陕西省汉中市龙岗学校2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年陕西省汉中市龙岗学校高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|2x+2＞0}，则A∩B=（）A.{-2，-1} B.{-1，0，1}

C.{0，1，2} D.{-2，-1，0，1，2}2.已知，则z的虚部为（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则k=（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知A，B是互斥事件，C与A∪B是对立事件，若P（A）=0.2，P（B）=0.4，则P（C）=（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.85.如图，在△ABC中，D是AB的中点，，设，，则=（）A.

B.

C.

D.6.已知a=0.80.7，b=0.70.8，c=0.70.7，则（）A.（a＜b＜c） B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.b＜a＜c7.在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，且，则sin∠DAB=（）A. B. C. D.8.在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=1，，，则该三棱锥外接球的半径为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数，则（）A. B.|z|=2

C.z2在复平面内对应的点在第二象限 D.z3是纯虚数10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.若a=3，则f（x）的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞）

B.若a=5，则f（x）的值域为[1，+∞）

C.f（x）的图象关于直线x=2对称

D.若a=3，则f（x）的单调递减区间是（-∞，1）11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段B1C上的动点，则（）A.直线AD1与BP是异面直线

B.三棱锥D1-APD的体积为定值

C.直线AP与平面BB1C1C所成角的正弦值的最大值为

D.平面A1DP与平面ABCD所成的锐二面角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一组数据12，5，8，15，10，7的中位数是

.13.已知，且，则tanα=

.14.假设时钟上的时针、分针、秒针都是匀速旋转的，与时针、分针、秒针的指向同方向的单位向量分别为，，，则从0：00：00到1：00：00这1小时内（不含初始与结束时刻），满足的情况出现了

次.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数的最小正周期为π.

（1）求f（x）的解析式；

（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求g（x）在上的值域.16.(本小题15分)

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=2，，O为BD的中点.

（1）证明：B1D1∥平面C1BD；

（2）证明：BD⊥平面OCC1；

（3）求平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积.17.(本小题15分)

某科技公司为评估其最新研发的一款智能新能源汽车的电池性能，在标准工况下随机测试了200辆该型号汽车的连续续航里程（单位：km），所得数据都在[400，600]内.将所得的数据分成4组：[400，450），[450，500），[500，550），[550，600]，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求a的值以及测试的续航里程在[500，600]内的汽车数量；

（2）估计该型号新能源汽车在标准工况下的平均续航里程（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（3）从[500，550）和[550，600]两组中用分层随机抽样的方法抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆进行深度电池拆解检测，求抽到的这2辆汽车恰有1辆续航里程在[550，600]内的概率.18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求A.

（2）点D在BC边上，记∠BAD=α，∠CAD=β.

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）若，且点D到AC的距离等于点D到AB的距离的2倍，求△ABC面积的最小值.19.(本小题17分)

设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中Qi（i=1，2，…，k,k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，平面Q1PQ2，Q2PQ3，…，Qk-1PQk和QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面.

（1）求正三棱柱在各个顶点处的离散曲率之和.

（2）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD，该四棱锥在点A处的离散曲率为.

（ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PBD；

（ⅱ）若直线PA与平面PCD所成角的正弦值为，求二面角P-BD-C的余弦值.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】BD

12.【答案】9

13.【答案】

14.【答案】118

15.【答案】解：（1）函数的最小正周期为π，

则，得ω=2，

因此；

（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，

则，

当时，，

，可得．

所以g（x）的值域为（-1，2]．

16.【答案】解：（1）证明：平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1=DD1，

所以四边形BB1D1D为平行四边形，

所以BD∥B1D1，又B1D1⊄平面C1BD，BD⊂平面C1BD，

所以B1D1∥平面C1BD；

（2）证明：因为底面ABCD是正方形，O为BD的中点，所以BD⊥OC，

在△DCC1和△BCC1中，DC=BC，，CC1=CC1，

所以△DCC1≌△BCC1，所以DC1=BC1，

又O为BD的中点，所以BD⊥OC1，又BD⊥OC，OC∩OC1=O，

所以BD⊥平面OCC1；

（3）在△DCC1中，DC=2，CC1=2，，所以△DCC1为等边三角形，

所以DC1=2，同理可得BC1=2，

在等腰△BDC1中，，

所以

在△OCC1中，，CC1=2，则，所以C1O⊥OC，

因为BD⊥平面OCC1，BD⊂平面ABCD，所以平面OCC1⊥平面ABCD，

因为平面OCC1∩平面ABCD=OC，所以C1O⊥平面ABCD，

又SABCD=2×2=4，所以，

故平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为．

17.【答案】解：（1）根据题意可得50×（0.002+0.008+0.006+a）=1，

解得a=0.004；

所以测试的续航里程在[500，600]内的汽车数量为（0.006+0.004）×50×200=100辆；

（2）因为（0.002×425+0.008×475+0.006×525+0.004×575）×50=505，

所以估计该型号新能源汽车在标准工况下的平均续航里程为505km；

（3）续航里程在[500，550）和[550，600]两组中的车辆数

分别为0.006×50×200=60，0.004×50×200=40，

用分层随机抽样的方法抽取5辆汽车，

可得在[500，550）中抽取辆，设为a,b,c；

在[550，600]中抽取辆，设为A，B，

所以再从这5辆汽车中随机抽取2辆进行深度电池拆解检测的所有情况为：

ab,ac,aA，aB，bc,bB，bA，cA，cB，AB，共10种方法，

抽到这2辆汽车恰有1辆续航里程在[550，600]内有：

aA，aB，bB，bA，cA，cB，共6种，

所以抽到的这2辆汽车恰有1辆续航里程在[550，600]内的概率为．

18.【答案】解：（1）由，根据正弦定理得：，

即，在三角形ABC中，由A+B+C=π⇒B+C=π-A，

因此，即，

在三角形ABC中，因为0＜A＜π，所以sinA＞0，

所以，所以．

（2）（ⅰ）如图所示，由∠BAD=α，∠CAD=β，

在△ABD中，根据正弦定理得：，

在△ACD中，根据正弦定理得：，

所以，

在△ABC中，根据正弦定理得：，

所以

=，

即．

（ⅱ）过点D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交AB，AC于点E，F，如图所示：

则点D到AC的距离为DF，点D到AB的距离为DE，且DF=2DE，

由∠BAD=α，∠CAD=β，所以在直角△AED与直角△AFD中有：DE=AD•sinα，DF=AD•sinβ，

所以AD•sinβ=2AD•sinα⇒sinβ=2sinα，

由（1）知，所以，

所以，

即，

又，所以，所以，

由以及得：，即，

由，

当且仅当，即b=2，c=4时等号成立，

所以，即当b=2，c=4时，△ABC面积的最小值为．

19.【答案】解：（1）如图所示：

在正三棱柱EFG-E1F1G1中，可知6个顶点处的离散曲率相等，

由，

根据离散曲率的定义，正三棱柱在点E处的离散曲率为：，

所以正三棱柱在各个顶点处的离散曲率之和为：．

（2）（ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，

所以，

根据离散曲率的定义，由四棱锥在点A处的离散曲率为，

即，

解得，

因为AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD，所以，

在△ABD中有：，

即AB⊥BD，

又PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，

又AB∩PA=A，PA，AB⊂平面PAB，所以BD⊥平面PAB，

又BD⊂平面PBD，

所以平面PAB⊥平面PBD．

（ⅱ）设PA=h,DC=1，所以BC=1，

在直角△BCD中有：，

又，

所以，

在直角△PAD中有：，

由PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，

又AD⊥CD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，

因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，

所以，

设点A到平面PCD的距离为d,

且，

由等体积法得