安徽省十教育2027届高三第一次教学质量测评数学试卷含答案

答案第=page1010页，共=sectionpages1010页省十教育2027届高三第一次教学质量测评数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据2，3，6，4，7的中位数是A．3 B．4 C．5 D．62．已知集合，，则A． B． C． D．3．已知向量，，则与夹角的余弦值为A． B． C． D．4．已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比A． B． C． D．5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（参考数据：，）A． B． C． D．6．已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为A． B． C． D．7．在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，且，则下列等式成立的是A． B． C． D．8．甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，复数满足，则A．B．C．复数的虚部为1D．复数在复平面内的对应点在第一或第三象限10．已知函数，则A．函数的值域为B．函数的单调递增区间为，C．曲线关于直线对称，其中D．函数有两个零点11．已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则A．B．C．当时，D．存在一条直线截三个圆所得的弦长相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________．13．若函数，且曲线在点处的切线方程为，其中，，则_________；在区间上的最大值与最小值之和为_________．14．已知在抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，则的最大值是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表：良好一般合计服用85服用20合计（1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？（2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，．附：，其中．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82816．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．18．（本小题满分17分）已知椭圆，直线与交于，两点，斜率为的直线过原点，与的交点为，．（1）求的离心率；（2）若，（i）求证：直线平分线段；（ii）已知四边形的面积为，求直线的方程．19．（本小题满分17分）已知函数的导函数为．（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若是在区间上的一个零点，设，函数，求证；（3）设，是函数的两个极值点，且．（i）求的取值范围；（ii）求的取值范围．2027届高三第一次教学质量测评•数学参考答案、提示及评分细则1．B2．A3．D4．C5．D6．B7．A8．D9．BCD10．AC11．ACD12．213．1（2分）（3分）14．15．解：（1）良好一般合计服用8515100服用8020100合计16535200 3分零假设为：治疗效果良好与服用，药物无关联，根据上表可知，，所以根据小概率值的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联． 7分（2）因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以， 9分在200人中服用药物的人数为100，所以， 11分因为在200人中有100人服用药物，且治疗效果良好的有85人，所以．（或，）． 13分16．（1）证明：因为平面中，，，所以， 1分又，所以四边形是以与为底边的梯形，所以与相交， 2分因为，，，平面，所以平面． 3分（2）证明：取的中点，连接，．因为是的中点，所以且． 4分因为且，所以且． 5分所以四边形是平行四边形，所以． 6分又因为平面，平面，所以平面． 7分（3）解：由平面，，知，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系．设，则，，，，，，所以，，，． 9分设平面的一个法向量，则，即，取，得， 11分设平面的一个法向量，则，即，取，得， 13分设平面与平面的夹角为，则． 15分17．解：（1）由题意知，当时，，当时，，满足上式，所以， 2分因为，，成等比数列，所以，所以，所以． 4分因为数列满足，，所以，， 5分当时，，所以，所以时，， 7分适合上式，所以的通项公式为． 8分（2）由（1）知， 9分令，，则，所以， 12分所以， 13分又， 14分所以． 15分18．（1）解：设的长轴长为，短轴长为，焦距为，由知，，因为，所以，， 2分所以的离心率． 3分（2）（i）证明：设，，的中点为，由与联立，整理得， 4分则此方程两根为，，且，所以，， 6分所以直线的斜率，因为，所以，又直线过原点，所以与直线是同一条直线，所以直线平分线段． 8分（ii）解：由（i）知，，所以，所以． 10分的方程为，由，得的方程为，由与联立，解得，两点坐标为，． 12分设点，到直线的距离为，，记，，则，的坐标为，，， 14分所以四边形的面积， 15分解得，又，所以，直线的方程为或． 17分19．（1）解：， 1分因为在上单调递增，所以在上恒成立，所以，， 2分因为，所以，当且仅当时，取等号，所以，，即的取值范围是． 3分（2）证明：由，得，． 4分令函数，记，则，所以在上单调递增，则．故当时，，单调递减；当时，，单调递增． 5分因此，当时，，可得，即． 6分令函数，则．因为在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，