初三数学下册 讲义 第11讲 投影与视图 教案讲义及练习（教师版）

第第11讲讲投影与视图概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域新人教版课时时长（分钟）120知识点1.投影2.投影的种类3.正投影及其性质4.三视图5.三视图的画法6.由三视图想象出立体图教学目标1.经历实践与探索的过程，了解投影、平行投影、正投影的含义，能够确定物体在太阳光下的影子的特征，体会灯光下的影子与现实生活的联系；了解三视图的有关概念会画一些简单的三视图，能由三视图联想出几何体的形状，并能运用三视图的知识解决一些实际问题.2.了解在不同时刻物体在太阳下形成的影子的大小和方向是不同的.经历探索三视图与几何体的转化过程学会用转化的思想解决问题；3.能根据灯光的来辨别物体的影子，能找到中心投影下影子的位置和大小教学重点1.投影2.投影的种类3.正投影及其性质4.三视图5.三视图的画法6.由三视图想象出立体图教学难点1.正投影及其性质2.三视图的画法3.由三视图想象出立体图【教学建议】基于学生已有的知识，学生在初一下学期已经接触到了一些有关立体与平面图形之间的关系，但学生对它们的转换的理解仍然在数学的知识层面上，认识较为肤浅，需要正确完整地引导学生对技术学科所需求投影的知识进行全面的认识.【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入物体在日光或或灯光的照射下，会在地面，墙壁等处形成影子，例如：一棵树白天在日光下回形成影子，人晚上在路灯下行走也会形成方向不同，大小不同的影子.1.物体影子的形成与所照射的光线有什么关系？2.物体影子的大小是否有可能与物体本身的大小相同？二、复习预习二、复习预习前面我们学习了多种图形的变换，如：图形的平移，图形的轴对称，图形的旋转，图形的位似，图形的相似等；图形的平移、轴对称、旋转都可以利用图形全等解决问题，图形的位似、解直角三角形、相似以及我们今天学习的投影都可以利用相似的性质进行解决问题.投影对于我们并不陌生，生活中常常会遇到投影的现象，如我们看电影时，就是通过放映机把影像投射在幕布上形成的影子，幕布所在的平面即为投影面.首先用光线照射物体，在某个平面上得到的影子就是物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.三、知识讲解三、知识讲解考点1考点1投影投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.例如：我们看电影时，就是通过放映机把影像投射在幕布上形成的影子，幕布所在的平面即为投影面.知识拓展：（1）光线移动时，物体的影子的大小，方向也随着变化，物体的形状与影子的形状有密切的联系.（2）光是沿直线传播的，因此我们可以投影与物体确定光线方向.考点2考点2投影的种类投影有两类：一类是平行投影，一类是中心投影.平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影登高的物体垂直于地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长，等长的物体平行于地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长，且影子的长度等于物体本身的长度.平行投影头两类：正投影和非正投影.中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影，这个点就是中心，相当于物理中的点光源.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒，路灯，台灯，投影仪的灯光，放映机的灯光等.我们会得到两个结论：（1）等高的物体垂直于地面放置时，如图：在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，（2）等场的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有一个重要的结论，点光源，物体边缘上的点以及它在影子的对应点在同一条直线上，根据其中两个点的位置，就可以确定第三个点的位置.知识拓展：1、平行投影的应用：（1）根据阳光下物体影子的大小，位置的变化判断时刻的不同；（2）已知一个物体及其在阳光下的影子，可作出同一时刻另一个物体在阳光下的影子；（3）根据物体高与影长的关系可以求出物高或影长.2、中心投影的应用：（1）根据点光源下两种或两种以上物体影子的情况判断点光源的位置；（2）已知点光源的位置，可以画物体在点光源下的影子.考点3考点3正投影及其性质正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.知识拓展：1、当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状，大小完全相同.2、只有在平行投影中，才会出现正投影，正投影是光线与投影面的关系，与物体的放置无关.人们在实际作图中，经常采用正投影.正投影有如下性质：如图：是不同位置放置时，直木棒AB在平面P上的正投影.=1\*GB3①当木棒AB平行于投影面P时，它的正投影是线段，木棒与他的投影的大小关系为AB=.=2\*GB3②当木棒AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段,木棒与他的投影的大小关系为AB>=3\*GB3③当木棒AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点如图：所示的是不同位置放置时，长方形硬纸板ABCD在平面上的正投影.=1\*GB3①当纸板ABCD平行于投影面时，ABCD的正投影与ABCD的形状，大小一样；=2\*GB3②当纸板ABCD倾斜于投影面时，ABCD的正投影与ABCD的大小，不一样；=3\*GB3③当纸板ABCD垂直于投影面时，ABCD的正投影为一条线段.考点4考点4三视图（1）当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体.的一个视图，单一的视图通常只能反映无图的一个方面的形状，为了全面的反映物体的形状，生产实际中，往往采用多个视图来反映物体不同方面的形状.（2）我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，下方的平面叫做水平面，右边的平面叫做侧面.（3）一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫作俯视图.在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.如图：右边的三个视图是左边几何体的三视图.知识拓展：（1）三个视图分别从不同方向表示物体的形状，单独一个视图难以全面的反应物体的形状，三者结合起来才能较全面地反映物体的形状.（2）对于同一个物体，观察的角度不同，所得到的视图可能不同.（3）在生产实际中常用三视图描述物体的形状.考点考点5三视图的画法三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高，左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的.将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的三视图，三视图中的各视图分别从不同方向表示物体，三者合起来就能较全面地反映物体的形状，如图：画图时规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线化成虚线.知识拓展：俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，画三视图时，三个视图要放在正确的位置，不能随意乱放，三视图之间要保证长对正，高平齐，宽相等，这三个关系是看图与画图的基本规律.一般情况下，一个视图不能确定物体的空间形状，看图时必须将各视图对照起来看，这样才能看清楚物体的全貌.考点考点6由三视图想象出立体图（实物）由三视图想象立体图时，要先分别根据主视图，俯视图和左视图想象立体图形的前面，上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形.知识拓展（1）由一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看，（2）一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性.例如正放正方形的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体直三棱柱的，长方体，圆柱等.（3）三视图是平面图形，它是平行光线从不同方向照物体所得的投影，并且平行光线和投影面是垂直的考点考点7根据视图制作立体图形模型（实物）制作立体图形模型的一般步骤：以硬纸板为主要材料，做已知的两组视图所标示的立体模型；按照所给的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型；研究由（1）中的立体模型是如何得到（2）中的实物模型的；体会长对正，高平齐，宽相等.四、例题四、例题精析类型一投影例题1例题1把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（）A． B． C． D．【解析】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．故选A．【总结与反思】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．类型二投影的性质及应用例题2例题2圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（）A．0.324πm2 B．0.288πm2 C．1.08πm2 D．0.72πm2【解析】解：如图所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB，∴△AOC∽△BOD，∴=，即=，解得：BD=0.9m，同理可得：AC′=0.2m，则BD′=0.3m，∴S圆环形阴影=0.92π﹣0.32π=0.72π（m2）．故选：D．【总结与反思】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′=0.3m，再由圆环的面积公式即可得出结论．类型三三视图例题3例题3下面几个几何体，主视图是圆的是（）A． B． C． D．【解析】解：A、主视图为正方形，故错误；B、主视图为圆，正确；C、主视图为三角形，故错误；D、主视图为长方形，故错误；故选：B．【总结与反思】分别判断A，B，C，D的主视图，即可解答．类型四三视图的画法例题4例题4一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是（）A． B． C． D．【解析】解：从左边看去，应该是两个并列并且大小相同的矩形，故选B．【总结与反思】从左面看会看到该几何体的两个侧面类型五由三视图想象出立体图（实物）例题5例题5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4π B．3π C．2π+4 D．3π+4【解析】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，长方体的长为2，宽为1，高为1，故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，故选D．【总结与反思】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．类型六根据视图制作立体图形模型例题6例题6一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，如图分别给出了从正面、左面、上面看到的几何体的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【解析】解：由俯视图易得最底层小立方块的个数为4，由其他视图可知第二层有一个小立方块，那么共有4+1=5个小立方块．故选D．【总结与反思】从俯视图中可以看出最底层小立方块的个数及形状，从主视图可以看出每一层小立方块的层数和个数，从左视图可看出每一行小立方块的层数和个数，从而算出总的个数．五、课堂运用五、课堂运用基础基础1.由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，下面有关它的三个视图的说法正确的是（）A．左视图与主视图相同 B．俯视图与主视图相同C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同2.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（）A． B．15 C．10 D．3.如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（）A．15πcm2 B．51πcm2 C．66πcm2 D．24πcm24.已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC=4m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．答案与解析1.【答案】A．【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，故选：A．2.【答案】B．【解析】由题意得：DC=2R，DE=10，∠CED=60°，∴可得：DC=DEsin60°=15．故选B．3.【答案】D．【解析】由三视图，得：OB=3cm，0A=4cm，由勾股定理，得AB==5cm，圆锥的侧面积×6π×5=15π（cm2），圆锥的底面积π×（）2=9π（cm2），圆锥的表面积15π+9π=24π（cm2），故选：D．4.【答案】同解析．【解析】解：（1）作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，则EF就是DE的投影．（画图（1分），作法1分）．（2）∵太阳光线是平行的，∴AC∥DF．∴∠ACB=∠DFE．又∵∠ABC=∠DEF=90°，∴△ABC∽△DEF．∴=，∵AB=5m，BC=4m，EF=6m，∴，∴DE=7.5（m）．巩固巩固1.如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（）A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．一样大2.如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB=1.6m，他的影子长AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求灯泡的高．3.由一些大小相同，棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，数字表示该位置的正方体个数．（1）请画出它的主视图和左视图；（2）给这个几何体喷上颜色（底面不喷色），需要喷色的面积为（3）在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加块小正方体．答案与解析1.【答案】C．【解析】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，故三种视图面积最小的是左视图．故选：C．2.【答案】同解析．【解析】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．（2）解：由已知可得，=，∴=，∴OD=4m．∴灯泡的高为4m．3.【答案】同解析．【解析】解：（1）它的主视图和左视图，如图所示，（2）给这个几何体喷上颜色（底面不喷色），需要喷色的面有32个，所以喷色的面积为32，故答案为32．（3）在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加1个小正方体，故答案为1．拔高拔高1.如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）A．60π B．70π C．90π D．160π2.如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论中：①m＞AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小．正确的结论序号是．﹙直角填写正确的结论的序号﹚．3.某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合而成的一个立体图形，已知正方体的边长与圆柱的直径及高相等，都是0.8m．（1）请画出它的主视图、左视图、俯视图．（2）为了好看，需要在这立体图形表面刷一层油漆，已知油漆每平方米40元，那么一共需要花费多少元？（结果精确到0.1）答案与解析1.【答案】B．

【解析】解：观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内圆半径为3，外圆半径为4，高为10，所以其体积为10×（42π﹣32π）=70π，故选：B．2.【答案】①③④．【解析】解：当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m最大，则m＞AC，①成立；①成立，那么②不成立；最小值为AB与底面重合，故n=AB，故③成立；由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立；故答案为：①③④．3.【答案】同解析．【解析】解：（1）如图所示：（2）根据题意得出：0.8×0.8×5+0.8π×0.8=（0.64π+3.2）（m2），40×（0.64π+3.2）≈208.4（元），答：一共需要花费208.4元．六、课堂小结六、课堂小结知识结构及要点小结（1）投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.（2）投影的分类：=1\*GB3①平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影，其中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.=2\*GB3②中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（3）投影的特点：=1\*GB3①当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状，大小完全相同=2\*GB3②物体正投影的形状，大小与它们相对于投影面的位置有关解题方法及技巧小结要掌握平行投影和中心投影的区别，前者的光线是平行的，后者的光线是相交的.七、课后作业七、课后作业基础基础1.如图，晚上小亮在路灯下经过，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．逐渐变长 D．先变长后变短2.如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）A． B． C． D．3.如图所示，是一个简单几何体的三视图，则这个几何体的侧面积等于．4.如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于米．答案与解析1.【答案】B．【解析】在小亮由A处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短，当他从路灯下走到B处时，他在地上的影子逐渐变长．故选B．2.【答案】D．【解析】本题考查几何体的三视图，理解三视图的定义是正确解答的关键．3.【答案】18．【解析】解：由几何体的三视图可知，该几何体是底面边长为2的等边三角形、高为3的三棱柱，∴这个几何体的侧面积等于3×2×3=18，故答案为：18．4.【答案】10．【解析】解：作DH⊥AB于H，如图，则DH=BC=8m，CD=BH=2m，根据题意得∠ADH=45°，所以△ADH为等腰直角三角形，所以AH=DH=8m，所以AB=AH+BH=8m+2m=10m．故答案为10．巩固巩固1.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）A．6π B．4π C．8π D．42.如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为m．3.如图是某工件的三视图，求此工件的全面积和体积．答案与解析1.【答案】A．【解析】解：根据题目的描述，可以判断出这个几何体应该是个圆柱，且它的底面圆的半径为1，高为2，那么它的表面积=2π×2+π×1×1×2=6π，故选A．2.【答案】7.5．【解析】根据解：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，∵最小值3m，∴AB=3m，∵影长最大时，木杆与光线垂直，即AC=5m，∴BC=4，又可得△CAB∽△CFE