-学年青岛版九年级数学下册第5章对函数的再探索定向测试试卷含答案详解

九年级数学下册第5章对函数的再探索定向测试考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1.本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3.答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分）1、如图,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB＝1.6m,涵洞顶点O与水面的距离CO是2m,则当水位上升1.5m时,水面的宽度为（

）A.0.4m B.0.6m C.0.8m D.1m2.关于反比例函数的图象和性质,下列说法不正确的是(

)A.函数图象经过点 B.函数图象在第二、四象限C.当时,随的增大而增大 D.当时,随的增大而减小3、如图,点P在双曲线第一象限的图象上,PA⊥x轴于点A,则的面积为（

）A.2 B.3 C.4 D.64、如图是二次函数图象的一部分,抛物线与轴交点位于与之间,给出四个结论：①,②,③,④,⑤当时,,当时,,则,⑥关于一元二次方程,一定有两个不等的实根,其中正确的有（

）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个5.在同一平面直角坐标系中,若一次函数和反比例函数的图像均不经过第二象限,则二次函数的图像一定不经过(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6、点P(2,﹣2)在反比例函数的图象上,则下列各点在该函数图象上的是(

)A．（﹣4,1) B．（1,4) C．（﹣2,﹣2) D．（4,)7、二次函数y=x2+(a+2)x+a的图象与x轴交点的情况是(

)A.没有公共点 B.有一个公共点C.有两个公共点 D.与a的值有关8、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A,交y轴于点B,线段BC⊥y轴交此抛物线于点D,且CD＝BC,则△ABC的面积为（）A.24 B.12 C.6 D.39、如果反比例函数y＝的图象经过点(3,﹣4),那么k是()A.7 B.10 C.12 D.﹣1210、抛物线的顶点坐标为().A．（-1,-4) B．（-1,4) C．（1,-4) D．（1,4)第Ⅱ卷(非选择题70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、抛物线y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数,a＜0）的顶点坐标为(1,m）,其中m＞0．下列四个结论：①ab＜0;②c＞0;③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝m+1无实数解;④点P1(n,y1),P2(3﹣2n,y2)在抛物线上,若n＜1,则y1＜y2．其中正确的结论是_____(填写序号).2、若函数的图象与坐标轴有三个交点,则c的取值范围是______________.3、如图,AB=4,点M为线段AB上的一个动点,在AB同侧分别以AM和BM为边作等边△AMC和等边△BMD,则线段CD的最小值为_____．4.如图,已知抛物线与x轴交于,两点,且,,则下列结论:①;②若点,是该抛物线上的点,则;③(t为任意数);④.其中正确的有______.5.对于实数a,b,定义符号min{a,b},其意义为:当a≥b时,min{a,b}＝b;当a＜b时,min{a,b}＝a.例如:min{2,﹣1}＝﹣1,若关于x的函数y＝min{﹣x2+x+1,﹣x﹣2},则该函数的最大值为_____.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点,轴,已知B点的坐标为,求点D的坐标．2.如图1,在平面直角坐标系中,一次函数yx﹣2的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数ybx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.(1)求二次函数的表达式.(2)如图2,连接AC,点M为线段BC上的一点,设点M的横坐标为t,过点M作y轴的平行线,过点C作x轴的平行线,两者交于点N,将△MCN沿MC翻折得到△MCN'.①当点N'落在线段AB上,求此时t的值;②求△MCN′与△ACB重叠的面积S与t的函数关系式.(3)如图3,点D在直线BC下方的二次函数图象上,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.3、已知,矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示,点C在x轴的正半轴上,点A在y轴的正半轴上,已知点B的坐标为（4,2）,反比例函数的图象经过AB的中点D,且与BC交于点E,设直线DE的解析式为y＝mx+n,连接OD,OE．(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标;(2)直接写出不等式＞mx+n的解集;(3)点M为y轴正半轴上一点,若△MBO的面积等于△ODE的面积,求点M的坐标;(4)点P为x轴上一点,点Q为反比例函数图象上一点,是否存在点P、Q使得以点P,Q,D,E为顶点的四边形为平行四边形？若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.4、如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A和点C（0,3）．(1)求点B坐标及二次函数的表达式;(2)如图1,平移线段AC,点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上,点C的对应点E落在直线AB上,直接写出四边形ACED的形状,并求出此时点D的坐标;(3)如图2,在（2）的条件下,连接CD,交x轴于点M,点P为直线CD上方抛物线上一个动点,过点P作PF⊥x轴,交CD于点F,连接PC,是否存在点P,使得以P、C、F为顶点的三角形与△COM相似？若存在,求出线段PF的长度；若不存在,请说明理由.5、抛物线的对称轴为直线,该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B,与y轴的交点为C,其中．(1)求出抛物线的解析式;(2)若抛物线上存在一点P,使得的面积是的面积的2倍,求点P的坐标;(3)点M是线段上一点,过点M作x轴的垂线交抛物线于点D,求线段长度的最大值．-参考答案-一、单选题1.C【解析】【分析】根据题意可建立平面直角坐标系,然后设函数关系式为,由题意可知,代入求解函数解析式,进而问题可求解.【详解】解:建立如图所示的坐标系:设函数关系式为,由题意得:,∴,解得:,∴,当y=-0.5时,则有,解得：,∴水面的宽度为0.8m;故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的应用,熟练掌握二次函数的应用是解题的关键.2.D【解析】【分析】依据反比例函数图象的性质作答.【详解】解:A.当x＝﹣3时,代入反比例函数y＝得,y＝2,故选项正确,不符合题意;B.k＝﹣6＜0,图象位于第二、四象限,故选项正确,不符合题意;C.k＝﹣6＜0,在第二、四象限内y随x增大而增大,所以当x＞0时,y随x的增大而增大,故选项正确,不符合题意；D．k＝﹣6＜0,在第二、四象限内y随x增大而增大,所以当x＞0时,y随x的增大而增大,故选项错误,符合题意;故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质:①当k＞0时,图象分别位于第一、三象限;当k＜0时,图象分别位于第二、四象限.②当k＞0时,在同一个象限内,y随x的增大而减小;当k＜0时,在同一个象限,y随x的增大而增大.3.B【解析】【分析】设P(x,y),根据题意xy=6,PA=y,OA=x,利用三角形面积公式,列式代入计算即可.【详解】解:设P(x,y),根据题意xy=6,PA=y,OA=x,∵PA⊥x轴于点A,∴==3,故选：B.【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义,正确进行推导计算是解题的关键.4.A【解析】【分析】由抛物线开口方向,对称轴位置,抛物线与y轴交点位置可判断①,由抛物线对称轴和抛物线经过(﹣1,0)可得抛物线经过(3,0),从而可得b,c与a的关系,进而判断②,由x＝﹣2时y＜0可判断③,由x＝1时y取最大值可判断④,由抛物线开口向下,对称轴为直线x＝1可判断⑤,将ax2+bx+c﹣5＝0化为只含系数a的方程,根据根与判别式的关系可判断⑥.【详解】解:∵抛物线开口向下,∴a＜0,∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1,∴b＝﹣2a＞0,∵抛物线与y轴交点在x轴上方,∴c＞0,∴abc＜0,①正确.∵抛物线经过点(﹣1,0),抛物线对称轴为直线x＝1,∴抛物线经过(3,0）,∴a﹣b+c＝0,9a+3b+c＝0,∴10a+2b+2c＝0,∵b＝﹣2a,∴a＝﹣,∴﹣5b+2b+2c＝﹣3b+2c＝0,∴b＝c,∴c＝b∵抛物线与y轴交点位于(0,2)与(0,3)之间,∴2＜c＜3,∴2＜b＜3,∴＜b＜2,②错误.∵x＝﹣2时,y＜0,∴4a﹣2b+c＜0,③正确.∵x＝1时,y取最大值,∴a+b+c≥am2+bm+c,∴a+b≥am2+bm,④错误.∵抛物线开口向下,2.5﹣1＜1﹣(﹣2.5)∴y1＜y2,⑤错误.∵b＝c＝﹣2a,∴c＝﹣3a,a＝﹣c,∵2＜c＜3∴﹣1＜﹣c＜﹣∴﹣1＜a＜﹣,由ax2+bx+c﹣5＝0可得ax2﹣2ax﹣3a﹣5＝0,∵﹣4＜4a＜﹣,1＜4a+5＜∴Δ＝(﹣2a)2﹣4a(﹣3a﹣5)＝16a2+20a＝4a(4a+5)＜0,∴方程ax2+bx+c﹣5＝0无实数根,⑥错误．故①③正确故选:A.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系.5.C【解析】【分析】根据一次函数的性质及反比例函数的性质得到,再根据二次函数的图象与系数符号的关系得到答案.【详解】解:∵一次函数和反比例函数的图像均不经过第二象限,∴,∴二次函数的图象经过第一、二象限或第一、二、四象限,故选：C.【点睛】此题考查了一次函数的性质,反比例函数的性质及二次函数的性质,熟记各函数的性质是解题的关键.6、A【解析】【分析】根据点(2,-2)在反比例函数的图象上,可以求得的值,从而可以判断各个选项中的点是否在该函数的图象上,本题得以解决.【详解】解:∵点P(2,﹣2)在反比例函数的图象上,∴A.(﹣4,1),,故该选项正确,符合题意,

B.(1,4),,故该选项不符合题意,C.(﹣2,﹣2）,,故该选项不符合题意,

D.（4,）,,故该选项不符合题意,故选A【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是求出反比例系数,解决该题型题目时,结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出值是关键.7、C【解析】【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系,只要计算出一元二次方程的根的判别式,根据判别式的符号即可判断.【详解】∵∴二次函数y=x2+(a+2)x+a的图象与x轴有两个不同的公共点故选:C【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,要从数与形两个方面来理解这种关系.一般地:当时,二次函数与x轴有两个不同的交点;当时,二次函数与x轴有一个交点;当时,二次函数与x轴没有交点;掌握这个知识是关键.8、B【解析】【分析】由可得点坐标与对称轴所在直线解析式,从而求出点坐标,再通过求出长度,通过三角形面积底高求解.【详解】解:抛物线对称轴为直线,点为,点坐标为,.,,..故选：B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,坐标与图形,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.9、D【解析】【分析】直接把点(3,﹣4)代入反比例函数y=即可得出k的值.【详解】解:∵反比例函数y＝的图象经过点(3,﹣4),∴-4=,解得k=-12.故选D.【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.10、A【解析】【分析】根据抛物线顶点式的性质进行求解即可得答案.【详解】解:∵抛物线解析式为,∴抛物线顶点坐标为为故选A.【点睛】本题考查了已知二次函数顶点式求顶点坐标,熟知二次函数的顶点坐标为(-k,h)是解题的关键.二、填空题1.①③##③①【解析】【分析】①根据顶点的横坐标推出b＝﹣2a,则ab＝﹣2a2＜0即可判断;②当抛物线与x轴的交点都在x轴正半轴,则抛物线交y轴负半轴时,此时c＜0先即可判断②;③根据二次函数的性质,抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m+1无交点,即可判断③;③根据二次函数图象上点的坐标特征即可判断④.【详解】解:①∵抛物线y＝ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,m),∴﹣＝1,∴b＝﹣2a,∴ab＝﹣2a2＜0,故①正确;②由题意可知抛物线开口向下,对称轴为直线x＝1,顶点坐标为(1,m）,其中m＞0∴抛物线与x轴有两个交点,当抛物线与x轴的交点在x轴正半轴,则抛物线交y轴负半轴时,故②错误;③∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向下,函数有最大值m,∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m+1无交点,∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝m+1无实数解,故③正确;④抛物线y＝ax2+bx+c开口向下,点P1(n,y1）,P2(3﹣2n,y2）在抛物线上,若n＜1,则1﹣n＜3﹣2n﹣1,∴y1＞y2.故④错误;故答案为①③.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系,解决本题的关键是二次函数的性质和一元二次方程与二次函数的关系.2.且【解析】【分析】由抛物线y=x2-3x+c的图象与坐标轴有三个交点,可知抛物线不过原点且与x轴有两个交点,继而根据根的判别式即可求解.【详解】解:∵抛物线y=x2-3x+c的图象与坐标轴有三个交点,∴抛物线不过原点且与x轴有两个交点,∴Δ=9-4×1×c＞0,且c≠0,∴且c≠0,故答案为:且c≠0【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点,会利用一元二次方程根的判别式来判断抛物线与坐标轴交点的个数是解题的关键.3.4【解析】【分析】设AC=x,BC=4-x,根据等边三角形性质得到CM,DM,过点D作DE⊥CM于E,则∠DEM=90°,由直角三角形30度角的性质及勾股定理求出CE,DE,根据勾股定理然后用配方法即可求解.【详解】解:设AM=x,BM=4-x,∵△AMC,△BDM均为等边三角形,∴CM=AM=x,DM=BM=4-x,∵∠AMC=60°,∠BMD=60°,∴∠DMC=60°,过点D作DE⊥CM于E,则∠DEM=90°,∴∠MDE=30°,∴,∴,∵CE=CM-ME=,∴,∵3＞0,∴当x=2时,CD有最小值,最小值为4,故答案为：4.【点睛】本题考查了二次函数最值及等边三角形的性质,勾股定理,直角三角形30度角的性质,难度不大,关键是掌握用配方法求二次函数最值.4.①②③④【解析】【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可得,故①正确,先求出对称轴,然后根据抛物线对称轴右侧的递减性比较两个数的大小,故②正确,将转化为的形式,而当,y取最大值,即(t为任意数),故③正确,先求出,根据抛物线对称轴右侧的递减性,即可得当时,,故④正确.【详解】解:抛物线与x轴交于,两点方程有两个不相等的解即,故①正确.抛物线的对称轴为当时,函数值为当,y随x的增大而减小,且故②正确.由可得当,y取最大值(t为任意数)故③正确.,当时,故④正确.故答案为：①②③④.【点睛】此题考查了抛物线的问题,解题的关键是掌握抛物线的解析式和性质.5.-1【解析】【分析】根据题意,利用分类讨论的方法和一次函数的性质、二次函数的性质,可以求得该函数的最大值,本题得以解决.【详解】解:当-x2+x+1≥-x-2时,可得-1≤x≤3,则y=min{-x2+x+1,-x-2}=-x-2,∴当x=-1时,y=-x-2取得最大值,此时y=-1;当-x2+x+1≤-x-2时,可得x≤-1或x≥3,则y=min{-x2+x+1,-x-2}=-x2+x+1=-(x-)2+,∴当x=-1时,y=-x2+x+1取得最大值,此时y=-1;由上可得,该函数的最大值为-1,故答案为：-1.【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用分类讨论的数学思想解答.三、解答题1.D的坐标为(8,6)【解析】【分析】根据B点的坐标,利用反比例函数解析式,求出A.C两个顶点坐标即可.【详解】解:∵双曲线过矩形ABCD的A.C两个顶点,轴,当时,,∴A(2,6).∵轴,当时,,,∴C(8,1.5).∴点D的坐标为（8,6）．【点睛】本题考查了反比例函数的性质,解题关键是利用反比例函数解析式求出点的坐标.2.(1)(2)①;②(3)存在,点的横坐标为2或【解析】【分析】(1)将、两点坐标代入抛物线解析式求得结果;(2)①可证得是等腰三角形,在中,根据勾股定理求得值;②分为和两种情形,当时,的值就是面积,当时,根据①求得,故可表示出,根据①可求得,进一步求得的函数表达式;（3）分为,此时作,作交于交于,可证得,从而确定点坐标,进而求出直线的解析式,进而求得点的横坐标,当时,作交于,作于,可根据（2）,求得,进而求得,进而求得,从而确定点坐标,从而得出的解析式,进一步求得点横坐标．(1)解:解:由题意得:,,,,抛物线的解析式为;(2)解:①如图1,由题意得:,,,,,,,在中,由勾股定理得,,,;②当时,,,,如图2,当时,由①知:,,,,在中,,,,,综上所述:；(3)解:如图3,当时,作,作交于交于,,,,,,,,,直线的解析式是:,由得,(舍去),,点的横坐标是2,如图4,当时,作交于,作于,,,,由(2)知:,,,,,,,,,,,,的解析式是:,由得,(舍去),,点的横坐标为,综上所述,点的横坐标为2或．【点睛】本题考查了求二次函数解析式,一次函数解析式,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是作辅助线,转化条件.3、(1),点E的坐标（4,1）(2)0＜x＜2或x＞4(3)M(0,)(4)存在,点Q的坐标（﹣4,﹣1）或（,3）【解析】【分析】(1)由矩形的性质可得AB＝4,BC＝2,然后得AB的中点的坐标,再代入反比例函数解析式,可求出k,然后再求E的坐标;(2)由图象可知0＜x＜2和x＞4时,反比例函数的图象在y＝mx+n上方,由此可得答案;（3）根据点的坐标的特点得△ODE的面积,设M（0,m）,由△MBO的面积＝|m|×4＝3,可得答案;（4）令x＝4,则y＝1,得E（4,1）,D（2,2）以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形,分以下两种情况：当PE是平行四边形的边时,当DE是平行四边形的对角线时,可得问题的答案．(1)(1)∵四边形OABC为矩形,点B(4,2),∴AB＝4,BC＝2,∵AB的中点D,∴D(2,2),∵反比例函数y＝的图象经过AB的中点D,∴2＝,∴k＝4,∴反比例函数的解析式为:y＝;当x＝4时,y＝＝1,∴点E的坐标（4,1）；(2)∵y＝与y＝mx+n交于点D.E两点,且0＜x＜2和x＞4时,反比例函数y＝的图象在y＝mx+n上方,即解集为0＜x＜2或x＞4;(3)存在,∵D(2,2),E(4,1),∴△ODE的面积为2×4﹣×2×2﹣×2×1﹣×4×1＝3,设M(0,m),由△MBO的面积＝|m|×4＝3,∴m＝±,∴M（0,）,（0,﹣）（舍去）；(4)存在,令x＝4,则y＝1,∴E(4,1),∵D(2,2）以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形,当PE是平行四边形的边时,则PQ∥DE,且PQ＝DE,∴P的纵坐标为0,∴Q的纵坐标为±1,令y＝1,则1＝,∴x＝4(舍去),令y＝﹣1,则﹣1＝,∴x＝﹣4,∴Q(﹣4,﹣1),当DE是平行四边形的对角线时,∵D(2,2),E(4,1),∴DE的中点为(3,),设Q(a,）,P(x,0）,∴÷2＝,∴,∴Q(,3),∴使得以点P,Q,D,E为顶点的四边形为平行四边形的点Q的坐标（﹣4,﹣1）或（,3）．【点睛】本题主要考查反比例函数与四边形的综合,掌握反比例函数的图形和性质是以及平行四边形的性质是解题的关键,注意数形结合思想.4.(1)B(0,﹣3),y＝﹣x2+2x+3(2)平行四边形,D(4,﹣5）(3)存在,PF＝4或【解析】【分析】(1)待定系数法求解即可;(2)由题意知,DE//AC且DE＝AC,可证四边形ACED是平行四边形,设点D(a,﹣a2+2a+3),则点E(a﹣3,﹣a2+2a+6),点E在直线AB上,将点E坐标代入求解即可;（3）由题意知,PF∥y轴,则∠PFC＝∠OCM,∴∠CPF＝∠COM＝90°或∠PCF＝∠COM＝90°时,以P、C、F为顶点的三角形与△COM相似,分两种情况求解：①当∠CPF＝∠COM＝90°,点P与点C关于抛物线对称,可知PC＝2,如图1,作DG⊥y轴于点G,则DG＝4,OG＝5,根据计算求解即可；②当∠PCF＝∠COM＝90°时,如图2,作CH⊥PF于点H,则∠OCH＝90°,,设点P（m,﹣m2+2m+3）,则点H（m,3）,表示PH,CH,根据正切值求的值,由tan∠CFH＝tan∠DCG＝,知,计算求解FH的值,由PF＝PH+HF计算求解即可．(1)解:将y＝0,代入y＝x﹣3中得x＝3,∴A(3,0),令x＝0,得y＝﹣3,∴B(0,﹣3),将A(3,0）,C(0,3）代入抛物线解析式y＝﹣x2+bx+c,得,解得,5、∴抛物线解析式为:y＝﹣x2+2x+(2)解:由题意知,DE//AC且DE＝AC,∴四边形ACED是平行四边形,设点D(a,﹣a2+2a+3),则点E(a﹣3,﹣a2+2a+6),将点E代入y＝x﹣3得:﹣a2+2a+6＝a﹣3﹣3,