云南省大理州2026届九年级下学期学业水平模拟测试数学试卷（含解析）

云南省大理州2026届九年级下学期学业水平模拟测试数学试卷一、单选题1．中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家．若水库的水位升高3米时，水位变化记作米，则水位下降5米时，水位变化可记作（

）A．8米 B．2米 C．米 D．米2．地球的表面积约为510000000平方千米，用科学记数法可以把数字510000000表示为（

）A． B． C． D．3．如图，直线与直线、都相交．若，，则（

）A． B． C． D．4．反比例函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、三象限 B．第一、四象限C．第二、三象限 D．第二、四象限5．下列计算正确的为（

）A． B．C． D．6．如图，与交于点，且．若则（

）A． B． C． D．7．下列几何体中，主视图是三角形的是（

）A． B． C． D．8．按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式为（

）A． B． C． D．9．在函数中，自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．10．下列四个选项所描述的图形中，不是轴对称图形的为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正方形 D．线段11．某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（

）A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定12．蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧密拼接而成．如图所示，则正六边形的内角和为（

）A． B． C． D．13．小明过完生日后，对圆锥形的生日帽进行了测量，如图，测得圆锥底面半径为，母线长为，则生日帽的外表面积为（

）A． B． C． D．14．如图，在中，．若，，则（

）A． B． C． D．15．某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（

）A． B． C． D．二、填空题16．如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________．17．分解因式：___18．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________19．某校组织以“保护洱海，爱我家园”为主题的手抄报作品征集活动，先从中随机抽取了若干作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么，此次一共抽取了________份作品．三、解答题20．计算：21．如图，已知，，．求证：．22．云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？23．某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小理从这四张卡片中随机抽取2张卡片．(1)请用画树状图或列表的方法，求小理抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数；(2)求所抽的两张卡片中，有数学家华罗庚邮票图案的概率．24．如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，，求线段的长．25．请你根据下列素材，完成有关任务．背景大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信．素材一经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元．素材二购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元；素材三该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的．请完成下列任务：(1)任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？(2)任务二：请给出最节省费用的购买方案．26．已知抛物线经过点，设、是常数．(1)求的值（用含的式子表示）；(2)点和点是抛物线上的任意两点，且满足，记．若的值为整数，求的所有整数值．27．如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为．(1)当，求；(2)求证：是的切线；(3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由．参考答案及解析1．D解析：水位下降5米时，水位变化记作米．2．C解析：解：．3．B解析：解：如图：由对顶角相等可得，∵，∴．4．D解析：解：∵y＝﹣，k＝﹣1＜0，∴函数图象过二、四象限．故选：D．5．C解析：解：A、根据合并同类项法则，同类项合并时字母与字母的指数不变，系数相加，，故选项错误；B、，故选项错误；C、根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故选项正确；D、表示9的算术平方根，结果为非负数，，故选项错误；6．C解析：解：∵与交于点，且，∴，∵，∴．7．B解析：解：选项A的主视图是正方形；选项B的主视图是三角形；选项C的主视图是矩形；选项D的主视图是圆．故选：B．8．A解析：解：第1个代数式为，分子等于序号1，分母等于序号1加1，a的指数等于序号1；第2个代数式为，分子等于序号2，分母等于序号2加1，a的指数等于序号2；第3个代数式为，分子等于序号3，分母等于序号3加1，a的指数等于序号3；．．．∴第个代数式中，分子为，分母为，的指数为，即第个代数式为．9．C解析：解：根据被开方数为非负数，可知解得：故选：C．10．B解析：解：等腰三角形沿底边中线所在直线折叠，直线两旁部分可完全重合，是轴对称图形，故A不符合题意；普通直角三角形不存在能使它折叠后完全重合的直线，只有特殊的等腰直角三角形才是轴对称图形，选项B中直角三角形泛指任意直角三角形，不一定是轴对称图形，故B符合题意；正方形沿对边中点连线或对角线折叠可完全重合，是轴对称图形，故C不符合题意；线段沿它的中垂线或自身所在直线折叠可完全重合，是轴对称图形，故D不符合题意；11．C解析：∵，，，且，∴．∵方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，∴参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班．12．A解析：解：．13．D解析：解：∵测得圆锥底面半径为，母线长为，∴生日帽的外表面积为．14．A解析：解：在中，，，，∴．15．A解析：解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场，又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次，∴总比赛场数为，已知总比赛场数为36，因此列方程得．16．5解析：解：如图：连接，，∵点是的中点，∴，∴，∴．17．解析：解：．故答案为：．18．(答案不唯一)解析：解：∵四边形是平行四边形，若，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形，故答案为：．19．120解析：解：条形图中，等级的作品数量为份；扇形图中，等级的作品占比为；所以样本总量为，即一共抽取了份作品．故答案为：．20．8解析：解：．21．见解析解析：证明：，，即，在和中，，，．22．游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时解析：解：设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，根据题意，得：解得：经检验是所列分式方程的解，且符合题目要求，此时答：游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时．23．(1)见解析(2)解析：（1）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，分别是（2）解：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种等可能结果，分别为，（抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）．答：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为．24．(1)见解析(2)解析：（1）证明：∵四边形是平行四边形，，∵，∴，∵，四边形是平行四边形．∵平行四边形是菱形．（2）解：∵，，∵，，在中，，，，∵四边形是菱形，，又∵，在中，，，．25．(1)每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元(2)当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低解析：（1）解：设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元，，解得，，答：每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元；（2）解：设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，，购买男款的数量不超过购买女款数量的，解得随的增大而增大，当时，的值最小当购买女款扎染服饰20套时，总费用最低，此时，购买男款扎染服饰套．当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低．26．(1)(