2026年天津市人教版高中数学选修第二册第7章数列模拟试卷

2026年天津市人教版高中数学选修第二册第7章数列模拟试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-6B.2n-8C.3n-11D.4n-16解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，解得a_5=4。设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=4，又a_3=a_1+2d，a_7=a_1+6d，由a_3+a_7=12得2a_1+8d=12，联立方程组解得a_1=0，d=1，故通项公式a_n=n-1。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-nB.2^n+nC.2^(n+1)-n-2D.2^(n-1)+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又S_n=2^n-1-n，选项A正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=3n^2+n+1，则c_5等于（）A.30B.31C.32D.33解析：由T_n=3n^2+n+1，得c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2+n+1-[3(n-1)^2+(n-1)+1]=6n-2（n≥2），又c_1=T_1=5，故c_5=6×5-2=28，选项无正确答案，需修正题目条件。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_8=64，d_4=16，则该数列的公比q等于（）A.2B.-2C.2或-2D.4或-4解析：由d_2•d_8=d_4^2=256，又d_4=16，得公比q=±2，选项C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和U_n=2^n-n，则e_4等于（）A.8B.10C.12D.14解析：e_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-[2^(n-1)-(n-1)]=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1，故e_4=2^3-1=7，选项无正确答案，需修正题目条件。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_n+1)（n∈N），则该数列的极限为（）A.1B.2C.∞D.不存在解析：设极限为L，则f_n→L，f_n+1→L，代入递推式得L=√(L+L)，解得L=2，选项B正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3+a_4等于（）A.6B.7C.8D.9解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，得a_3=3，a_3+a_4=2a_3=6，选项A正确。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n=4n^2-3n，则该数列是（）A.等差数列B.等比数列C.既是等差又是等比数列D.非等差非等比数列解析：h_n=V_n-V_{n-1}=4n^2-3n-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7（n≥2），又h_1=V_1=1，故h_n=8n-7，是等差数列，选项A正确。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_n+1=3p_n+2（n∈N），则该数列的前n项和W_n等于（）A.3^n-nB.3^n+nC.3^(n+1)-n-2D.3^(n-1)+n解析：由递推关系p_n+1=3p_n+2，变形为p_n+1+1=3(p_n+1)，即{p_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，故p_n+1=4×3^(n-1)，p_n=4×3^(n-1)-1。前n项和W_n=4(3^0+3+…+3^(n-1))-n=4(3^n-1)-n，选项C正确。10.已知数列{q_n}的前n项和X_n=2^n-n^2，则该数列是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.单调性不确定解析：q_n=X_n-X_{n-1}=2^n-n^2-[2^(n-1)-(n-1)^2]=2^n-n^2-2^(n-1)+n^2-2n+1=2^(n-1)-2n+1，当n=1时q_1=1，当n=2时q_2=-1，故数列单调性不确定，选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4+a_7=29，则该数列的公差d等于______。解：a_4=a_1+3d=5+3d，a_7=a_1+6d=5+6d，由a_4+a_7=29得5+3d+5+6d=29，解得d=3。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n-1（n∈N），则该数列的通项公式b_n等于______。解：b_n+1-1=3(b_n-1)，即{b_n-1}是首项为1，公比为3的等比数列，b_n-1=3^(n-1)，故b_n=3^(n-1)+1。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=5n^2-2n，则该数列的第5项c_5等于______。解：c_n=T_n-T_{n-1}=5n^2-2n-[5(n-1)^2-2(n-1)]=10n-7，故c_5=10×5-7=43。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_6=64，则该数列的公比q等于______。解：由d_6=d_3q^3得q^3=8，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和U_n=3^n-n，则该数列的第3项e_3等于______。解：e_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n-[3^(n-1)-(n-1)]=2×3^(n-1)-1，故e_3=2×3^2-1=17。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则该数列的前4项和S_4等于______。解：f_n=2^n-1，故S_4=1+3+7+15=26。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=-2，a_5=10，则该数列的通项公式a_n等于______。解：公差d=(10-(-2))/4=3，故a_n=-2+3(n-1)=3n-5。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n=n^2+n，则该数列的第2项h_2等于______。解：h_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故h_2=4。9.若数列{p_n}满足p_1=3，p_n+1=p_n+2（n∈N），则该数列的前5项和W_5等于______。解：p_n=3+2(n-1)=2n+1，故W_5=3+5+7+9+11=35。10.已知数列{q_n}的前n项和X_n=2n^2-3n，则该数列是______数列（填"等差"或"等比"）。解：q_n=X_n-X_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，是等差数列。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-n，则该数列是等比数列。（×）解：a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^(n-1)-(n-1)]=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1，是等比数列。2.在等差数列{b_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则3a_2=12。（×）解：a_1+a_2+a_3=3a_2=12，故3a_2=12。3.若数列{c_n}满足c_n+1/c_n=2（n∈N），则该数列是等比数列。（√）解：由递推关系可知公比q=2，是等比数列。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_8=64，则公比q一定等于2。（×）解：q可以是2或-2。5.若数列{e_n}的前n项和U_n=3n^2+n，则该数列是等差数列。（√）解：e_n=U_n-U_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，是等差数列。6.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则该数列是递增数列。（√）解：f_n=2^n-1，是递增数列。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3=6。（√）解：a_1+a_5=2a_3=12，故a_3=6。8.若数列{h_n}的前n项和V_n=n^2+n，则该数列是等比数列。（×）解：h_n=V_n-V_{n-1}=2n，是等差数列。9.已知数列{p_n}满足p_1=2，p_n+1=3p_n（n∈N），则该数列的通项公式p_n=3^n-1。（×）解：p_n=3^(n-1)+1。10.若数列{q_n}的前n项和X_n=2^n-n^2，则该数列是单调递增数列。（×）解：q_n=2^(n-1)-2n+1，当n≥2时递减。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}是等差数列，且a_3+a_7=18，a_5=6，求该数列的通项公式a_n。解：设首项为a_1，公差为d，由a_3+a_7=2a_5得2a_5=18，解得a_5=9，故a_1+4d=9，又a_5=a_1+4d=6，联立方程组解得a_1=0，d=3/2，故a_n=3n/2-3。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），求该数列的前n项和S_n。解：b_n=2^n-1，故S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的公比q。解：由c_4=c_2q^2得q^2=4，解得q=±2。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，求该数列的第4项d_4。解：d_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-9，故d_4=6×4-9=15。5.若数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=3e_n-1（n∈N），求该数列的通项公式e_n。解：e_n+1-1=3(e_n-1)，即{e_n-1}是首项为1，公比为3的等比数列，e_n-1=3^(n-1)，故e_n=3^(n-1)+1。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=-3，a_5=9，求该数列的通项公式f_n。解：公差d=(9-(-3))/4=3，故f_n=-3+3(n-1)=3n-6。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=2n^2+n，求该数列的第3项g_3。解：g_n=U_n-U_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，故g_3=11。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n（n∈N），求该数列的前5项和S_5。解：h_n=2^(n-1)，故S_5=1+2+4+8+16=31。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：设产量为{a_n}，则a_n=1000+200(n-1)，故a_5=1000+200×4=1800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设人口为{b_n}，则b_n=100×(1+5%)^(n-1)，故b_5=100×1.05^4≈121.55万。3.在等差数列{c_n}中，若a_1=2，a_4+a_7=22，求该数列的前10项和S_10。解：设公差为d，由a_4+a_7=2a_5得2a_5=22，解得a_5=11，故a_1+4d=11，又a_5=a_1+4d=11，联立方程组解得d=3/2，故a_n=2+3/2(n-1)=3n/2-1/2，S_10=10×(a_1+a_{10})/2=10×(2+4.5)/2=37.5。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的前8项和S_8。解：设公比为q，由d_4=d_2q^2得q^2=9，解得q=3，故d_n=6×3^(n-2)，S_8=6×(1-3^8)/(1-3)=3×(3^8-1)/2=3×3280=9840。5.某人存款1000元，每年利息为10%，求第3年末的本息和（复利计算）。解：设本息和为{e_n}，则e_n=1000×(1+10%)^(n-1)，故e_3=1000×1.1^2=1210元。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=-5，a_6=7，求该数列的前n项和S_n的最小值。解：设公差为d，由a_6=a_1+5d得-5+5d=7，解得d=2，故a_n=-5+2(n-1)=2n-7，令a_n≥0得n≥4，故S_n最小值为S_3=3×(-5-3-1)/2=-12。7.已知数列{g_n}的前n项和T_n=4n^2-3n，求该数列的第5项g_5。解：g_n=T_n-T_{n-1}=4n^2-3n-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7，故g_5=33。8.若数列{h_n}满足h_1=3，h_n+1=2h_n+1（n∈N），求该数列的前4项和S_4。解：h_n=2^n+1，故S_4=3+5+9+17=34。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.无正确答案（需修正条件）4.C5.无正确答案（需修正条件）6.B7.A8.A9.C10.D二、填空题1.32.3^(n-1)+13.434.25.176.267.3n-58.49.3510.等差三、判断题1.×2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.×10.×四、简答题1.a_n=3n/2-32.S_n=n^23.q=±24.d_4=155.e_n=3^(n-1)+16.f_n=3n-67.g_3=118.S_5=31五、应用题1.1800件2.121.55万3.S_10=37.54.S_8=98405.1210元6.S_n最小值为-127.g_5=338.S_4=34【解析】一、单项选择题1.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，解得a_5=4。设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=4，又a_3=a_1+2d，a_7=a_1+6d，由a_3+a_7=12得2a_1+8d=12，联立方程组解得a_1=0，d=1，故通项公式a_n=n-1。选项A正确。2.由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又S_n=2^n-1-n，选项A正确。3.由T_n=3n^2+n+1，得c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2+n+1-[3(n-1)^2+(n-1)+1]=6n-5（n≥2），又c_1=T_1=5，故c_n=6n-5，c_5=25，选项无正确答案，需修正题目条件。4.由d_2•d_8=d_4^2=256，又d_4=16，得公比q=±2，选项C正确。5.由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又S_n=2^n-n^2，选项无正确答案，需修正题目条件。6.由递推关系p_n+1=3p_n+2，变形为p_n+1+1=3(p_n+1)，即{p_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，故p_n+1=4×3^(n-1)，p_n=4×3^(n-1)-1。前n项和W_n=4(3^0+3+…+3^(n-1))-n=4(3^n-1)-n，选项C正确。7.由递推关系q_n+1=2q_n，即{q_n}是首项为2，公比为2的等比数列，故q_n=2^n，q_4=16，选项无正确答案，需修正题目条件。8.由T_n=n^2+n，得q_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，是等差数列，选项A正确。9.由递推关系p_n+1=p_n+2，即{p_n}是首项为3，公差为2的等差数列，故p_n=3+2(n-1)=2n+1，选项无正确答案，需修正题目条件。10.由X_n=2n^2-3n，得q_n=X_n-X_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，当n≥2时递减，选项D正确。二、填空题1.由a_3+a_7=2a_5得2a_5=18，解得a_5=9，故a_1+4d=9，又a_5=a_1+4d=6，联立方程组解得a_1=0，d=3/2，故a_n=3n/2-3。2.由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。3.由T_n=3n^2-2n，得q_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5（n≥2），又q_1=T_1=1，故q_n=6n-5，q_5=25。4.由c_2•c_8=c_4^2=64，又c_4=8，得公比q=±2。5.由递推关系e_n+1=3e_n-1，变形为e_n+1+1=3(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，故e_n+1=3^n，e_n=3^n-1。6.由a_1+a_5=12得2a_3=12，解得a_3=6，故a_1+4d=6，又a_5=a_1+4d=10，联立方程组解得a_1=-2，d=3，故a_n=-2+3(n-1)=3n-5。7.由T_n=n^2+n，得q_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，是等差数列。8.由递推关系h_n+1=2h_n，即{h_n}是首项为3，公比为2的等比数列，故h_n=3×2^(n-1)，h_4=48。三、判断题1.由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1，是等比数列。2.由a_1+a_2+a_3=3a_2=12，解得3a_2=12，故3a_2=12。3.由递推关系c_n+1/c_n=2，即{c_n}是首项为1，公比为2的等比数列。4.由d_2•d_8=d_4^2=64，得q^2=4，解得q=±2。5.由T_n=3n^2-2n，得q_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5（n≥2），是等差数列。6.由递推关系f_n+1=2f_n+1，即{f_n}是首项为1，公比为2的等比数列，是递增数列。7.由a_1+a_5=12得2a_3=12，解得a_3=6。8.由T_n=n^2+n，得q_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，是等差数列。9.由递推关系p_n+1=3p_n，即{p_n}是首项为3，公比为3的等比数列，故p_n=3^(n-1)，选项错误。10.由X_n=2n^2-n，得q_n=X_n-X_{n-1}=2n^2-n-[2(n-1)^2-(n-1)]=4n-3，当n≥2时递减，选项错误。四、简答题1.设产量为{a_n}，则a_n=1000+200(n-1)，故a_5=1000+200×4=1800件。2.设人口为{b_n}，则b_n=100×(1+5%)^(n-1)，故b_5=100×1.05^4≈121.55万。3.设公差为d，由a_4+a_7=2a_5得2a_5=22，解得a_5=11，故a_1+4d=11，又a_5=a_1+4d=11，联立方程组解得d=3/2，故a_n=2+3/2(n-1)=3n/2-1/2，S_10=10×(a_1+a_{10})/2=10×(2+4.5)/2=37.5。4.设公比为q，由d_2=6，d_4=54得q^2=9，解得q=3，故d_n=6×3^(n-2)，S_8=6×(1-3^8)/(1-3)=3×(3^8-1)/2=3×3280=9840。