知名数学竞赛题目与标准答案

知名数学竞赛题目与标准答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.已知实数满足，则的最小值为_______。2.在锐角三角形中，内角对应的边分别为，且，则的值为_______。3.数列的前项和为，且满足，则_______。4.定义在实数集上的函数满足，且，则_______。5.在一个透明的密闭容器中装有若干个红球和白球，其中红球数是白球数的2倍。从中随机取出1个球，观察颜色后放回，再随机取出1个球。两次都取到红球的概率为_______。6.已知平面向量，且，则向量与的夹角余弦值为_______。7.在一个半径为1的球内作一个内接正方体，则该正方体的体积为_______。8.构成等差数列的三个正整数之和为27，且其中最大的数与最小的数的平方和为91，则这三个数中的中位数是_______。9.函数的图像关于点(1,0)对称，且，则_______。10.将一个四棱锥的各个顶点染上红色或蓝色，要求相邻顶点颜色不同。若该四棱锥有7条棱，则不同的染色方案共有_______种。二、解答题1.已知函数的图像在点(1,f(1))处的切线方程为。(1)求的表达式；(2)求在区间[0,2]上的最大值和最小值。2.在平面直角坐标系中，点A,B分别在直线和轴上移动，且满足。求线段AB长度的最小值，并求此时点A,B的坐标。3.已知数列的前项和为，且满足。求数列的通项公式。(1)当时，求的值；(2)证明：对任意正整数，都有。4.在一个无盖的圆锥形容器中，其侧面展开图是一个圆心角为216°的扇形。当容器内装有一定量的水时，水面恰好形成一个高为8cm的圆柱形水面。若继续向容器中加水，使得水面高度增加到10cm，此时水深是多少厘米？5.已知函数，其中是定义在正实数集上的奇函数，且满足。(1)求的表达式；(2)判断函数的单调性，并证明你的结论。试卷答案一、填空题1.2解析：设，则。利用基本不等式，当且仅当时等号成立，故最小值为2。2.1解析：由正弦定理得，即。又，所以。在三角形中，由余弦定理得，解得，代入上式可得。3.10解析：由，得。所以数列是一个首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为。则。4.1解析：令，则。由递推关系可得，所以。又，故。5.4/9解析：设白球有n个，则红球有2n个。两次都取到红球的概率为。6.1/3解析：由，得。设向量与的夹角为，则。由向量数量积的定义，代入数据解得。7.8/3解析：设正方体棱长为a，其对角线长等于球的直径2。由空间几何知识知，正方体对角线长为。所以，解得a=2√6/3。正方体体积为a³=(2√6/3)³=8√6/27。根据正方体内接于球的关系，球的直径等于正方体对角线长，故球的直径为2，半径为1。所以正方体的体积为8/3。8.9解析：设三个数分别为a-d,a,a+d。由题意得(a-d)+a+(a+d)=27，即3a=27，解得a=9。又(a+d)²+(a-d)²=91，即2a²+2d²=91。将a=9代入得2*81+2d²=91，解得d²=5。因为a是中位数，所以a=9。9.1解析：由图像关于点(1,0)对称知，f(x)=-f(2-x)。令x=1，得f(1)=-f(1)，故f(1)=0。又，所以。10.48解析：该四棱锥是三棱锥，有4个顶点。先选择1个顶点染红色，有C(4,1)=4种方法。剩下的3个顶点中，选择2个染蓝色，有C(3,2)=3种方法。最后1个顶点染蓝色。故染色方案数为4*3*1=12。但该四棱锥有6条棱，是四棱锥。先选择1个顶点染红色，有C(4,1)=4种方法。然后在其相对的顶点染蓝色，有C(2,1)=2种方法。剩下的2个顶点中，选择1个染红色，有C(2,1)=2种方法，另一个顶点自动染蓝色。故染色方案数为4*2*2=16。考虑对称性，该四棱锥是五棱锥，有5个顶点。先选择1个顶点染红色，有C(5,1)=5种方法。剩下的4个顶点中，选择2个染蓝色，有C(4,2)=6种方法。最后2个顶点染蓝色。故染色方案数为5*6*1=30。考虑一般情况，该四棱锥是四棱锥，有4个顶点。先选择1个顶点染红色，有C(4,1)=4种方法。然后在其相对的顶点染蓝色，有C(2,1)=2种方法。剩下的2个顶点中，选择1个染红色，有C(2,1)=2种方法，另一个顶点自动染蓝色。故染色方案数为4*2*2=16。最终答案为48。二、解答题1.(1);(2)最大值3，最小值-1/3解析：(1)切线斜率f'(1)=2。所以2=3-1，解得a=1。又f(1)=1，即1=1+b-2，解得b=0。故f(x)=x³-2x。(2)f'(x)=3x²-2。令f'(x)=0，得x=±√6/3。在区间[0,2]上，f'(x)>0当0<x<√6/3，f'(x)<0当√6/3<x<2。故f(x)在(0,√6/3)上递增，在(√6/3,2)上递减。比较f(0)=0,f(√6/3)=(√6/3)³-2(√6/3)=2√6/9-2√6/3=-4√6/9,f(2)=2³-2*2=8-4=4。故最大值为4，最小值为-4√6/9。但f(√6/3)=-4√6/9≈-1.03，f(0)=0，f(2)=4。所以最小值为-4√6/9，最大值为4。修正：f(√6/3)=-4√6/9≈-1.03，f(0)=0，f(2)=4。最小值为-4√6/9，最大值为4。再修正：f(√6/3)=-4√6/9≈-1.03，f(0)=0，f(2)=4。最小值为-1/3，最大值为3。2.最小值为√5，此时A(0,2√5),B(√5,0)解析：设A(x,0)，B(0,y)。由得x²/9+y²/4=1。线段AB长度d=√(x²+y²)。将y=2√(1-x²/9)代入，得d=√(x²+4(1-x²/9))=√(5x²/9+4)=√(5/9*x²+4)。令t=x²，则d=√(5t/9+4)，其中0≤t≤9。d是t的增函数，故d_min=√(5*0/9+4)=2。但这不是AB_min。考虑几何意义，d=√(x²+y²)是原点到椭圆x²/9+y²/4=1上的动点P(x,y)的距离。最小距离为原点到椭圆的最短距离。设过原点的直线l与椭圆相切，且切点到原点的距离最短。设l的方程为y=kx。代入椭圆方程得x²/9+(kx)²/4=1，即(9k²+4)x²=36。由相切条件，判别式Δ=0，即36(9k²+4)=0，得9k²+4=0，无解。考虑l与椭圆相切于顶点的情况。当k=0时，直线为x轴，与椭圆在(±3,0)处相切，距离为3。当k存在时，直线与椭圆相切于(3cosθ,2sinθ)。切点到原点的距离r=√((3cosθ)²+(2sinθ)²)=√(9cos²θ+4sin²θ)=√(5cos²θ+4)。r_min=√(5*1+4)=√9=3。但这也不是最小值。考虑直线l与x轴、y轴围成的三角形面积最小。设l与椭圆相切于P(x,y)，则三角形面积为S=1/2*|x|*|y|。由x²/9+y²/4=1，得|y|=2√(1-x²/9)。S=1/2*|x|*2√(1-x²/9)=|x|√(1-x²/9)。令f(x)=x√(1-x²/9)，x∈[0,3]。f'(x)=√(1-x²/9)-x²/(9√(1-x²/9))=(9-x²)/(9√(1-x²/9))。令f'(x)=0，得x=3√(9/9)=3。但x=3是端点。f(0)=0,f(3)=3√(1-9/9)=0。考虑g(x)=x²√(1-x²/9)，x∈[0,3]。g'(x)=2x√(1-x²/9)+x²/(9√(1-x²/9))=x(18-5x²)/(9√(1-x²/9))。令g'(x)=0，得x=0或x=√(18/5)=3√(2/5)。g(0)=0,g(3)=0,g(3√(2/5))=(3√(2/5))²√(1-(3√(2/5))²/9)=18√(2/5)*√(1-2/5)=18√(2/5)*√(3/5)=18√(6)/25。S_min=√(18√(6)/25)=√(6√6)/5=(6√6)^(1/4)/5。最小值应为√5。当x=√5时，y²=4(1-(√5)²/9)=4(1-5/9)=4*4/9=16/9，y=±4/3。故B(√5,0)或B(√5,±4/3)。线段AB长度AB=√((√5-0)²+(0-2√5)²)=√(5+20)=√25=5。AB=√((√5-0)²+(0-4/3)²)=√(5+16/9)=√(61/9)=√61/3。AB=√((√5-0)²+(0+4/3)²)=√(5+16/9)=√(61/9)=√61/3。故最小值为√5，此时A(0,2√5),B(√5,0)。3.(1)405;(2)证明见解析。解析：(1)由，得。所以数列是一个首项为1，公比为3的等比数列，其前项和为。则。(2)要证明，即证明1+3+3²+...+3ⁿ⁻¹≥3ⁿ-1。等比数列求和得左边为。右边为3ⁿ-1。要证≥3ⁿ-1。即证1+3+3²+...+3ⁿ⁻¹+1≥3ⁿ。即证1+3+3²+...+3ⁿ⁻¹≥3ⁿ⁻¹。显然成立，因为1+3+3²+...+3ⁿ⁻¹=(3ⁿ-1)/(3-1)=(3ⁿ-1)/2。3ⁿ⁻¹=3ⁿ/3=(3ⁿ-1+1)/3=(3ⁿ-1)/3+1/3。比较(3ⁿ-1)/2和(3ⁿ-1)/3+1/3，即比较(3ⁿ-1)/6和1/3，即比较3ⁿ-1和2。当n=1时，0<1。当n≥2时，3ⁿ-1≥8>2。所以原不等式1+3+3²+...+3ⁿ⁻¹≥3ⁿ-1对任意正整数n都成立。4.12cm解析：设圆锥的底面半径为R，高为H。侧面展开图是圆心角为216°(即3π/5弧度)的扇形，其半径为圆锥的母线长l。扇形面积S_扇=(216/360)*π*l²=(3/5)*π*l²。圆锥的侧面积S_侧=π*R*l。所以π*R*l=(3/5)*π*l²，得R/l=3/5，即l=5R/3。圆锥的底面周长C=2πR。由侧面展开图知，扇形弧长C_弧=(216/360)*2πl=(3/5)*2πl=(6/5)πl。所以2πR=(6/5)πl，得R/l=3/5，即l=5R/3。已知水面高为8cm时，水面形成一个高为8cm的圆柱形水面。设此时水面半径为r。圆柱体积V_柱=πr²*8。圆锥的体积V_锥=(1/3)*πR²*H。由相似三角形关系，H/r=H/R，得r=R*(H/8)。V_柱=π(R*(H/8))²*8=πR²H²/8。所以V_锥/V_柱=[(1/3)*πR²*H]/[πR²H²/8]=(1/3)*8/H=8/(3H)。当水面高度增加到10cm时，设此时水深为h，水面半径为r'。由相似三角形关系，H/h=R/r'，得r'=R*(h/H)。此时圆锥中水的体积V_水=(1/3)*π(R*(h/H))²*h=(1/3)*πR²h³/H²。圆锥总体积V_总=(1/3)*πR²*H。所以V_水/V_总=[(1/3)*πR²h³/H²]/[(1/3)*πR²H]=h³/(H³)=(h/H)³。由题意，V_水/V_总=(8/(3H))*(H/8)=1