小学数学五年级上册“小数除法”分层突破导学案

小学数学五年级上册“小数除法”分层突破导学案

一、教材与学情分析

（一）教材定位与价值解读

“小数除法”是小学数学“数与代数”领域的核心内容，是在学生已经系统掌握了整数四则运算、小数的意义和性质以及小数加减法、小数乘法的基础上进行教学的。它既是整数除法知识的延伸与发展，又是后续学习分数与百分数、比与比例等更高阶数概念运算的基础，具有承上启下的关键作用。【非常重要】【基础】本单元的学习，不仅要求学生掌握计算技能，更核心的是引导学生在探索算法的过程中，进一步深化对运算意义（等分除、包含除）的理解，体会数学思想方法（如转化思想、数形结合思想），发展运算能力和推理意识。从知识体系上看，本单元由浅入深，依次安排“除数是整数的小数除法”、“一个数除以小数”、“商的近似值”、“循环小数”以及“用计算器探索规律”和“解决问题”等板块，逻辑线索清晰，思维梯度合理。【重要】

（二）学情多维分析

1.知识经验层面：学生已经熟练掌握了整数除法（特别是三位数除以两位数）的计算方法，理解了商不变的性质，并初步接触了小数乘法的算理与算法。这为学习小数除法，尤其是理解“除数是小数”的除法算理，提供了坚实的认知锚点。【基础】

2.技能水平层面：学生的计算能力存在显著差异。部分学生整数除法计算尚不熟练，试商能力弱；部分学生对于小数点位置处理的感知模糊；还有部分优等生则渴望更具挑战性的思维训练。这种差异化的学情，要求教学必须在统一目标下，实施分层推进与个别化指导。【重要】

3.认知心理层面：五年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对于“为什么被除数和除数的小数点要同时移动”、“为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐”等算理性问题，仅靠机械模仿难以真正内化。因此，教学设计必须借助直观模型（如元角分情境、面积模型）和操作活动，帮助学生跨越从“算理”到“算法”的鸿沟，建立深刻的数学理解。【难点】

二、教学目标与核心素养

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本导学案致力于达成以下目标：

1.知识与技能：理解并掌握小数除法的计算方法，能正确进行除数是整数和除数是小数的除法计算；理解商的近似值的意义，掌握“四舍五入”法求商的近似值；认识循环小数、有限小数和无限小数，能借助计算器探索并描述简单规律。【基础】【高频考点】

2.过程与方法：经历探索小数除法计算方法的过程，体验“转化”思想在解决新问题中的作用；通过观察、比较、分析、概括，发展学生的运算能力和推理意识；在解决实际问题的过程中，提高分析问题和解决问题的能力。【重要】

3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，体会数学的应用价值；在分层学习任务的挑战中，获得成功的体验，树立学好数学的自信心；养成认真计算、自觉检验、严谨求实的良好学习习惯。

三、教学重点与难点突破策略

（一）教学重点

理解并掌握除数是小数的除法的计算方法，能正确进行计算。【非常重要】【高频考点】

（二）教学难点

理解“商的小数点要和被除数的小数点对齐”以及“除数是小数的除法转化成除数是整数的除法”的算理。【难点】【核心】

（三）难点突破的多维策略

1.情境驱动策略：紧密联系元、角、分等生活情境和面积模型，将抽象的算理转化为直观的数量关系。例如，计算3.6÷0.4，可以转化为“3.6元里面有多少个0.4元”，即“36角里面有多少个4角”，从而理解将除数转化为整数的必要性。

2.操作体验策略：引导学生利用学具（如计数单位卡片）进行操作，亲身体验“分”的过程。例如，计算1.2÷3，通过操作“1个一”和“2个0.1”，直观感受“1”不够分，需要拆分成10个0.1，与原有的2个0.1合并成12个0.1再分的过程，深刻理解商的位置和小数点的处理。

3.类比迁移策略：充分激活学生已有知识，如整数除法、商不变的性质、小数意义等，引导学生自主探索新知的生长点。让学生自己尝试计算，并解释自己的算法，在交流碰撞中明晰算理，实现从已知到未知的自然过渡。【重要】

4.错误辨析策略：有意呈现典型错例（如商的小数点位置错误、补“0”错误），组织学生进行辨析、讨论，在“找茬”和“改错”中深化对正确算法的理解，培养批判性思维和反思意识。

四、教学课时规划（共9课时）

本单元共分四个层次，循序渐进地推进：

第一层次：除数是整数的小数除法（3课时）。【基础】

第二层次：一个数除以小数（2课时）。【非常重要】【高频考点】

第三层次：商的近似数与循环小数（2课时）。【重要】【热点】

第四层次：用计算器探索规律与解决问题（2课时）。【拓展应用】

五、教学实施过程：分层突破策略全景设计

本导学案的教学实施过程，严格遵循“基础保底、核心突破、拓展提升”的原则，将课堂教学划分为“温故知新·基础感知”、“探究新知·核心建构”、“分层练习·应用提升”、“反思总结·内化升华”四个主要环节。在每个环节中，针对不同认知水平和学习能力的学生，设计差异化的学习任务、活动与指导策略，确保每一位学生都能在原有基础上获得最大程度的发展。

（一）第一层次：除数是整数的小数除法（第1-3课时）

第一课时：小数除以整数（例1、例2）

【教学实施过程】

1.温故知新·基础感知（约5分钟）

基础层活动：全体学生独立完成两道整数除法笔算题，如“224÷4”和“345÷3”，并同桌互相说一说计算步骤（从高位除起，除到哪一位商写在哪一位上面）。此环节旨在唤醒学生对整数除法算法的记忆，为迁移学习奠定基础。【基础】

发展层指导：教师巡视，重点关注计算有困难的学生，进行个别化指导，帮助他们回忆试商方法，巩固计算法则。

2.探究新知·核心建构（约20分钟）

情境导入：呈现“王鹏坚持晨练，计划4周跑步22.4千米，他平均每周应跑多少千米？”的生活情境，引导学生列出算式：22.4÷4。

探究活动一：理解算理，尝试计算（聚焦核心难点）。

核心问题驱动：“这个算式和我们之前学的除法有什么不同？”（被除数是小数）“22.4除以4，到底应该怎么算呢？你能用自己的方法试一试吗？”

分层探究任务设计：

【基础层学生】支持性探究：允许并鼓励这部分学生借助“元、角、分”的知识进行思考。将22.4千米转化为22400米，计算出每周跑5600米，再将结果转化为5.6千米。通过这一转化过程，初步感知小数除法可以转化为整数除法进行计算。教师引导：“这个方法很棒，把没学过的知识转化成了学过的知识。那如果不转换单位，直接用竖式，你能结合刚才的思路想一想吗？”【基础】

【发展层学生】半开放式探究：鼓励学生尝试直接用竖式计算，并思考“商的小数点点在哪里？为什么？”教师可以提供学习支架，如：“先用22除以4，商5，这个5表示什么？（5个一），所以应该写在个位。余下的2个一和4合起来是24个什么？（24个十分之一），再用24个十分之一除以4，得到6个什么？（6个十分之一），所以这个6应该写在十分位上。那么商5和6合起来，小数点点在哪里呢？”【重要】

【挑战层学生】开放式探究：要求学生在尝试竖式计算后，用自己的语言完整地解释算理，并能提出自己疑惑的问题，如“为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐？如果被除数的小数后面没有数了，但还有余数怎么办？”

全班汇报与交流：组织不同层次的学生展示自己的方法，重点让发展层和挑战层的学生汇报竖式计算的过程。教师借助计数器或面积图，动态演示“22.4”的分解过程：将“22.4”看作22个一和4个十分之一。先用22个一除以4，商5个一，余2个一。将余下的2个一转化成20个十分之一，与原有的4个十分之一合并成24个十分之一。24个十分之一除以4，得到6个十分之一。因此，商应该是5个一和6个十分之一，即5.6。通过直观演示，将抽象的算理形象化，帮助学生深刻理解“商的小数点要和被除数的小数点对齐”的道理。【难点突破】

探究活动二：算法提炼与内化（例2）

出示例2：王鹏的爷爷计划16天慢跑28.8千米，平均每天慢跑多少千米？让学生独立列竖式计算。

聚焦新问题：当学生计算到个位除完，十分位上的8除以16不够除时，引发认知冲突。“不够除怎么办？”

分层指导策略：

教师引导全体学生回忆整数除法中遇到不够除的处理方法（商0占位）。

学生自主尝试在商的个位后面点上小数点，并在十分位上商0，继续除。

强调：在除法中，除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。现在除到十分位，就应该在十分位上写商，十分位不够商1，就要商0。这个“0”起到了占位的作用，不能省略。【非常重要】

3.分层练习·应用提升（约12分钟）

【基础巩固区】（面向全体，约6分钟）

列竖式计算：6.6÷2，84.8÷4，9.6÷6。

要求：完成后，同桌互相检查商的小数点位置是否正确，并互相说一说计算过程。

【核心突破区】（面向发展层，约3分钟）

数学诊所：判断下面的计算对吗？如果不对，错在哪里？

呈现错例：例如25.2÷6=4.2（错误地将商写成了42），或者18.9÷9=2.1（正确），让学生在辨析中巩固算理。

【思维拓展区】（面向挑战层，约3分钟）

想一想，填一填：根据第一栏的积，写出其他各栏的积。

呈现如：12.5÷5=2.5，那么125÷5=（），1.25÷5=（）。引导学生发现规律，感悟商的变化规律。

4.反思总结·内化升华（约3分钟）

组织学生围绕“今天学习的小数除法与整数除法有什么联系和区别？”“计算小数除以整数时，最关键的地方是什么？”等问题进行回顾反思。教师总结提升，强调“转化”的数学思想，并布置分层家庭作业。

（二）第二层次：一个数除以小数（第4-5课时）

第三课时：一个数除以小数（例4、例5）

【教学实施过程】

1.温故知新·基础感知（约5分钟）

基础层活动：全体学生完成两道复习题。1.口算：3.6÷4，0.72÷9。2.填空：根据商不变的性质填一填。120÷30=（）÷3=12÷（）。【基础】

发展层指导：重点检查学生对商不变性质的表述是否准确，为新课学习扫清障碍。教师提问：“谁能用自己的话说一说什么是商不变的性质？”引导优等生用规范语言描述。

2.探究新知·核心建构（约20分钟）

情境导入：出示“奶奶编中国结，用一根7.65米长的丝绳编了0.85米一个的中国结，可以编几个？”的问题，列出算式：7.65÷0.85。

核心问题驱动：“这个除法和我们上节课学的有什么不同？”（除数是小数）“除数是小数的除法，我们能不能用上节课的方法来计算？为什么不行？”引发认知冲突，激发探究欲望。【非常重要】

分层探究任务设计：

【基础层学生】支架式探究：教师直接提供探究支架——“能否利用我们刚复习的‘商不变的性质’，把除数变成整数来计算？请你尝试把想法写下来。”允许学生结合“将7.65米和0.85米都转化为以‘厘米’为单位的整数”的生活经验来理解。在此基础上，引导学生将转化过程与竖式书写结合起来。【基础】【重要】

【发展层学生】半独立探究：教师提出探究方向——“运用商不变的性质，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法”。学生分组讨论，尝试将7.65和0.85同时扩大100倍，变成765÷85，然后用整数除法计算。教师巡视，引导学生思考：“为什么可以同时扩大100倍？这样商会变吗？转化后的除法结果是不是原题的结果？”【核心】

【挑战层学生】自主探究与发现：要求学生在不借助任何提示的情况下，独立探究计算方法。他们可能会想到多种转化方法（如转化为765÷85，或利用计数单位等）。在此基础上，引导他们思考更一般的情况：“如果除数是0.756，我们应该同时扩大多少倍？为什么？”并尝试归纳算法。【拓展】

算理明晰与竖式建模：

全班交流，重点让发展层和挑战层的学生汇报探究过程和结果。

教师结合学生的汇报，在黑板或多媒体上规范演示竖式计算过程，并着重解释“划掉除数的小数点，使它变成整数”和“根据除数扩大了多少倍，被除数也相应扩大相同的倍数，然后移动小数点”的步骤。同时，强调书写格式的规范性。【非常重要】【高频考点】

处理“被除数位数不够”的情况（例5）：出示例题“12.6÷0.28”，引发新的冲突——“除数0.28要变成整数需要扩大100倍，被除数12.6只有一位小数，怎么办？”学生讨论后明确，可以在被除数末尾用“0”补足。教师强调：补“0”的原理是依据小数的基本性质，目的是为了保证商不变，这是计算中的一个关键细节。【难点】

3.分层练习·应用提升（约12分钟）

【基础巩固区】（面向全体）

在括号里填上合适的数。

0.36÷1.2=（）÷12

2.4÷0.06=（）÷6

完成竖式计算：6.21÷0.03，0.78÷0.2。重点检查小数点移动的过程是否正确。

【核心突破区】（面向发展层）

下面的计算对吗？把不对的改正过来。

呈现典型错例：如竖式中只移动除数的小数点，被除数小数点未动；或者被除数位数不足时忘记补“0”。

组织学生分组讨论，指出错误原因，并上台展示改正过程。

【思维拓展区】（面向挑战层）

不计算，直接比较大小。

2.56÷0.8○2.56

3.14÷1.2○3.14

引导学生发现规律：当除数小于1时，商大于被除数；当除数大于1时，商小于被除数。为后续学习奠定基础。

4.反思总结·内化升华（约3分钟）

引导学生总结“一个数除以小数”的计算法则，并用简洁的语言概括（一看、二移、三算）。教师再次强调“转化”思想的重要性，并指出正确移动小数点是计算成功的关键。

（三）第三层次：商的近似数与循环小数（第6-7课时）

第五课时：商的近似数（例6）

【教学实施过程】

1.温故知新·基础感知（约5分钟）

基础层活动：复习求一个小数的近似数。如“将3.496保留两位小数、保留一位小数、保留整数分别是多少？”并回顾“四舍五入”法。【基础】

发展层指导：提问：“保留两位小数，要看哪一位？为什么？”强化学生对精确位和下一位的理解。

2.探究新知·核心建构（约20分钟）

情境导入：呈现“爸爸给王鹏买羽毛球，一筒羽毛球是12个，总价是19.4元，每个羽毛球大约多少钱？”的问题。学生列式19.4÷12。

核心问题驱动：“计算过程中你发现了什么？”（除不尽）“在现实生活中，我们一般不需要这么精确，可以用什么数来表示？”（近似数）引出求商的近似数的必要性。【重要】

分层探究任务设计：

【基础层学生】任务驱动：直接要求学生计算，并根据实际情况，思考“每个羽毛球大约多少钱？保留几位小数比较合适？为什么？”引导学生联系货币单位“元、角、分”，明确保留两位小数（精确到分）或一位小数（精确到角）的实际意义。然后尝试求商的近似数。【基础】

【发展层学生】对比探究：要求学生在计算时，分别思考“如果要保留一位小数，应该除到哪一位？”“如果要保留两位小数，应该除到哪一位？”通过对比，自主归纳出求商的近似数的方法：除到需要保留的小数位数的后一位，再用“四舍五入”法取近似值。【核心】【高频考点】

【挑战层学生】辨析探究：引导学生思考“为什么求商的近似数不需要像求积的近似数那样先算出精确值，而可以‘除到比要保留的位数多一位’就停下来？”启发学生从“无限”和“有限”的角度进行思辨，深化对除法计算过程的理解。

算法归纳与总结：

组织学生汇报交流，教师结合实例板书，明确计算步骤：一看（看需要保留几位小数），二算（计算到比保留的小数位数多一位），三取（用“四舍五入”法取近似值）。特别强调“≈”的使用。

3.分层练习·应用提升（约12分钟）

【基础巩固区】（面向全体）

计算下面各题，并按要求取近似数。

4.8÷2.3（保留一位小数）

1.55÷3.9（保留两位小数）

【核心突破区】（面向发展层）

解决问题：妈妈买5千克苹果花了32.5元，每千克苹果大约多少元？（得数保留两位小数）

要求：先列式，再计算，最后说明保留两位小数的理由。

【思维拓展区】（面向挑战层）

变式练习：一个三位小数用“四舍五入”法保留两位小数后是3.50，这个三位小数最大是多少？最小是多少？

4.反思总结·内化升华（约3分钟）

引导学生比较“求商的近似数”与“求积的近似数”在方法上的异同。教师总结：虽然都是“四舍五入”，但求商的近似数，不需要算出无限的小数，只需要算出比要求多一位即可，体现了数学的简洁美。

第六课时：循环小数（例7、例8）

【教学实施过程】

5.温故知新·基础感知（约5分钟）

基础层活动：计算三组算式，观察商的特点。

10÷3=58.6÷11=

学生计算后会发现，第一题怎么也除不完，第二题余数重复出现“5”和“6”。教师顺势引入“循环”概念。【基础】

6.探究新知·核心建构（约20分钟）

核心问题驱动：“为什么这些算式会永远‘除不完’？商的数字出现有什么规律？”【热点】

分层探究任务设计：

【基础层学生】观察与描述：引导学生观察竖式中余数和商的变化，用语言描述“余数总是几，商总是几”不断重复出现的现象。初步建立“循环”的表象。【基础】

【发展层学生】发现与归纳：要求学生在观察的基础上，思考“余数的重复出现与商的数字重复出现有什么关系？”引导学生发现，是因为余数不断重复出现，导致商的相应数位上的数字也不断重复出现，从而抽象出“一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现”的循环小数定义。【重要】

【挑战层学生】命名与创造：鼓励学生为这类小数命名，并尝试用简洁的符号表示这种“无限且重复”的小数。在学生创造的基础上，介绍规范的简便记法（如5.333…写作5.3，并在3的头上点一个点）。【拓展】

概念深化与辨析：

呈现几组小数：2.333…，0.5757…，3.1415926…，1.23434…。

分层辨析任务：

【全体学生】判断哪些是循环小数？哪些不是？并说明理由。

【发展层学生】从上面的循环小数中，找出哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数？尝试给它们分类。

【挑战层学生】思考：0.999…与1相等吗？引发深度的数学思辨，初步渗透极限思想。

教师总结，明确循环小数、有限小数、无限小数的概念及关系，并指导循环小数的读写方法。【非常重要】

7.分层练习·应用提升（约12分钟）

【基础巩固区】（面向全体）

用简便形式写出下面的循环小数。

1.555…0.105353…6.9258258…

【核心突破区】（面向发展层）

比较下面两个循环小数的大小。

0.33（3循环）○0.3（3循环）

提示：把它们多写几位再比较。

【思维拓展区】（面向挑战层）

研究规律：计算1÷7，2÷7，3÷7，4÷7，5÷7，6÷7，观察商的循环节有什么有趣的现象？（142857的循环）

8.反思总结·内化升华（约3分钟）

引导学生畅谈对循环小数的认识，感受数学中奇妙的“循环”现象。教师可以联系自然界和生活中的循环现象（如四季更替、昼夜交替），帮助学生理解循环小数的数学本质。

（四）第四层次：用计算器探索规律与解决问题（第8-9课时）

第七课时：用计算器探索规律（例9）

【教学实施过程】

1.情境导入，激发兴趣（约5分钟）

谈话引入：同学们，我们已经掌握了小数除法的计算方法，但遇到一些复杂的大数计算时，我们可以借助什么工具？（计算器）今天我们就来当一回小小数学家，用计算器去探索除法中隐藏的规律。

2.合作探究，发现规律（约20分钟）

出示探究题目：用计算器计算下面各题。

1÷11=0.0909…2÷11=0.1818…

3÷11=0.2727…4÷11=0.3636…

5÷11=()6÷11=()

分层探究任务设计：

【基础层学生】操作与记录：正确使用计算器计算出前四道题的结果，并认真观察商的特点。然后尝试推测5÷11和6÷11的结果，并用计算器验证自己的猜想。【基础】

【发展层学生】观察与归纳：在计算前四道题的基础上，思考“商的循环节与被除数有什么关系？”引导学生发现循环节是9的倍数与被除数相关的规律（实际上是循环节是被除数的9倍，如2×9=18）。并能根据规律直接写出后面几题的商。【重要】

【挑战层学生】猜想与验证：在发现规律的基础上，鼓励学生大胆猜想：7÷11，8÷11，9÷11的商可能是多少？规律是否依然成立？如果不成立，为什么？通过进一步验证，完善对规律的认识。并尝试自己设定一组有规律的除法算式（如1÷7，2÷7……），用计算器探索其中的规律。

3.成果展示，交流提升（约8分钟）

组织不同层次的学生上台展示自己的发现。基础层学生展示计算和验证结果；发展层学生阐述发现的规律；挑战层学生分享自己设计的探究活动及其中的新发现。在思维的碰撞中，让学生体验数学探究的乐趣和成就感。

4.反思总结，拓展延伸（约2分钟）

教师总结：计算器不仅是帮助我们进行复杂计算的工具，更是我们探索数学规律、进行数学实验的好帮手。希望同学们在以后的学习中，能善于利用工具，更要善于观察、思考，发现更多数学的奥秘。

第八课时：解决问题（进一法、去尾法）【非常重要】【热点】

【教学实施过程】

1.情境引入，对比冲突（约8分钟）

出示两个情境问题：

情境A（进一法）：小强的妈妈要将2.5千克香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶子最多可装0.4千克。需要准备几个瓶子？

情境B（去尾法）：王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.5米长的丝带，这些红丝带可以包装多少个礼盒？

分层探究任务设计：

【全体学生】独立列式计算。学生计算后会发现，两个算式的结果都是6.25。

核心问题驱动：“都是6.25，那第一个问题需要几个瓶子？第二个问题可以包装多少个礼盒？是6个还是7个？为什么？”引发激烈讨论。【核心】

2.辨析研讨，建构新知（约15分钟）

组织学生分组讨论，结合生活实际阐述自己的观点。

【基础层学生】借助情境理解：让学生思考，香油不能倒掉一半，瓶子必须是完整的，所以6个瓶子只能装2.4千克，剩下的0.1千克还需要一个瓶子，所以是7个。而丝带包装礼盒，0.25米不够包装一个礼盒，只能舍去，所以是6个。【基础】

【发展层学生】归纳方法：引导学生从具体情境中抽象出一般方法。在解决实际问题时，我们不能简单机械地“四舍五入”，而要根据具体情况，有时不管小数部分是多少都要向前一位进一（进一法），有时不管小数部分是多少都要舍去（去尾法）。【重要】

【挑战层学生】对比与总结：引导学生对比“四舍五入法”、“进一法”、“去尾法”的异同和适用情境。尝试举例说明生活中还有哪些情况需要用“进一法”或“去尾法”。

教师总结：数学来源于生活，又服务于生活