湖南省长沙市明达中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

长沙市明达高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数的虚部为（

）A．2025 B． C．1121 D．11203．已知，且，则（

）A． B．C． D．4．已知数列中，，，则（

）A． B． C． D．25．已知，则的最小值为（

）A．0 B．2 C．6 D．86．若，则A． B． C． D．27．若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列各式不正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则10．记等差数列的前项和为，，，则（）A． B． C． D．11．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（

）A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点三、填空题12．以为圆心，5为半径的圆的标准方程是______.13．已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________．14．椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为_______________．四、解答题15．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点；(2)斜率为4，在轴上的截距为；(3)经过两点；(4)在x轴、y轴上的截距分别是，．16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c;(1)若，，，求a;(2)若，，，求B;17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．

(1)求直线与所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到直线的距离．18．已知数列满足：，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和.19．已知双曲线的渐近线方程是，且过点.(1)求的标准方程；(2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知.（i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标；（ii）求面积的取值范围.

1．B【详解】因，，则.故选：B2．D【详解】由可知，虚部为1120.故选：D3．B【详解】.故选：B．4．A【详解】因为，，所以，，，.故选：A5．D【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号.故的最小值为8.故选：D6．C【详解】因为，所以选C.7．A【详解】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为，球的表面积为，故选：A．8．D【详解】设，由，得，由椭圆定义可知，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），在中，，，解得离心率.故选：D.9．ACD【详解】对于A，若，，则，A错误；对于B，若，，则，B正确；对于C，若，，则，C错误；对于D，若，，则，D错误.故选：ACD10．ACD【详解】设等差数列的公差为，又等差数列的前项和为，，，∴，解得，，故A正确；，故B错误；，∴，故C正确；，，∴，故D正确．故选：ACD．11．ACD【详解】对椭圆：焦点在轴上，且，，所以，所以椭圆的焦点为，离心率为.对双曲线：焦点在轴上，其渐近线方程为.所以，AC正确，B错误.对D：由，所以或或或.即椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确.故选：ACD12．【详解】以为圆心，5为半径的圆的标准方程是.故答案为：.13．【详解】因为数列为等比数列，且，公比，所以该数列的前4项的和为，故答案为：14．【详解】椭圆，，，根据椭圆的定义，椭圆上任意点满足，右焦点坐标，圆的标准方程为，圆心为，半径，，，，当在的延长线与椭圆交点时取等号，，，故答案为：．15．(1)(2)(3)(4)【详解】（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为，化为一般式方程为；（2）直线斜率为4，在轴上的截距为，则直线方程为，化为一般式方程为；（3）直线经过两点，则直线方程为，化为一般式方程是为；（4）直线在x轴、y轴上的截距分别是，，则直线方程为，化为一般式方程为.16．(1)(2)【详解】（1）在中，，，，由余弦定理得，，所以.（2）在中，，，，由正弦定理得，，即，由，得，所以.17．(1)；(2)；(3).【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则.故，，则直线与所成角的余弦值为：；（2）由（1），设平面法向量为，则，则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为：；（3）由（1），，又，则到直线的距离为：.

18．(1)；(2)；(3).【详解】（1）由，得，，当时，，则，解得，所以是首项为，公比为2的等比数列，则.（2）由（1）知，所以，所以.（3）由（1）知，所以，所以，即，，两式相减得，所以.19．(1)(2)（i）设直线的方程为，，，又，，所以同理，，所以，所以，由消去得，，所以，所以，整理，得，即整理，得，解得或，当时，直线过点，不合题意，舍去，当时，直线过点，满足题意，所以直线过点.（ii）