4.3 《相似三角形》-2026秋浙教版数学九年级上册课堂分层训练

4.3《相似三角形》---浙教版数学九年级上册课堂分层训练一、基础夯实1．（2025九上·婺城期末）如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C等于（）A．20° B．40° C．60° D．80°2．（2024八上·拱墅月考）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（）A．60° B．54° C．56° D．66°3．如图所示，△ABC∽△ADB，AD=1，AB=2，则AC的长为()A．4 B．2 C．2 D．34．（2024九上·长兴期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知△ABC∽△EDF，则∠BAC的度数是（）A．135° B．125° C．115° D．105°5．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AB=5，AC=4.若△ABC∽△ACD，则AD的长为.6．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，点E在AB上且AE=3，点F在AC上，连结EF．若△AEF与△ABC相似，则AF=7．（1）如图，若△ABC∽△DEF，则∠C=度，∠E=度．（2）如图，AB与CD相交于点O．若△AOC∽△BOD，则它们的相似比为，AC=，OB=．8．（2021九上·余杭月考）如图，已知△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，AB＝9，BC＝16，则BD＝.9．（2024九上·婺城开学考）如图，已知△ADE∽△ABC，DE=3，BC=9．（1）求AEAC（2）若AE=4，求AC的长．10．（2025九上·温州期末）如图，△ABC∼△DEF二、能力提升11．（2025九上·义乌期中）如图，在正方形网格中，△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．75° B．60° C．55° D．45°12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，DE=2，DF=3，则BF的长是()A．213 B．313 C．41313．如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是()A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.814．（2024九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到的A．3−3 B．2−3 C．2 15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D.若△DAC∽△ABC，则∠B=16．（2025九下·义乌开学考）如图，在∆ABC中，∠C=900，AC=10cm，BC=8cm，点P从点C出发，以2cm/s的速沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过秒后，△PCQ与△ABC17．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向点C移动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从点C出发沿CD向D移动，速度为每秒1个单位长度，出发秒后，由C，P，Q三点组成的三角形与△ABC相似．18．（2024·柯桥模拟）在等边△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，AD=CE，连结DE，若S△ABC=9S△ADE，则19．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3.（1）求EC的长.（2）求证：BC⊥AD.20．如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D是AC上一点，AD=2cm，点P从点C出发沿C→B→A的方向，以1cm/s的速度运动至点A处，设运动时间为ts.（1）当点P在线段BC上运动时，BP=；当点P在线段AB上运动时，BP=(用含t的代数式表示).（2）线段DP将△ABC分成两部分，当其中一部分与△ABC相似时，求t的值.三、综合拓展21．（2022九上·绍兴月考）如图，抛物线y=−(x−1)2+4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作CD//x（1）点B的坐标为.点D的坐标为.（2）动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿线段BC向终点C运动，设运动时间为t秒，则当以C，D，E为顶点的三角形与ΔACB相似时，求t的值.22．（2023九上·安吉月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC>90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交（1）若∠EAD=75°，求BC的度数．（2）求证：DB=DC．（3）若DA=DF，当∠ABC=α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）．

答案解析部分1．【答案】D【知识点】相似三角形的性质-对应角【解析】【解答】

解：∵△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∴∠C=∠ADE=80°．

故选：D．

【分析】由相似三角形的性质知，相似三角形的对应角相等，其中∠C与∠ADE恰好对应。2．【答案】D【知识点】相似三角形的性质-对应角【解析】【解答】解：根据图形可知，两个全等三角形中，b，c的夹角为对应角∴∠α=∠1又∵∠α=180°−54°−60°=66°∴∠1=66°故选：D．【分析】如图，根据全等三角形对应角相等可得∠α=∠1，再通过三角形的内角和求得∠α，即可求解.3．【答案】A【知识点】相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵△ABC~△ADB，

∴ABAD=ACAB，

∵AD=1，AB=2，

∴21=AC2，

4．【答案】A【知识点】相似三角形的性质-对应角【解析】【解答】解：由网格可知∠DEF=90°+45°=135°，∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC=∠DEF，∴∠BAC=135°，故答案为：A．

【分析】在网格中得到∠DEF=90°+45°=135°，再利用相似三角形的对应角相等解题即可．5．【答案】16【知识点】相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD,∴∵AB=5,AC=4,∴AD=故答案为：16

【分析】利用相似三角形的性质可得结论.6．【答案】5或9【知识点】相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：当△AEF∽△ABC时

∴AEAF=ABAC，即3AF=106

解得：AF=95

当△AEF∽△ACB时

∴AEAF=7．【答案】（1）50；60（2）12【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：（1）∵△ABC∽△DEF，∠F=50°，∠B=60°，

∴∠C=∠F=50°，∠E=∠B=60°，故答案为：50，60.

（2）∵△AOC∽△BOD，OC=20，OD=40，

∴OCOD=OAOB=ACBD故答案为：40，50，

【分析】根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例分别求解即可.8．【答案】12【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，∴ABDB∴9DB∴BD=12（负值舍去），故答案为：12.【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得ABDB9．【答案】（1）解：∵△ADE∽△ABC，

∴AEAC（2）解：∵AEAC=13，AE=4，【知识点】相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可；（2）根据AEAC（1）∵△ADE∽△ABC∴AE（2）∵AEAC=∴AC=3AE=12．10．【答案】解：∵∠A=11∴∠C=180∘−110∴∠F=∠C=4【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C,再根据相似三角形的性质即可求出∠F.11．【答案】D【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角【解析】【解答】解：∵△ABC∽△EDF,∴∠BAC=∠DEF=13∴∠ABC+∠ACB=18故选：D.【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC=13512．【答案】D【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵△ABE∽△DEF，AB=6，DF=3，DE=2，∴ABE=AEDF，即62=AE3，解得AE=9.∵四边形ABCD为矩形，故答案为：D.

【分析】先根据相似三角形的性质求出AE的长，再由勾股定理即可得出结论.13．【答案】D【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，∴CD=10，BC=6，DE=3.∵△CBF∽△CDE，∴BF：DE=BC：DC.∴BF：3=6：10.∴BF=6÷10×3=1.8.故答案为：D.

【分析】由△CBF∽△CDE,根据相似三角形的对应边对应成比例，可知BF：DE=BC：DC，即BF=BC：DC×DE，根据平行四边形的对边相等，可知.BC=AD=6，DC=AD=10，易知DE=3，从而求出BF的长.14．【答案】A【知识点】勾股定理的逆定理；平移的性质；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：设BC与ED交点为H，如图所示：

∵AB=4，AC=3，BC=5，

∴AB2=16，AC2=9，BC2=25，

∴AB2+AC2=BC2，

∴△ABC为直角三角形，

∴S△ABC=12×3×4=6，

∵△ABC沿着点A到点C的方向平移到的△DEF位置，

∴△ABC∽△CDH，且AD即为△ABC平移的距离，

∴S△CDHS△ABC=26=13=CD2AC2，

解得：CD=3，

故答案为：A．【分析】根据勾股定理逆定理求得△ABC是直角三角形，然后求得△ABC的面积，由平移可得相似三角形，由相似三角形面积比为相似比的平方，直接求解即可．15．【答案】30【知识点】尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应角【解析】【解答】解：由作图，可知AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB.∵△DAC∽△ABC，∴∠CAD=∠B.∴∠CAB=2∠B.∵∠CAB+∠B=90°，∴3∠B=90°.∴∠B=30°.故答案为：30.

【分析】证明∠CAB=2∠B,根据直角三角形两锐角互余，构建方程求解即可.16．【答案】4013或【知识点】相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：①设经过x秒后△PCQ∽△ACB,∴∴解得x=②设经过x秒后△PCQ∽△BCA,∴∴解得x=∴经过4013秒或167秒，△PCQ与故答案为：4013或【分析】分两种情况分别计算，①设经过x秒后△PCQ∽△ACB,得ACBC=PCCQ,②设经过x秒后△PCQ∽17．【答案】125或【知识点】相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的边长AB=6，BC=8。

假设△CQP∽△ABC，

∴CP：CQ=AB：BC，

∴CP：AB=CQ：BC，

∵动点P从B点出发沿着BC向点C移动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从点C出发沿CD向D移动，速度为每秒1个单位长度，

设定动点P和Q移动的时间为t，则有：

CP=BC−BP=8−2t，CQ=t

∴8−2t：t=6：8，8−2t：6=t：8

8−2t：t=6：8，

化简得到：

8(8−2t)=6t，

解这个方程，得到：

t=3211，

∵（8−2t）：6=t：8，

化简得到：8(8−2t)=6t

解这个方程，得到：

t=125

∴当动点P和Q移动的时间t等于3211故答案为：125或32【分析】根据已知条件，假设△CQP∽△ABC，根据相似三角形的性质，CP：CQ=AB：BC，CP：AB=CQ：BC，设定动点P和Q移动的时间为t，根据比例关系，建立方程，解方程，计算出t的值.18．【答案】6【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；相似三角形的性质【解析】【解答】解：在边BC上取一点F，使BF=AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=CA，∠B=∠C=∠A=60°，

∵AD=BF=CE，

∴BD=CF=AE，

∴△BDF≌△CFE≌△AED，

∴DF=FE=ED，

∴△DEF是等边三角形，

∴△DEF∽△ABC，

∵S△ABC=9S△ADE，△BDF≌△CFE≌△AED，

∴△DEF的面积=S△ABC故答案为：63【分析】在边BC上取一点F，使BF=AD，首先根据SAS证明△BDF≌△CFE≌△AED，得出△DEF是等边三角形，从而得出△DEF∽△ABC，然后根据相似三角形相似比与面积比之间的关系，可求得DEAB19．【答案】（1）证明：∵△ABC∽△DEC，∴又∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3，∴∴EC=3.1.（2）证明：∵△ABC∽△DEC，∴∠ACB=∠DCE.∵∠ACB+∠DCE=180°，∴∠ACB=∠DCE=90°.∴BC⊥AD.【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】(1)根据相似三角形的性质解答即可；

(2)根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可.20．【答案】（1）(6-t)cm；(t-6)cm（2）解：当点P在BC上运动时，如图①，当△CPD∽△CAB时，CPCA=∴t=当△CDP'∽△CAB时，CDCA=∴t=2.当点P在AB上运动时，如图②，当△ADP∽△ACB时，APAB=∴t=当△ADP'∽△ABC时，AP'∴t=综上所述，t的值为12或2或223【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：（1）当点P在线段BC上运动时，BP=BC-CP=(6-t)cm；当点P在线段AB上运动时，BP=CP-BC=(t-6)cm；

故答案为：(6-t)cm；(t-6)cm；

【分析】（1）根据运动的速度和时间表示BP长即可；、

（2）当点P在BC上运动时，分为△CPD∽△CAB和△CDP'∽△CAB两种情况，当点P在AB上运动时，分为△ADP∽△ACB和△ADP'∽△ABC两种情况，利用对应边成比例解答即可.21．【答案】（1）（3，0）；（2，3）（2）解：由（1）可知，C(0，3)由勾股定理得：BC=32由题意得：BE=t，∴CE=32∴当以C，D，E为顶点的三角形与ΔACB相似时，存在两种情况：①当△CDE∼△BAC时，CDAB即24∴t=3②当△CDE∼△BCA时，CDBC即23∴t=5综上所述，t的值是322或【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】（1）解：令y=0，则−(解得x1=−1，∴A(−1，当x=0时，y=−∴C(0，∵CD//∴y令−(x−1)2+4=3，解得x∴D(2，故答案为：（3，0），（2，3）；

【分析】（1）直接把y＝0代入抛物线的解析式求出x的值即可求出B点坐标，再把x＝0代入求出C点的纵坐标，即D点的纵坐标，把D点的纵坐标代入抛物线的解析式求出D点的横坐标，从而即可得出答案；

（2）根据两点间的距离公式算出BC，易得BE=t，从而可表示出CE=32−t，①当△CDE∽△BAC时，22．【答案】（1）解：∵∠EAD=75°，AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠DAE=15