黑龙江省望奎县第二中学高考仿真卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分,分值高者为优）,根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述不正确的是（）A.甲的数据分析素养优于乙 B.乙的数据分析素养优于数学建模素养C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数学运算最强2.若
满足约束条件
则
的最大值为()A.10 B.8 C.5 D.33．已知等差数列{an},则"a2＞a1"是"数列{an}为单调递增数列"的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“-”当作数字“1”,把阴爻“--”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推,则六十四卦中的"屯"卦,符号"
"表示的十进制数是()A.18 B.17 C.16 D.155．已知双曲线
的实轴长为
,离心率为
,
、
分别为双曲线
的左、右焦点,点
在双曲线
上运动,若
为锐角三角形,则
的取值范围是()A.
B.
C.
D.
6．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出,要优先落实教育投入．某研究机构统计了
年至
年国家财政性教育经费投入情况及其在
中的占比数据,并将其绘制成下表,由下表可知下列叙述错误的是（）A.随着文化教育重视程度的不断提高,国在财政性教育经费的支出持续增长B.
年以来,国家财政性教育经费的支出占
比例持续
年保持在
以上C.从
年至
年,中国
的总值最少增加
万亿D.从
年到
年,国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是
年7．已知直线
:
过双曲线
的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为（）A.
B.
C.
D.
8．若复数
满足
(
为虚数单位),则其共轭复数
的虚部为()A.
B.
C.
D.
9．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.610．若P是
的充分不必要条件,则
p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11．已知函数
若函数
在
上零点最多,则实数
的取值范围是()A.
B.
C.
D.
12．一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上,则球的表面积为()A.
B.
C.
D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13．已知F为双曲线

的右焦点,过F作C的渐近线的垂线FD,D为垂足,且
(O为坐标原点）,则C的离心率为________.14.
的展开式中
的系数为________________.15.设函数
,若存在实数m,使得关于x的方程
有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是______.16．若双曲线
的离心率为
,则双曲线
的渐近线方程为______．三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,已知在三棱台
中,
,
,
.(1)求证:
;(2)过
的平面
分别交
,
于点
,
,且分割三棱台
所得两部分几何体的体积比为
,几何体
为棱柱,求
的长.提示:台体的体积公式
（
,
分别为棱台的上、下底面面积,
为棱台的高).18.(12分)设函数
.(1)当
时,求不等式
的解集;(2)若对任意
都有
,求实数
的取值范围.19.(12分）已知函数
,
（1)若
,求
的单调区间和极值;(2)设
,且
有两个极值点
,

,若
,求
的最小值.20．(12分)已知椭圆
的左焦点坐标为
,
,
分别是椭圆的左,右顶点,
是椭圆上异于
,
的一点,且
,
所在直线斜率之积为
.(1)求椭圆
的方程;（2）过点
作两条直线,分别交椭圆
于
,
两点（异于
点）.当直线
,
的斜率之和为定值
时,直线
是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理.21.（12分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账,则2019年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004.(1)若小张采取等额本金的还款方式,现已得知第一个还款月应还4900元,最后一个还款月应还2510元,试计算小张该笔贷款的总利息;（2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素);(3）对比两种还款方式,从经济利益的角度来考虑,小张应选择哪种还款方式.参考数据:
.22．(10分)在
中,角
的对边分别为
.已知
,且
.(1）求
的值;（2）若
的面积是
,求
的周长.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A,甲的数据分析素养为100分,乙的数据分析素养为80分,故甲的数据分析素养优于乙,故A正确;对于B,乙的数据分析素养为80分,数学建模素养为60分,故乙的数据分析素养优于数学建模素养,故B正确;对于C,甲的六大素养整体水平平均得分为
,乙的六大素养整体水平均得分为
,故C正确;对于D,甲的六大素养中数学运算为80分,不是最强的,故D错误;故选:D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算,考查了学生的数据处理能力,属于基础题.2.D【解析】

画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.故选:D.【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.3.C【解析】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解:在等差数列{an}中,若a2＞a1,则d＞0,即数列{an}为单调递增数列,若数列{an}为单调递增数列,则a2＞a1,成立,即"a2＞a1"是"数列{an}为单调递增数列"充分必要条件,故选C.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.4.B【解析】由题意可知“屯”卦符号“
”表示二进制数字010001,将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推,可知六十四卦中的"屯"卦符号"
"表示二进制数字010001,转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1.故选：B.【点睛】本题主要考查数制是转化,新定义知识的应用等,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.A【解析】由已知先确定出双曲线方程为
,再分别找到
为直角三角形的两种情况,最后再结合
即可解决.【详解】由已知可得
,
,所以
,从而双曲线方程为
,不妨设点
在双曲线
右支上运动,则
,当
时,此时


,所以
,


,所以

;当
轴时,
,所以
,又
为锐角三角形,所以

.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用,本题的关键是找到
为锐角三角形的临界情况,即
为直角三角形,是一道中档题.6.C【解析】观察图表,判断四个选项是否正确．【详解】由表易知
、
、
项均正确,
年中国
为
万亿元,
年中国
为
万亿元,则从
年至
年,中国
的总值大约增加
万亿,故C项错误.【点睛】本题考查统计图表,正确认识图表是解题基础.7.A【解析】根据直线
：
过双曲线
的一个焦点,得
,又和其中一条渐近线平行,得到
,再求双曲线方程.【详解】因为直线
:
过双曲线
的一个焦点,所以
,所以
,又和其中一条渐近线平行,所以
,所以
,
,所以双曲线方程为.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.8.D【解析】由已知等式求出z,再由共轭复数的概念求得
,即可得
虚部.【详解】由zi＝1﹣i,∴z＝
,所以共轭复数
=-1+
,虚部为1故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念,属于基础题.9.C【解析】模拟程序的运行即可求出答案.【详解】解:模拟程序的运行,可得:p＝1,S＝1,输出S的值为1,满足条件p≤7,执行循环体,p＝3,S＝7,输出S的值为7,满足条件p≤7,执行循环体,p＝5,S＝31,输出S的值为31,满足条件p≤7,执行循环体,p＝7,S＝127,输出S的值为127,满足条件p≤7,执行循环体,p＝9,S＝511,输出S的值为511,此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图,属于基础题.10.B【解析】试题分析：通过逆否命题的同真同假,结合充要条件的判断方法判定即可.由p是
的充分不必要条件知“若p则
"为真,“若
则p"为假,根据互为逆否命题的等价性知,“若q则
"为真,“若
则q"为假,故选B．考点:逻辑命题11.D【解析】将函数的零点个数问题转化为函数
与直线
的交点的个数问题,画出函数
的图象,易知直线
过定点
,故与
在
时的图象必有两个交点,故只需与
在
时的图象有两个交点,再与切线问题相结合,即可求解.【详解】由图知
与
有
个公共点即可,即
,当设切点
,则
,
.故选:D.【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题,曲线的切线问题,注意运用转化思想和数形结合思想,属于较难的压轴题.12.A【解析】将正四面体补成正方体,通过正方体的对角线与球的半径关系,求解即可．【详解】解:如图,将正四面体补形成一个正方体,正四面体的外接球与正方体的外接球相同,∵四面体所有棱长都是4,∴正方体的棱长为
,设球的半径为
,则
,解得
,所以
,故选：A.【点睛】本题主要考查多面体外接球问题,解决本题的关键在于,巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线,从而将问题巧妙转化,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】求出焦点到渐近线的距离就可得到
的等式,从而可求得离心率．【详解】由题意
,一条渐近线方程为
,即
,∴
,由
得
,∴
,
,∴
．故答案为:2.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是求出焦点到渐近线的距离,从而得出一个关于
的等式.14.
【解析】在二项展开式的通项中令
的指数为
,求出参数值,然后代入通项可得出结果.【详解】
的展开式的通项为
,令
,因此,
的展开式中
的系数为
.故答案为:
.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,涉及二项展开式通项的应用,考查计算能力,属于基础题.15.
【解析】先确定关于x的方程
当a为何值时有4个不相等的实根,再将这四个根的平方和表示出来,利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.【详解】由题意,当
时,
,此时
,此时函数
在
单调递减,在
单调递增,方程
最多2个不相等的实根,舍;当
时,函数
图象如下所示：从左到右方程
,有4个不相等的实根,依次为
,
,
,
,即
,由图可知
,故
,且
,
,从而
,令
,显然
,
,要使该式在
时有最小值,则对称轴
,解得
.综上所述,实数a的取值范围是
.【点睛】本题考查了函数和方程的知识,但需要一定的逻辑思维能力,属于较难题.16.
【解析】

利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的离心率为,所以,即,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2)2【解析】（1）在
中,利用勾股定理,证得
,又由题设条件,得到
,利用线面垂直的判定定理,证得
平面
,进而得到
;（2）设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为
,根据棱台的体积公式,列出方程求得
,得到
,即可求解.【详解】(1)由题意,在
中,
,
,所以
,可得
,因为
,可得
.又由
,
,
平面
,所以
平面
,因为
平面
,所以
.(2)因为
,可得
,令
,
,设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为
,则
,整理得
,即
,解得
,即
,又由
,所以
.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用,以及几何体的体积公式的应用,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理,以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.18.(1)
(2)
【解析】

利用零点分区间法,去掉绝对值符号分组讨论求并集,

对
恒成立,则
,由三角不等式
,得
求解【详解】解:
当
时,不等式
即为
,可得
或
或
,解得
或
或
,则原不等式的解集为
若对任意
、都有
,即为
,由
,当
取得等号,则
,由
,可得
,则的取值范围是【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题.(1)含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(2)利用三角不等式
把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.19.(1)
增区间为
,减区间为
;极小值
,无极大值;(2)
【解析】（1）求出f（x）的导数,解不等式,即可得到函数的单调区间,进而得到函数的极值;（2）由题意可得
,
,求出
的表达式,
,求出h（t）的最小值即可．【详解】(1)将
代入
中,得到
,求导,得到
,结合
,当
得到:
增区间为
,当
,得
减区间为
且
在
时有极小值
,无极大值.(2）将
解析式代入,得
,求导得到
,令,得到,
,
,

,
,
,
,
,因为
,所以设
,令
,则所以在单调递减,又因为所以,所以或又因为
,所以
所以
,所以的最小值为.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及函数的极值的意义,考查转化思想与减元意识,是一道综合题.20.(1)
(2)直线
过定点
【解析】（1）

,再由
,解方程组即可;（2）设
,
,由
,得
,由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系,代入计算即可.【详解】(1)由题意知:
,又
,且
解得
,
,∴椭圆方程为
,(2)当直线
的斜率存在时,设其方程为
,设
,
,由
,得
.则
,
(*)由
,得
,整理可得(*)代入得
,整理可得
,又
,∴
,即
,∴直线过点当直线
的斜率不存在时,设直线
的方程为
,
,
,其中
,∴
,由
,得
,所以∴当直线
的斜率不存在时,直线
也过定点
综上所述,直线
过定点
.【点睛】本题考查求椭圆的