新人教版小学数学五年级下册第四单元最大公因数习题

在小学数学的知识体系中，“最大公因数”是一个承上启下的重要概念，它不仅是对因数概念的深化，也是后续学习分数约分、通分乃至更复杂数学运算的基础。掌握最大公因数的求法与应用，对提升学生的数感和解决实际问题的能力至关重要。本文将围绕新人教版小学数学五年级下册第四单元“最大公因数”的核心知识点，精心编排习题，并辅以思路解析，旨在帮助学生巩固所学，提升应用能力。一、基础巩固篇：概念理解与基本方法本部分旨在帮助学生夯实基础，熟练掌握最大公因数的定义及最基本的求法——列举法和短除法。（一）填空题1.几个数公有的因数，叫做这几个数的（）；其中最大的一个，叫做这几个数的（）。2.12的因数有（），18的因数有（），12和18的公因数有（），它们的最大公因数是（）。3.一个数的最大因数是它本身，最小因数是（）。因此，一个数与它本身的最大公因数是（）。4.如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是（）。例如，5和7的最大公因数是（）。5.16和24的最大公因数是（），8和9的最大公因数是（）。（二）判断题1.两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（）2.1是所有非零自然数的公因数。（）3.因为15÷3=5，所以15和3的最大公因数是5。（）4.两个不同的质数，它们的最大公因数是1。（）5.相邻的两个自然数（0除外），它们的最大公因数是1。（）（三）用你喜欢的方法求出下列各组数的最大公因数1.15和202.18和273.8和124.9和115.24和36思路点拨：*列举法：分别列出两个数的所有因数，找出它们共有的因数，其中最大的就是最大公因数。*短除法：用两个数公有的质因数连续去除，直到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。对于互质数（如9和11），最大公因数直接就是1。二、综合应用篇：解决实际问题数学源于生活，亦应用于生活。本部分习题将引导学生运用最大公因数的知识解决一些简单的实际问题。1.有一块长方形的布料，长是30分米，宽是24分米。现在要把它裁成若干块大小相同的正方形布料，且没有剩余。正方形布料的边长最大是多少分米？可以裁成多少块这样的正方形布料？思路解析：要裁成大小相同且没有剩余的正方形，正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数。要求边长最大是多少，就是求30和24的最大公因数。求出边长后，再用长方形面积除以正方形面积，即可得到块数。2.五（1）班有男生24人，女生18人。现在要把男、女生分别分成若干小组进行活动，并且每个小组的人数要相同，每组最多有多少人？这时男、女生分别有几个小组？思路解析：每个小组的人数相同且最多，就是求24和18的最大公因数。用男生人数除以每组人数得男生小组数，女生人数除以每组人数得女生小组数。3.两根绳子，一根长48厘米，另一根长36厘米。现在要把它们剪成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以剪成多少段？思路解析：与前两题类似，每小段的最长长度就是48和36的最大公因数。总段数为两根绳子长度分别除以每小段长度后相加。4.有一些糖果，无论是分给8个小朋友，还是分给12个小朋友，都正好分完。这些糖果至少有多少颗？思路解析：此题看似求“至少”，实则是求8和12的最小公倍数。但换个角度思考，如果问的是“这些糖果的数量可能是多少？”，那么就是求8和12的公倍数。而最大公因数在此类“正好分完”的问题中，通常用于“最多每份分多少”的情境。此处需注意区分最小公倍数与最大公因数的应用场景。三、拓展提升篇：思维训练与知识融合本部分题目稍有难度，旨在培养学生的思维灵活性和综合运用知识的能力。1.已知A=2×2×3，B=2×3×5，那么A和B的最大公因数是多少？思路解析：这是用分解质因数法求最大公因数。两个数的最大公因数是它们全部公有质因数的乘积。A和B公有的质因数是2和3，所以最大公因数是2×3=6。2.一个数减去3后，既是4的倍数，又是6的倍数，这个数最小是多少？思路解析：先求出4和6的最小公倍数，然后再加上3，就是这个数的最小值。这体现了最小公倍数与所求数之间的关系，也间接运用了因数倍数的概念。3.有三个连续的自然数，它们的最大公因数是多少？请举例说明。思路解析：引导学生思考连续自然数的特点。例如，2、3、4的最大公因数是1；5、6、7的最大公因数也是1。从而得出结论：三个连续自然数的最大公因数是1。4.两个数的最大公因数是6，其中一个数是18，另一个数可能是多少？（至少写出两个）思路解析：已知最大公因数和其中一个数，求另一个数。另一个数必须是6的倍数，且18和这个数的公有质因数的乘积是6。18=6×3，所以另一个数可以是6×1=6，6×2=12，6×4=24（注意不能是6×3=18，因为题目说“另一个数”，通常指不同的数）等。参考答案与解题思路提示一、基础巩固篇（一）填空题1.公因数，最大公因数2.1,2,3,4,6,12；1,2,3,6,9,18；1,2,3,6；63.1，它本身4.1，15.8，1（二）判断题1.×（例如：4和2的最大公因数是2，等于其中一个数）2.√3.×（15和3的最大公因数是3）4.√5.√（三）求最大公因数1.5（15的因数：1,3,5,15；20的因数：1,2,4,5,10,20；公因数：1,5；最大公因数5）2.9（短除法：18和27同时除以3得6和9，再同时除以3得2和3，互质。最大公因数3×3=9）3.44.1（互质数）5.12二、综合应用篇1.30和24的最大公因数是6。所以正方形边长最大是6分米。(30÷6)×(24÷6)=5×4=20（块）2.24和18的最大公因数是6。每组最多6人。男生：24÷6=4（组）女生：18÷6=3（组）3.48和36的最大公因数是12。每小段最长12厘米。48÷12+36÷12=4+3=7（段）4.（提示：此题为最小公倍数应用，8和12的最小公倍数是24，所以至少24颗。）三、拓展提升篇1.A和B公有的质因数是2和3，所以最大公因数是2×3=6。2.4和6的最小公倍数是12，12+3=15。这个数最小是15。3.最大公因数是1。例如：3,4,5的最大公因数是1。4.另一个数必须是6的倍数，且与18的最大公因数是6。可能是6、12、24、30等（18除外）。总结与学习建议最大公因数的学习，关键在于理解其“公有”和“最大”的含义，并能灵活运用不同方法（列举法、短除法、分解质因数法）进行求解。在解决实际问题时，要仔细审题，明确题目