福建福州第十八中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建福州第十八中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（）A.8m/s B.7m/s C.6m/s D.5m/s【答案】B2.若，则（）A.2或6 B.2或3 C.3 D.6【答案】A3.一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（）A. B. C. D.【答案】B4.在的展开式中各二项式系数的和为32，则的系数为（）A.10 B.40 C.80 D.120【答案】C5.城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（）种不同的安排方式A.9 B.12 C.14 D.16【答案】D6.两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（）A. B. C. D.【答案】C7.定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（）A. B. C. D.【答案】C8.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（）A.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B.第2023行中第1012个数和第1013个数相等C.记“杨辉三角”第行的第个数为，则D.第34行中第15个数与第16个数之比为【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量的分布列为012则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD10.设函数，且记，则（）A.数列的首项为1 B.数列的前10项和为512C.数列的前10项和为 D.数列的前10项和为0【答案】BD11.已知，则下列说法正确的是（）A.在定义域内单调递增B.的对称中心为C.已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为D.若，则的最小值为【答案】ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量服从正态分布，，则______.【答案】##13.四个人排成一排，当相邻时，必须在的右边，那么不同的排法共有________种．【答案】14.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为________.【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值．解：（1）定义域为，，令，得，列表如下：20↗↘由上表知，在上，单调递增；在上，单调递减；∴的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），，∵，∴，由（1）知，在上递增，在上递减，∴当时，取最大值；∴当时，取最小值.16.已知．（1）求各项的系数和；（2）求展开式中的常数项；（3）求二项式系数最大的项．解：（1）令，各项的系数和：（2）设展开式中常数项为第项，即，令，得.（3）由题可得，展开式中最大的二项式系数为，∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即，∴二项式系数最大的项为．17.（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球．①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率．②求第二次才取到红球的概率．（2）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为，第2台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个，求这个零件是次品的概率．解：（1）①根据题意，若第一次取出红球，此时袋中剩余个红球，5个白球.则在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率.。②根据题意，用表示第次取到红球，则第二次才取到红球即为第一次取到白球，第二次取到红球，其概率为.（2）根据题意，记事件为“车床加工的零件为次品”，事件为“该零件由第台车床加工”，则.已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为,则.故.则这个零件是次品的概率为.18.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，若不等式恒成立，求a的取值范围；（3）若有两个零点，且，证明：．（1）解：由题设，则，且，，所以曲线在处的切线方程为，即；（2）解：由题设，即且，令且，则，令，则，故在上单调递增，所以，当，时，，则在上单调递增，，符合；当，时，，时，所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合；综上，；（3）证明：由，则，，且，所以，故，要证，需证，即，需证，令，即，即证，最终只需证明，令且，则，所以在上单调递增，所以，即，所以得证.19.东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立．（1）从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；（2）东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）．①求，；②求．解；②分析可得，利用构造法和累加法，结合等比数列求.解：（1）由题意可知：，则，，，，则X的分布列为X0123P所以X的均值，且方差.（2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是，若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他