【RJ版春季课程初二数学】第10讲 矩形和正方形 教案（教师版）

第第10讲讲矩形和正方形概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、矩形的定义2、矩形的性质3、矩形的判定4、直角三角形斜边中线的性质5、正方形的定义6、正方形的性质7、正方形的判定教学目标熟练掌握矩形和正方形的性质和判定教学重点矩形和正方形的性质和判定教学难点矩形和正方形的性质和判定【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：一、课堂导入生活中的矩形和正方形：本节课主要针对矩形和正方形的性质和判定以及常见的应用进行讲解。二、复习预习菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有它特有的性质。(1)菱形的对边平行，四条边都相等；(2)菱形的对角相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.菱形的判定方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1矩形的定义矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：1、若一个图形是矩形，则首先它是一个平行四边形，同时它必须有一个角是直角。2、矩形的定义既是矩形的性质，也是矩形的一种判定方法。考点考点2矩形的性质及判定性质：矩形具有平行四边形的所有性质；(1)矩形的对边平行且相等；(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等.注意：1、矩形的性质是求线段的长度、角度等问题常用的知识，它可以用来验证两条线段是否相等、两条直线是否平行、两角是否相等。2、由于矩形四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决。3、矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此，在解决相等问题时，常常用到等腰三角形的性质。判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。考点考点3正方形的定义有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形.注意：1、正方形的定义有三个条件：（1）有一组邻边相等（2）有一个角是直角（3）是平行四边形这三个条件必须同时具备，缺一不可。2、正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的菱形、特殊的矩形。考点考点4正方形的性质及判定性质:正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质；(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；判定：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.考点1一元二次方程的定义三、例题三、例题精析类型一矩形的性质例题1例题1如图，把矩形纸片ABCD沿BD对折，使C落在E处，BE与AD相交于O，写出一组相等的线段()．【答案】∵AB=ED，∠A=∠E=90°，∠AOB=∠EOD∴△AOB≌△EOD∴AO=EO，OB=OD．例题2例题2直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为___【答案】30例题例题3矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为_，矩形的面积为____．【答案】40cm400cm2类型二矩形的判定例题1例题1如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【答案】A例题2例题2如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件_，使▱ABCD是矩形．【答案】AO＝BO(答案不唯一)类型三正方形的性质例题1例题1如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．(1)证明△ABG≌△AFG；(2)求BG的长；(3)求△FGC的面积．【答案】（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）∵CD=3DE∴DE=2，CE=4，设BG=x，则CG=6-x，GE=x+2∵GE2=CG2+CE2∴（x+2）2=（6-x）2+42，解得

x=3∴BG=3；（3）过C作CM⊥GF于M，∵BG=GF=3，∴CG=3，EC=6-2=4，∴GE==5，CM•GE=GC•EC，∴CM×5=3×4，∴CM=2.4，∴．

例题例题2已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2．(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积(用含a的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．【答案】（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF=90°，EH=EF，∴∠AEH+∠BEF=90°，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠BEF，又∵∠A=∠B=90°，∴△AHE≌△BEF，同理可证：△MFG≌△BEF，∴GM=BF=AE=2，∴FC=BC-BF=10，则S△GFC=10，（2）如图2，过点G作GM⊥BC于M．连接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH，∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH，∴∠AHE=∠MFG．又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM=AE=2．∴（12-a）×2=（12-a）（3）△GFC的面积不能等于2．∵若S△GFC=2，则12-a=2，∴a=10．此时，在△BEF中，，在△AHE中，，∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上．故不可能有S△GFC=2；解法二：△GFC的面积不能等于2，∵点H在AD上，∴菱形边长EH的最大值为，∴BF的最大值为，又因为函数S△GFC=12-a的值随着a的增大而减小，所以S△GFC的最小值为．又∵，∴△GFC的面积不能等于2．

类型四正方形的判定例题1例题1如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．【答案】（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠A=90°，∴四边形DFAE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE=DF．∴四边形DFAE为正方形．例题例题2以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：(1)如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？【答案】（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，

，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°，∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD=360°-90°-∠BAC-45°=225°-∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．则∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD=AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．

四、课堂运用四、课堂运用基础基础如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是（）A．2-2B．3-2C．2-1D．6-2由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形如图，▱ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为()A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为()A．16B．17C．18D．19答案与解析1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】B巩固巩固如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为___．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?答案与解析1.【答案】52.【答案】(8，4)，(3，4)或(2，4)3.【答案】略拔高拔高如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，(1)求证：OE=OF；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边的中点E、F，连接CE、BF交于点G，连接AG。试判断AG与AB是否相等，并说明道理。如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。说明OE=OF的道理；在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。答案与解析1.【答案】略2.【答案】略3.【答案】略五、课堂小结五、课堂小结1、矩形的定义2、矩形的性质3、矩形的判定4、直角三角形斜边中线的性质5、正方形的定义6、正方形的性质7、正方形的判定六、拓展延伸六、拓展延伸基础基础若一个个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm2，则这个正方形的边长为()A．6cm B.5cm C．7cm D．8cm如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为（）S＝4S＝2S＝4S＝2矩形具有而质平行四边形不一定具有的是（）A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是()A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤答案与解析1.【答案】C2.【答案】A．3.【答案】C4.【答案】D巩固巩固如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为()A．20B．24C．25D．26如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO的度数．答案与解析1.【答案】B2.【答案】：(