切，求b的值；

⑶结合图象回答，当直线yxb与图象C3有两个交点时，b的取值范围．

旋转

20.【易】（北京市第156中学初三期中）已知：抛物线

∶=2经过点A10，、B30，、C03，。

C1yaxbxc4

⑴求抛物线C的解析式；3

12

⑵将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经1

-5-4-3-2-1O12345

过坐标原点，并写出C2的解析式；-1

，-2

⑶把抛物线C1绕点A10旋转180，写出所得抛物线C3顶-3

点D的坐标。-4

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二次函数与方程不等式结合

21.【难】（西城二模）阅读下列材料：若关于x的一元二次方程ax2bxc0a≠0的

bc

两个实数根分别为x，x，则xx，xx．

1212a12a

解决下列问题：

2

已知：abc，，均为非零实数，且abc，关于x的一元二次方程axbxc0有

两个实数根，其中一根为2．

⑴填空：42abc___0，a___0，c___0；（填“”，“”或“=”）

⑵利用阅读材料中的结论直接写出方程ax2bxc0的另一个实数根（用含ac，的

代数式表示）；

⑶若实数m使代数式am2bmc的值小于0，问：当xm5时，代数式ax2bxc

的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．

2

22.【难】已二次函数y1x23x及一次函数y2xm．

⑴求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；

⑵将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，

得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2xm有三个

不同公共点时m的值：

⑶当02≤x≤时，函数yy12y(m2)x3的图象与x轴有两个不同公共点，求

m的取值范围．

y

Ox

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23.【易】张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米

的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形

ABCD的面积为S平方米．

⑴求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．

⑵当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．

b4acb2

（参考公式：二次函数yax2bxc（a0），当x时，y=）

2a最大（小）值4a

AD

花圃

BC

24.【中】（雅安市初中毕业暨高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图，已知抛物线

yax2bxc经过A（30，），B（10，），C（03，）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，

l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与AD、不重合），过E点作平行于

y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为

S.

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

yy

DD

F

CC

E

AHOBxAGHOBx

ll

图（）

图（1）2

y

y

D

DF

C

C

E

P

AHOBxAGHOBx

l

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利用函数图象解方程和不等式

2

25.【易】（北京二中初三上质量检测）已知抛物线y(k2)xkk452x3有最高点，此

抛物线与直线y23xm其中一个交点的横坐标是2．

⑴抛物线y1和直线y2的解析式．

⑵抛物线y1最高点的坐标是_________．

⑶当x_________时，y1随x的增大而增大．

⑷当x_________时，y10

⑸当x_________时，yy12

⑹当03x时，y1的取值范围是____________

最大利润问题

26.【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）某商场购进一种单价为40元的

篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，

销售量相应减少10个．

⑴假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种篮

球每月的销售量是___________个．（用含x的代数式表示）

⑵当篮球的售价应定为______元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是

_______元．

实根分布问题

1

27.【中】已知二次函数yxaxbab，且x、xxx12是方程

212

1

xaxb0的两个根，则实数a、b、x、x的大小关系为（）

212

A．ax12bxB．ax12xb

C．x12axbD．x12abx

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二次函数与等腰三角形

28.（特殊条件下的等腰三角形）（2011年淮安）如图．已知二次函数yx2bx3的图

象与x轴的一个交点为A40，，与y轴交于点B．

⑴求此二次函数关系式和点B的坐标；

⑵在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y

B

A

Ox

29.（等腰三角形点的存在性问题）（临沂市中考题）如图，点A在x轴上，OA4，将线

段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置；

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形使等

腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

yl

x

OM

A

P

N

（第3题）

二次函数与直角三角形

30.【难】（在特殊条件下存在点问题直角三角形）（九年级第一次质量预测）如图，经过x

轴上A10，、B30，两点的抛物线yax2bxca0交y轴的正半轴于点C，

设抛物线的顶点为D．

(1)用含a的代数式表示出点C、D的坐标

(2)若么BCD90，请确定抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q，使△BDQ为直角三角形?如果

能，请求出Q点坐标；如果不能，请说明理由．

y

D

C

AOBx

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二次函数与等腰直角三角形

31.【中】（二次函数与等腰直角三角形）（东城二模）在平面直角坐标系中，现将一块等腰

直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（02，），点C（10，），如图

所示，抛物线yax2ax2经过点B．

⑴求点B的坐标；

⑵求抛物线的解析式；

⑶在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰

直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y

A(0,2)

B

C(-1,0)Ox

二次函数与相似三角形

32.【中】（相似）（上海市初中毕业生统一学业数学考试试卷）如图，在平面直角坐标系xoy

中，顶点为M的抛物线yax2bxa0经过点A和x轴正半轴上的点B，

AOOB2，AOB120．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结OM，求AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

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33.【难】（相似+面积）（莱芜市中考题）如图，抛物线yax2bxc的顶点坐标为（2，

-1），并且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于两点A、B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与直线B、C交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；

（3）点E是直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F。

问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求出E

点的坐标；若不存在，请说明理由

y

CE

D

OFABx

二次函数与平行四边形

34.【易】（平行四边形）（南昌中考）如图所示，抛物线m：yax2b（a0，b0）

与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180，

得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．

⑴当a1，b1时，求抛物线n的解析式；

⑵四边形AC11AC是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；

⑶若四边形AC11AC为矩形，请求出a，b应满足的关系式．

y

C

AOBA1x

C1

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二次函数与正方形

17

35.【中】（平行四边形+正方形）（湖南衡阳）已知抛物线yx2mx2m．

22

⑴试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

⑵如图，当该抛物线的对称轴为直线x3时，抛物线的顶点为点C，直线yx1与

抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；

若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、

N为顶点的四边形是平行四边形．

y

B

D

OAx

C

二次函数与矩形

2x

36.【中】（矩形+平移）（江西）将抛物线沿Cx1:33沿轴翻折，得抛物线C2，如

图所示．

⑴请直接写出抛物线C2的表达式；

⑵现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x

轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得

到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若

存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由

yy

C2

OxOx

C1

备用图

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二次函数与菱形

3

37.【易】（菱形+平移）（北京市宣武区第二学期第一次质量检测）已知：将函数yx的

3

图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像．

⑴求这个新的函数的解析式；

⑵若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于O、A两点，与直线x3交于C、

B两点．试判断以A、B、C、O四点为顶点的四边形形状，并说明理由；

1

⑶若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数yx222bxb的图象的

2

一部分，求满足条件的实数b的取值范围．

y

Ox

二次函数与梯形

38.【中】（梯形+轴对称）如图，在平面直角坐标系中，已知点A24，，OB2，抛

物线yax2bxc经过点A，O，B三点．

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵若点M是抛物线线对称轴上一点，试求AMOM的最小值；

⑶在此抛物线上，是否存在点P，使得点P与点O，A，B为顶点的四边形是梯形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y

B

Ox

A

二次函数与三角形面积，求点的坐标

39.【易】（延庆一模）

如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线yx2bxc过点A(4，0)、B13，.

⑴求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

⑵记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点Pm，n在第四象限，点P关于直

线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、

n的值.

y

1

O1x

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存在相等面积

40.【易】（上海闵行区九年级下质量调研）

如图，已知：抛物线yx2bx3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并

且OAOC.

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的

形状，并说明理由；

⑶设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M

的坐标（无需写出解题步骤）．

y

l

AOBx

EC

D

存在面积的比值为几

1

41.【中】如图，在平面直角坐标系中，直线yx1与抛物线yax2bx3交于点

2

A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3，点P是直线AB下方的抛物线上的

一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB

于点D。

⑴求a，b及sinACP的值。

（2）设点P的横坐标为m。

①用m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在合适的m值，使这两个三角

形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由。

y

G

DCB

F

AOx

P

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存在面积的最值问题

42.【难】广东省清远市初中毕业生学业考试中考数学试题

2

如图，抛物线yx1k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C03，．

⑴求抛物线的对称轴及k的值；

⑵抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAPC的值最小，求此时点P的坐标；

⑶点M是抛物线上一动点，且在第三象限．

①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M

的坐标；

②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积

及此时点M的坐标．

y

ABx

C

点到点、点到线的距离问题

43.【难】(点到直线距离+点到点的距离)（广西玉林市中考数学试卷）已知抛物线

yax22ax3a(a0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

点D为抛物线的顶点．

⑴求A、B的坐标；

⑵过点D作DH⊥y轴于点H，若DHHC，求a的值和直线CD的解析式；

⑶在第⑵小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF⊥x轴，

并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于

点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

y

DF

H

C

E

x

AONB

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线段和差最值及周长最值问题

44.【中】（线段和最短）（广东省中考数学试卷）已知二次函数yx2221mxm．

⑴当二次函数的图象经过坐标原点O00，时，求二次函数的解析式；

⑵如图，当m2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

⑶在⑵的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PCPD最短？若P点存在，求出P

点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

y

C

Ox

D

点动

45.【中】（衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷）如图，已知抛物线经过A10，，

B03，两点，对称轴是x1．

⑴求抛物线对应的函数关系式；

⑵动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从

O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段

AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

y

B(0,3)

P

N

M

A

OQ(1,0）x

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线动

46.【中】（广西玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），

现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度

的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个

单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当

t2秒时PQ25.

⑴求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；

⑵连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则

△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变

化，求出S的值.

⑶在⑵的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

yF

D

A

Q

OPCEx

形动

47.【中】（河南省中考）【面积+形动】

331

如图，在平面直角坐标系中，直线yx与抛物线yx2bxc交于A、B两点，

424

点A在x轴上，点B的横坐标为－8.

⑴求该抛物线的解析式；

⑵点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，

垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E.

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大

值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位

置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.

y

y

P

A

A

Ox

COx

DE

F

GB

B

备用图

17/46

1

越付出越富有，春卷们加油！

角的三角函数值

48.【易】（奉贤区调研测试）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A的

坐标为22，，点B、C在y轴上，BC8，ABAC，直线AB与x轴相交于点D，

⑴求C、D的坐标；

⑵求经过A、C、D三点的二次函数解析式；

⑶求CAD的正弦

y

B

A

OD

x

C

求角的度数

49.【易】（顺义一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2(123)xc

经过A（2,0），Bn（1,），C（02，）三点．

⑴求抛物线的解析式；y

⑵求线段BC的长；

B

⑶求OAB的度数．

C