2026年高中数学函数图像与性质解析

2026年高中数学函数图像与性质解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的图像经过点(1,2)，且其导数f'(x)在x=0处的值为3，则下列关于函数性质的描述中，正确的是（）A.函数在x=1处取得极值B.函数的图像必有一条对称轴C.函数在x=-1处必为拐点D.函数的图像必过原点解析：由f(1)=2可得a+b+c+d=2，f'(x)=3ax^2+2bx+c，f'(0)=c=3。结合选项分析：A项错误，因f'(1)=3a+2b+3不一定为0；B项正确，因f(x)为三次函数，其对称轴方程为x=-b/(3a)，由导数连续性可知存在对称轴；C项错误，拐点需满足f''(-1)=0且f''变化符号，但c=3未提供足够信息；D项错误，因d未必为0。故选B。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则下列关于其图像的描述中，正确的是（）A.图像关于x=-1.5对称B.函数在(-∞,0)上单调递减C.函数的最小值为3D.函数的图像与y=x有两个交点解析：f(x)分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。A项错误，对称轴为x=-0.5；B项正确，x∈(-∞,-2)时f(x)=-2x-1单调递减；C项正确，最小值在x∈[-2,1]时取得；D项错误，联立y=x得x=1，仅有一个交点。故选C。3.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像与直线y=a相切，且切点横坐标为π/8，则实数a的值为（）A.√2B.1C.-√2D.0解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最大值为√2，最小值为-√2。因切点在x=π/8时取得，f(π/8)=√2sin(π/4+π/4)=√2，故a=√2。切线斜率f'(π/8)=2cos(π/4+π/4)=-1，验证y=√2与y=x-tan(π/4)相切（tangent=1），满足条件。故选A。4.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.eB.2eC.e^2D.1解析：f'(x)=e^x-a，因x=1处取得极值，f'(1)=e-a=0，解得a=e。进一步验证：f''(x)=e^x，f''(1)=e>0，故x=1处为极小值点。故选A。5.函数f(x)=ln(x^2+1)-2x的图像关于（）对称A.原点B.x轴C.y轴D.y=x解析：f(-x)=ln((-x)^2+1)-2(-x)=ln(x^2+1)+2x≠f(x)且≠-f(x)，f(x)+f(-x)=2ln(x^2+1)≠0，故非奇非偶函数。f(x)-f(-x)=4x≠0，故非中心对称。f(x)≠-f(x)，故非关于x轴对称。f(x)≠f(-x)，故非关于y轴对称。故选D。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值与最小值分别为（）A.2，-10B.2，-8C.8，-10D.8，-8解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2。最大值为2，最小值为-10。故选A。7.函数f(x)=2cos^2x-1的图像可由函数y=cosx的图像经过下列哪种变换得到（）A.向左平移π/4个单位B.向右平移π/4个单位C.横坐标缩短为原来的一半D.纵坐标伸长为原来的2倍解析：f(x)=cos(2x)，由y=cosx→y=cos(2x)需将横坐标缩短为原来的一半。验证：cos(2(x+π/4))=cos(2x+π/2)=-sin(2x)≠f(x)，cos(2(x-π/4))=cos(2x-π/2)=sin(2x)≠f(x)，2cos(2x)≠f(x)，cos(2x)≠f(x)。故选C。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与函数g(x)=ax^2+bx+c的图像相交于四个不同点，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,0)B.(0,1)C.(1,∞)D.(-1,0)解析：f(x)图像为折线，顶点为(-2,3)和(1,2)，对称轴为x=-0.5。g(x)为抛物线，若与f(x)相交于四个点，需满足：9.抛物线开口向上且顶点在对称轴左侧（否则最多三个交点）；10.顶点y坐标小于f(x)最小值2。即a>0且4ac-b^2<4，解得a>1。故选C。11.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像与直线y=kx相切，则实数k的取值集合为（）A.{2}B.{0,2}C.{-1,2}D.{1,2}解析：设切点为(x0,y0)，则y0=kx0且f'(x0)=3x0^2-6x0+2=k。联立f(x0)=kx0得x0^3-3x0^2-x0+1=0，因x0存在唯一解，需判别式Δ=1-4(1-x0)^2=0，解得x0=1/2，此时k=f'(1/2)=1/4，矛盾。重新分析：需f(x0)=kx0且f'(x0)=k，即x0^3-3x0^2+2x0+1=x0(x0^2-3x0+2)=0，解得x0=1或x0=2，对应k=2。故选A。12.函数f(x)=xlnx在区间(0,1]上的最大值是（）A.0B.-1C.1D.不存在解析：f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，但x∈(0,1]，故需比较f(1/e)和f(1)。f(1/e)=-1/e≈-0.367，f(1)=0，故最大值为0。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(x^2+1)-1在区间(-∞,0)上的单调性为__________。参考答案：单调递减解析：f'(x)=x/(√(x^2+1))>0，故单调递增。（修正：需重新计算f'(x)在x<0时为负，故单调递减）f'(x)=x/(√(x^2+1))，x<0时f'(x)<0，故单调递减。2.函数f(x)=sin^2x+cos^2x的图像关于__________对称。参考答案：原点解析：f(x)=1为偶函数，但题目要求非奇非偶函数的对称性，需重新思考。（修正：f(x)=sin^2x+cos^2x≡1，恒为偶函数，故关于y轴对称）3.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a=__________。参考答案：e解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，解得a=e。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为__________。参考答案：3解析：f(x)分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。最小值在x∈[-2,1]时取得，为3。5.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像与直线y=a相切，且切点横坐标为π/8，则实数a的值为__________。参考答案：√2解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最大值为√2，最小值为-√2。因切点在x=π/8时取得，f(π/8)=√2sin(π/4+π/4)=√2，故a=√2。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值为__________，最小值为__________。参考答案：2，-10解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2。最大值为2，最小值为-10。7.函数f(x)=2cos^2x-1的图像可由函数y=cosx的图像经过__________变换得到。参考答案：横坐标缩短为原来的一半解析：f(x)=cos(2x)，由y=cosx→y=cos(2x)需将横坐标缩短为原来的一半。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与函数g(x)=ax^2+bx+c的图像相交于四个不同点，则实数a的取值范围是__________。参考答案：(1,∞)解析：f(x)图像为折线，顶点为(-2,3)和(1,2)，对称轴为x=-0.5。g(x)为抛物线，若与f(x)相交于四个点，需满足：9.抛物线开口向上且顶点在对称轴左侧（否则最多三个交点）；10.顶点y坐标小于f(x)最小值2。即a>0且4ac-b^2<4，解得a>1。11.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像与直线y=kx相切，则实数k的取值集合为__________。参考答案：{2}解析：设切点为(x0,y0)，则y0=kx0且f'(x0)=3x0^2-6x0+2=k。联立f(x0)=kx0得x0^3-3x0^2-x0+1=0，因x0存在唯一解，需判别式Δ=1-4(1-x0)^2=0，解得x0=1/2，此时k=f'(1/2)=1/4，矛盾。重新分析：需f(x0)=kx0且f'(x0)=k，即x0^3-3x0^2+2x0+1=x0(x0^2-3x0+2)=0，解得x0=1或x0=2，对应k=2。12.函数f(x)=xlnx在区间(0,1]上的最大值是__________。参考答案：0解析：f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，但x∈(0,1]，故需比较f(1/e)和f(1)。f(1/e)=-1/e≈-0.367，f(1)=0，故最大值为0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值与最小值分别为2和-10。参考答案：正确解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2。最大值为2，最小值为-10。2.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像可由函数y=cosx的图像经过横坐标缩短为原来的一半得到。参考答案：正确解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，由y=cosx→y=cos(2x)需将横坐标缩短为原来的一半。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于x=-0.5对称。参考答案：正确解析：f(x)图像为折线，顶点为(-2,3)和(1,2)，对称轴为x=-0.5。4.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a=e。参考答案：正确解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，解得a=e。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像与直线y=kx相切，则实数k的取值集合为{2}。参考答案：正确解析：设切点为(x0,y0)，则y0=kx0且f'(x0)=3x0^2-6x0+2=k。联立f(x0)=kx0得x0^3-3x0^2-x0+1=0，因x0存在唯一解，需判别式Δ=1-4(1-x0)^2=0，解得x0=1/2，此时k=f'(1/2)=1/4，矛盾。重新分析：需f(x0)=kx0且f'(x0)=k，即x0^3-3x0^2+2x0+1=x0(x0^2-3x0+2)=0，解得x0=1或x0=2，对应k=2。6.函数f(x)=xlnx在区间(0,1]上的最大值是0。参考答案：正确解析：f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，但x∈(0,1]，故需比较f(1/e)和f(1)。f(1/e)=-1/e≈-0.367，f(1)=0，故最大值为0。7.函数f(x)=2cos^2x-1的图像可由函数y=cosx的图像经过纵坐标伸长为原来的2倍得到。参考答案：错误解析：f(x)=cos(2x)，由y=cosx→y=cos(2x)需将横坐标缩短为原来的一半。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与函数g(x)=ax^2+bx+c的图像相交于四个不同点，则实数a的取值范围是(1,∞)。参考答案：正确解析：f(x)图像为折线，顶点为(-2,3)和(1,2)，对称轴为x=-0.5。g(x)为抛物线，若与f(x)相交于四个点，需满足：9.抛物线开口向上且顶点在对称轴左侧（否则最多三个交点）；10.顶点y坐标小于f(x)最小值2。即a>0且4ac-b^2<4，解得a>1。11.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图像与直线y=2相切。参考答案：错误解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-4，故无切点。12.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像关于y=x对称。参考答案：错误解析：f(x)为偶函数，但非中心对称函数。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的单调区间是什么？参考答案：（-2，0）单调递增（0，2）单调递减（2，3）单调递增解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。在(-2,0)上f'(x)>0，单调递增；在(0,2)上f'(x)<0，单调递减；在(2,3)上f'(x)>0，单调递增。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？如何取得？参考答案：最小值为3，在x∈[-2,1]时取得。解析：f(x)分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。最小值在x∈[-2,1]时取得，为3。3.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像与直线y=a相切，且切点横坐标为π/8，求实数a的值。参考答案：a=√2解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最大值为√2，最小值为-√2。因切点在x=π/8时取得，f(π/8)=√2sin(π/4+π/4)=√2，故a=√2。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图像与直线y=2相切，求切点坐标。参考答案：无切点解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-4，故无切点。5.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求实数a的值及极值类型。参考答案：a=e，极小值解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，解得a=e。f''(x)=e^x，f''(1)=e>0，故x=1处为极小值点。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与函数g(x)=ax^2+bx+c的图像相交于四个不同点，求实数a的取值范围。参考答案：a>1解析：f(x)图像为折线，顶点为(-2,3)和(1,2)，对称轴为x=-0.5。g(x)为抛物线，若与f(x)相交于四个点，需满足：7.抛物线开口向上且顶点在对称轴左侧（否则最多三个交点）；8.顶点y坐标小于f(x)最小值2。即a>0且4ac-b^2<4，解得a>1。9.函数f(x)=xlnx在区间(0,1]上的最大值是多少？如何取得？参考答案：最大值为0，在x=1处取得。解析：f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，但x∈(0,1]，故需比较f(1/e)和f(1)。f(1/e)=-1/e≈-0.367，f(1)=0，故最大值为0。10.函数f(x)=2cos^2x-1的图像可由函数y=cosx的图像经过哪些变换得到？参考答案：横坐标缩短为原来的一半解析：f(x)=cos(2x)，由y=cosx→y=cos(2x)需将横坐标缩短为原来的一半。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其在区间[-2,3]上的最大值与最小值。参考答案：最大值为2，在x=0或x=3处取得；最小值为-10，在x=-2处取得。解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2。最大值为2，最小值为-10。2.已知函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)，求其图像与直线y=√2相切的所有切点坐标。参考答案：无切点解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最大值为√2，最小值为-√2。若相切，需f(x)=√2且f'(x)=0，但f'(x)=2√2cos(2x+π/4)≠0，故无切点。3.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求其图像与函数g(x)=ax^2+bx+c的图像相交于四个不同点的a的取值范围。参考答案：a>1解析：f(x)图像为折线，顶点为(-2,3)和(1,2)，对称轴为x=-0.5。g(x)为抛物线，若与f(x)相交于四个点，需满足：4.抛物线开口向上且顶点在对称轴左侧（否则最多三个交点）；5.顶点y坐标小于f(x)最小值2。即a>0且4ac-b^2<4，解得a>1。6.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求其图像与直线y=kx相切的k值。参考答案：k=2解析：设切点为(x0,y0)，则y0=kx0且f'(x0)=3x0^2-6x0+2=k。联立f(x0)=kx0得x0^3-3x0^2-x0+1=0，因x0存在唯一解，需判别式Δ=1-4(1-x0)^2=0，解得x0=1/2，此时k=f'(1/2)=1/4，矛盾。重新分析：需f(x0)=kx0且f'(x0)=k，即x0^3-3x0^2+2x0+1=x0(x0^2-3x0+2)=0，解得x0=1或x0=2，对应k=2。7.已知函数f(x)=xlnx在区间(0,1]上的最大值，求其最大值及取得方式。参考答案：最大值为0，在x=1处取得。解析：f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，但x∈(0,1]，故需比较f(1/e)和f(1)。f(1/e)=-1/e≈-0.367，f(1)=0，故最大值为0。8.已知函数f(x)=2cos^2x-1，求其图像可由函数y=cosx的图像经过哪些变换得到。参考答案：横坐标缩短为原来的一半解析：f(x)=cos(2x)，由y=cosx→y=cos(2x)需将横坐标缩短为原来的一半。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.A5.C6.A7.C8.C9.D10.A二、填空题1.单调递减12.原点13.e14.315.√216.2，-1017.横坐标缩短为原来的一半18.(1,∞)19.{2}20.0三、判断题1.√22.√23.√24.√25.√26.√27.×28.√29.×30.×四、简答题1.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。在(-2,0)上f'(x)>0，单调递增；在(0,2)上f'(x)<0，单调递减；在(2,3)上f'(x)>0，单调递增。参考答案：(-2，0）单调递增，（0，2）单调递减，（2，3）单调递增。2.解：f(x)分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。最小值在x∈[-2,1]时取得，为3。参考答案：最小值为3，在x∈[-2,1]时取得。3.解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最大值为√2，最小值为-√2。因切点在x=π/8时取得，f(π/8)=√2sin(π/4+π/4)=√2，故a=√2。参考答案：a=√2。4.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-4，故无切点。参考答案：无切点。5.解：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，解得a=e。f''(x)=e^x，f''(1)=e>0，故x=1处为极小值点。参考答案：a=e，极小值。6.解：f(x)图像为折线，顶点为(-2,3)和(1,2)，对称轴为x=-0.5。g(x)为抛物线，若与f(x)相交于四个点，需满足：7.抛物线开口向上且顶点在对称轴左侧（否则最多三个交点）；8.顶点y坐标小于f(x)最小值2。即a>0且4ac-b^2<4，解得a>1。参考答案：a>1。9.解：f'(