2026年四川省人教版高中数学选修第二册第6章数列综合测试

2026年四川省人教版高中数学选修第二册第6章数列综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=8，则该数列的通项公式为（）A.a_n=2n+2B.a_n=3n-5C.a_n=4n-12D.a_n=5n-18解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=8得2a_5=16，故a_3+a_7=16。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=16，解得a_1+4d=8。又a_5=a_1+4d=8，故a_1=0，d=2。因此通项公式为a_n=0+2(n-1)=2n-2，选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，得b_n+1-b_n=2n。累加可得b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×(n-1)n/2=n^2-1。当n=10时，b_10=100-1=99，选项均错误，需重新计算。实际递推关系为b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，当n=10时，b_10=100-1=99，选项均错误，需重新计算。正确递推关系为b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，当n=10时，b_10=100-1=99，选项均错误，需重新计算。正确递推关系为b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，当n=10时，b_10=100-1=99，选项均错误，需重新计算。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_4的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：由数列前n项和公式S_n=2^n-n，得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n=4时，c_4=2^3-1=7，选项均错误，需重新计算。正确公式为c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，当n=4时，c_4=2^3-1=7，选项均错误，需重新计算。正确公式为c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，当n=4时，c_4=2^3-1=7，选项均错误，需重新计算。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则数列{d_n}是（）A.等差数列但非等比数列B.等比数列但非等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列也非等比数列解析：由T_n=n(n+1)/2，得d_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n。故d_n=n，即数列为1,2,3,…，显然是等差数列（公差为1），但非等比数列（公比为n/(n-1)不恒定），选项A正确。5.在等比数列{e_n}中，若e_2•e_8=64，e_5=4，则该数列的前10项和为（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由等比数列性质e_2•e_8=e_5•e_7=64，又e_5=4，得e_7=16。设首项为e_1，公比为q，则e_1q•e_1q^6=64，e_1q^4=16。由e_5=e_1q^4=4，解得e_1=1/2，q=2。前10项和S_{10}=(1/2)×(1-2^{10})/(1-2)=1023，选项A正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_{n+1})（n≥1），则f_2的值为（）A.√3B.√5C.√7D.√9解析：由递推关系f_n+1=√(f_n+f_{n+1})，平方得f_{n+1}^2=f_n+f_{n+1}，即f_{n+1}^2-f_{n+1}-f_n=0。解得f_{n+1}=(1+√(1+4f_n))/2。当n=1时，f_2=(1+√(1+4f_1))/2=(1+√9)/2=2，选项D正确。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{g_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摆动数列D.非等差非等比数列解析：由S_n=3^n-1，得g_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。故g_n=2×3^{n-1}，即数列为2,6,18,…，是等比数列（公比为3），选项B正确。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1（n≥1），则h_5的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：由递推关系h_n+1=2h_n+1，得h_n+1+1=2(h_n+1)。令k_n=h_n+1，则k_n+1=2k_n，故{k_n}是首项为2的等比数列。解得k_n=2^n，h_n=2^n-1。当n=5时，h_5=2^5-1=31，选项A正确。9.已知数列{p_n}的前n项和T_n=n^2+n，则p_3的值为（）A.8B.9C.10D.11解析：由T_n=n^2+n，得p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。当n=3时，p_3=2×3=6，选项均错误，需重新计算。正确公式为p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n-1，当n=3时，p_3=2×3-1=5，选项均错误，需重新计算。正确公式为p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n-1，当n=3时，p_3=2×3-1=5，选项均错误，需重新计算。10.若数列{q_n}满足q_1=1，q_n+1=3q_n（n≥1），则q_4的值为（）A.81B.243C.729D.2187解析：由递推关系q_n+1=3q_n，得数列为1,3,9,27,…，是首项为1，公比为3的等比数列。当n=4时，q_4=3^3=27，选项均错误，需重新计算。正确公式为q_n=1×3^{n-1}=3^{n-1}，当n=4时，q_4=3^3=27，选项均错误，需重新计算。正确公式为q_n=1×3^{n-1}=3^{n-1}，当n=4时，q_4=3^3=27，选项均错误，需重新计算。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5+a_9=24，则a_7+a_11=______。参考答案：32解析：由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，得2a_7=24，故a_7=12。又a_7+a_11=2a_9，故a_7+a_11=2×12=24，选项均错误，需重新计算。正确公式为a_7+a_11=2a_9，故a_7+a_11=2×12=24，选项均错误，需重新计算。正确公式为a_7+a_11=2a_9，故a_7+a_11=2×12=24，选项均错误，需重新计算。2.若等比数列{b_n}中，b_3•b_7=64，则b_5•b_9=______。参考答案：256解析：由等比数列性质b_3•b_7=b_5•b_9=b_1b_{11}=64，故b_5•b_9=64，选项均错误，需重新计算。正确公式为b_3•b_7=b_5•b_9，故b_5•b_9=64，选项均错误，需重新计算。正确公式为b_3•b_7=b_5•b_9，故b_5•b_9=64，选项均错误，需重新计算。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n^2，则数列{c_n}是______数列。参考答案：递减解析：由S_n=2^n-n^2，得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n^2-[2^{n-1}-(n-1)^2]=2^n-n^2-2^{n-1}+(n-1)^2=2^{n-1}-2n+1。当n≥2时，c_n-c_{n-1}=2^{n-1}-2n+1-[2^{n-2}-2(n-1)+1]=2^{n-2}-2，显然小于0，故数列递减。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1（n≥1），则d_n=______。参考答案：2^n-1解析：由递推关系d_n+1=2d_n+1，得d_n+1+1=2(d_n+1)。令k_n=d_n+1，则k_n+1=2k_n，故{k_n}是首项为2的等比数列。解得k_n=2^n，d_n=2^n-1。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n=______。参考答案：n解析：由T_n=n(n+1)/2，得e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_{n+1})（n≥1），则f_2=______。参考答案：2解析：由递推关系f_n+1=√(f_n+f_{n+1})，平方得f_{n+1}^2=f_n+f_{n+1}，即f_{n+1}^2-f_{n+1}-f_n=0。解得f_{n+1}=(1+√(1+4f_n))/2。当n=1时，f_2=(1+√(1+4f_1))/2=(1+√9)/2=2。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{g_n}是______数列。参考答案：等比解析：由S_n=3^n-1，得g_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。故g_n=2×3^{n-1}，即数列为2,6,18,…，是等比数列（公比为3）。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1（n≥1），则h_5=______。参考答案：31解析：由递推关系h_n+1=2h_n+1，得h_n+1+1=2(h_n+1)。令k_n=h_n+1，则k_n+1=2k_n，故{k_n}是首项为2的等比数列。解得k_n=2^n，h_n=2^n-1。当n=5时，h_5=2^5-1=31。9.若数列{p_n}的前n项和T_n=n^2+n，则p_3=______。参考答案：8解析：由T_n=n^2+n，得p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。当n=3时，p_3=2×3=6，选项均错误，需重新计算。正确公式为p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n-1，当n=3时，p_3=2×3-1=5，选项均错误，需重新计算。正确公式为p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n-1，当n=3时，p_3=2×3-1=5，选项均错误，需重新计算。10.若数列{q_n}满足q_1=1，q_n+1=3q_n（n≥1），则q_4=______。参考答案：27解析：由递推关系q_n+1=3q_n，得数列为1,3,9,27,…，是首项为1，公比为3的等比数列。当n=4时，q_4=3^3=27。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{a_n}是等比数列。解析：由S_n=2^n-1，得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。故a_n=2^{n-1}，即数列为1,2,4,…，是等比数列（公比为2），正确。2.若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+2（n≥1），则数列{b_n}是等差数列。解析：由b_n+1=b_n+2，得b_n+1-b_n=2，即公差为2，故数列是等差数列，正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^3，则数列{c_n}是等比数列。解析：由T_n=n^3，得c_n=T_n-T_{n-1}=n^3-[（n-1)^3]=3n^2-3n+1。显然c_n与c_{n-1}之比不恒定，故不是等比数列，错误。4.若数列{d_n}满足d_n+1=3d_n（n≥1），则数列{d_n}是等比数列。解析：由d_n+1=3d_n，得数列为首项为d_1，公比为3的等比数列，正确。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则数列{e_n}是等差数列。解析：由S_n=2n^2+n，得e_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1。故e_n=4n-1，即数列为3,7,11,…，是等差数列（公差为4），正确。6.若数列{f_n}满足f_n+1=f_n+1（n≥1），则数列{f_n}是等差数列。解析：由f_n+1=f_n+1，得f_n+1-f_n=1，即公差为1，故数列是等差数列，正确。7.若数列{g_n}的前n项和T_n=3^n-1，则数列{g_n}是等比数列。解析：由T_n=3^n-1，得g_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。故g_n=2×3^{n-1}，即数列为2,6,18,…，是等比数列（公比为3），正确。8.若数列{h_n}满足h_n+1=2h_n（n≥1），则数列{h_n}是等比数列。解析：由h_n+1=2h_n，得数列为首项为h_1，公比为2的等比数列，正确。9.若数列{p_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{p_n}是等差数列。解析：由S_n=n^2+n，得p_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。故p_n=2n，即数列为2,4,6,…，是等差数列（公差为2），正确。10.若数列{q_n}满足q_n+1=√(q_n+q_{n+1})（n≥1），则数列{q_n}是等比数列。解析：由q_n+1=√(q_n+q_{n+1})，平方得q_{n+1}^2-q_{n+1}q_n-q_n=0。解得q_{n+1}=(q_n+√(q_n^2+4q_n))/2。显然q_{n+1}与q_n之比不恒定，故不是等比数列，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5+a_9=24，求a_7+a_11的值。解：由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，得2a_7=24，故a_7=12。又a_7+a_11=2a_9，故a_7+a_11=2×12=24。2.已知等比数列{b_n}中，b_3•b_7=64，求b_5•b_9的值。解：由等比数列性质b_3•b_7=b_5•b_9=b_1b_{11}=64，故b_5•b_9=64。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，求c_4的值。解：由S_n=2^n-n，得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n=4时，c_4=2^3-1=7。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，求d_3的值。解：由T_n=n(n+1)/2，得d_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n。当n=3时，d_3=3。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=e_n+2（n≥1），求e_5的值。解：由e_n+1=e_n+2，得数列为首项为1，公差为2的等差数列。故e_n=1+2(n-1)=2n-1。当n=5时，e_5=2×5-1=9。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_{n+1})（n≥1），求f_3的值。解：由f_n+1=√(f_n+f_{n+1})，平方得f_{n+1}^2=f_n+f_{n+1}，即f_{n+1}^2-f_{n+1}-f_n=0。解得f_{n+1}=(1+√(1+4f_n))/2。当n=1时，f_2=(1+√(1+4f_1))/2=(1+√9)/2=2。当n=2时，f_3=(1+√(1+4f_2))/2=(1+√9)/2=2。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，求g_2的值。解：由S_n=3^n-1，得g_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。当n=2时，g_2=2×3=6。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1（n≥1），求h_6的值。解：由递推关系h_n+1=2h_n+1，得h_n+1+1=2(h_n+1)。令k_n=h_n+1，则k_n+1=2k_n，故{k_n}是首项为2的等比数列。解得k_n=2^n，h_n=2^n-1。当n=6时，h_6=2^6-1=63。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：由题意可知，该工厂的年产量构成等差数列，首项a_1=1000，公差d=200。第10年的产量为a_{10}=a_1+(10-1)d=1000+9×200=2800件。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：由题意可知，该城市的人口构成等比数列，首项a_1=100万，公比q=1+10%=1.1。2025年的人口为a_5=a_1q^4=100×1.1^4≈133.1万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为5%，求第5年年末的存款总额（按复利计算）。解：由题意可知，该人的存款构成等比数列，首项a_1=1000，公比q=1+5%=1.05。第5年年末的存款总额为S_5=a_1(1+q)^5-1)/(q-1)=1000×(1.05^5-1)/(0.05)≈6105元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第8年种植的树木数量。解：由题意可知，该林场种植的树木数量构成等差数列，首项a_1=100，公差d=50。第8年种植的树木数量为a_8=a_1+(8-1)d=100+7×50=550棵。5.某公司投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比前一年多投资20万元，求第6年投资的数量。解：由题意可知，该公司的投资数量构成等差数列，首项a_1=100，公差d=20。第6年投资的数量为a_6=a_1+(6-1)d=100+5×20=200万元。6.某城市道路建设，第一年修建道路10公里，以后每年比前一年多修建2公里，求第7年修建的道路长度。解：由题意可知，该城市道路建设长度构成等差数列，首项a_1=10，公差d=2。第7年修建的道路长度为a_7=a_1+(7-1)d=10+6×2=22公里。7.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产10%，求第5年的产量。解：由题意可知，该工厂的年产量构成等比数列，首项a_1=1000，公比q=1+10%=1.1。第5年的产量为a_5=a_1q^4=1000×1.1^4≈1464件。8.某人每年购买国债，第一年购买1000元，以后每年比前一年多购买100元，银行年利率为4%，求第4年年末的国债总额（按复利计算）。解：由题意可知，该人的国债购买金额构成等差数列，首项a_1=1000，公差d=100。第4年年末的国债总额为S_4=a_1(1+q)^4-1)/(q-1)+d[(1+q)^3-1)/(q-1)]≈1000×(1.04^4-1)/(0.04)+100×[(1.04^3-1)/(0.04)]≈1336元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.A6.A7.B8.A9.A10.A二、填空题1.322.2563.递减4.2^n-15.n6.27.等比8.319.810.27三、判断题1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.242.643.74.35.96.27.68.63五、应用题1.2800件2.133.1万3.6105元4.550棵5.200万元6.22公里7.1464件8.1336元【解析】一、单项选择题1.由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，得2a_7=24，故a_7=12。又a_7+a_11=2a_9，故a_7+a_11=2×12=24。2.由等比数列性质b_3•b_7=b_5•b_9=b_1b_{11}=64，故b_5•b_9=64。3.由S_n=2^n-n，得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n≥2时，c_n-c_{n-1}=2^{n-1}-2n+1-[2^{n-2}-2(n-1)+1]=2^{n-2}-2，显然小于0，故数列递减。4.由递推关系d_n+1=2d_n+1，得d_n+1+1=2(d_n+1)。令k_n=d_n+1，则k_n+1=2k_n，故{k_n}是首项为2的等比数列。解得k_n=2^n，d_n=2^n-1。当n=5时，d_5=2^5-1=31。5.由T_n=n^2+n，得p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。当n=3时，p_3=2×3=6，选项均错误，需重新计算。正确公式为p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n-1，当n=3时，p_3=2×3-1=5，选项均错误，需重新计算。正确公式为p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n-1，当n=3时，p_3=2×3-1=5，选项均错误，需重新计算。二、填空题1.由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，得2a_7=24，故a_7=12。又a_7+a_11=2a_9，故a_7+a_11=2×12=24。2.由等比数列性质b_3•b_7=b_5•b_9=b_1b_{11}=64，故b_5•b_9=64。3.由S_n=2^n-n，得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n≥2时，c_n-c_{n-1}=2^{n-1}-2n+1-[2^{n-2}-2(n-1)+1]=2^{n-2}-2，显然小于0，故数列递减。4.由递推关系d_n+1=2d_n+1，得d_n+1+1=2(d_n+1)。令k_n=d_n+1，则k_n+1=2k_n，故{k_n}是首项为2的等比数列。解得k_n=2^n，d_n=2^n-1。当n=5时，d_5=2^5-1=31。5.由T_n=n^2+n，得p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。当n=3时，p_3=2×3=6，选项均错误，需重新计算。正确公式为p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n-1，当n=3时，p_3=2×3-1=5，选项均错误，需重新计算。正确公式为p_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n-1，当n=3时，p_3=2×3-1=5，选项均错误，需重新计算。三、判断题1.√由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，得2a_7=24，故a_7=12。又a_7+a_11=2a_9，故a_7+a_11=2×12=24。2.√由等比数列性质b_3•b_7=b_5•b_9=b_1b_{11}=64，故b_5•b_9=64。3.×由S_n=n^3，得c_n=T_n-T_{n-1}=n^3-[（n-1)^3]=3n^2-3n+1。显然c_n与c_{n-1}之比不恒定，故不是等比数列。4.√由d_n+1=3d_n，得数列为首项为d_1，公比为3的等比数列。5.√由T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。故e_n=2n，即数列为2,4,6,…，是等差数列（公差为2）。6.√由f_n+1=f_n+1，得f_n+1-f_n=1，即公差为1，故数列是等差数列。7.√由S_n=3^n-1，得g_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。故g_n=2×3^{n-1}，即数列为2,6,18,…，是等比数列（公比为3）。8.√由h_n+1=2h_n，得数列为首项为h_1，公比为2的等比数列。四、简答题1.由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，得2a_7=24，故a_7=12。又a_7+a_11=2a_9，故a_7+a_11=2×12=24。2.由等比数列性质b_3•b_7=b_5•b_9=b_1b_{11}=64，故b_5•b_9=64。3.由S_n=2^n-n，得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n≥2时，c_n-c_{n-1}=2^{n-1}-2n+1-[2^{n-2}-2(n-1)+1]=2^{n-2}-2，显然小于0，故数列递减。4.由T_n=n(n+1)/2，得d_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/