内蒙古赤峰市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试卷（含详解）

内蒙古自治区赤峰市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

一、单选题

1．复数z=1+i（其中i为虚数单位），则z=()

A．2B．C．D.

ìü

2．已知集合A=0,1,2,3，B=íx>0ý,则AIB=()

îþ

A．3B．2,3C．0,3D．xx³2或x£1

uuuuur

3．在VABC中，D为AC边上靠近点A的三等分点，=lA+mAC，则l+m=()

2112

A．-B．-C．D.

3223

ö

4．已知fx是定义域为æç-,÷的偶函数，且满足当0£x<时，fx=tanx，则函数y=fx-的零

èø

点个数为()

A．5B．4C．3D．2

uuur

5．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“A=C”的()

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

2

6．函数fx=log2x-1的单调递增区间为()

A．-¥,-1B．-¥,0C．0,+¥D．1,+¥

7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是()

A．两个角均为锐角B．一个角为0o，一个角为90o

C．两个角均为0oD．两个角均为90o

bö

8．若将函数fx=lnæça+÷b¹0的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则ab=()

èxø

A．1B．2C．-1D．-2

二、多选题

9．已知a=ln3，b=ln2，下列说法正确的是()

aa+2b

A.ln6=a+bB.ln4=2bC.log32=D．log412=

b2b

10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是()

A.若a²+b²-c²=ab,则C=60°

B.若a=√2,b=3,A=30°,则满足条件的△ABC有两个

C.若a=3,,则△ABC周长的最大值为3+√3

D.若a>b,则cosA<cosB

11.在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均为2,D为BC中点，M为A₁B₁中点，连接DM、AM、

AD.下列命题正确的是()

A.DMI/平面AAC₁C

B.三棱锥A-MDC的体积为·

C.平面ADM与平面ABC所成二面角的正弦值为

D.正三棱柱ABC-AB₁C₁外接球的表面积为π

三、填空题

12.已知半径为1的扇形面积为2,则扇形圆心角的弧度数为

13.在平面直角坐标系中，已知向量b=(1,2),且a·b=-1,则向量a在向量b上的投影向量的坐标为

14.“无字证明”(proofswithoutwords),就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请

利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：

工

α+β

sinβ

sina

图甲图乙

四、解答题

15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

(1)若a=3,b=5,c=7,求角C及△ABC的面积；

(2)求证：△ABC的面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c)(其中

16.已知函数,将g(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象.

(1)求函数f(x)的解析式与对称中心；

(2)当时，求f(x)的最大值与最小值；

(3)若角α满足求的值.

17.如图，在三棱锥P-ABC中，PO⊥底面ABC,垂足为0,且OC=-20D,AC=BC=√13,D为AB

中点，CD=3,

(1)求证：ABIPC;

(2)若OP=2,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

18.如图，正方形ABCD的边长为2,E、F分别是AB、BC边上的动点，且满足AE=BF,AF与DE相

交于点M.

(1)若E为AB中点，求DE·AB的值；

(2)(i)求证：在运动过程中，恒有∠AMD=90°;

(ii)求DM·DC的最大值.

19．对于任意两个实数u，v(u<v)，记区间u,v上曲线y=ex与直线x=u，x=v及x轴围成的曲边梯形

面积为Eu,v，约定Eu,u=0，Eu,v=-Ev,u，并定义E0,x=ex-1.

(1)对任意实数u和h，且h>0，证明：heu<Eu,u+h<heu+h（注：可借助图形辅助证明）；

(2)若E0,a+E0,2=E0,a+1，求实数a的值；

(3)(ⅰ)求证：对任意实数t，都有Eu+t,v+t=etEu,v；

(ⅱ)设m>0，记Sa=Ea,a+m-Ea-m,a，是否存在实数a0，使得Sa0=S-a0恒成立？若存在，求

出a0的所有值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.B

【详解】由题可知z=1-i,三=√¹²+(-1)²=√2.

2.C

【详解】由,得(x-2)(x-1)>0,得x<1或x>2,

因为A={0,1,2,3},所以A∩B={0,3}.

3.A

【详解】由题意

所以因此

4.D

【详解】函数的零点个数等价于函数f(x)的图象与直线.的交点个数，

当时，f(x)=f(-x)=tan(-x)=-tanx,

由图可知交点个数为2个，

所以函数的零点个数为2.

5.A

【详解】若四边形ABCD是平行四边形，

则AB//DC,AB=DC,所以AB=DC;

若AB=DC,则AB//DC,AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形.

uuur

所以“四边形ABCD是平行四边形”是“A=C”的充要条件.

故选：A.

6．D

【详解】由题意得，令x2-1>0，解得x<-1或x>1，

f(x)的定义域为(-¥,-1)È1,+¥,

设t(x)=x2-1，xÎ(-¥,-1)È1,+¥,

根据二次函数的性质可得t(x)在-¥,-1上单调递减，在1,+¥上单调递增，

又因为y=log2t在tÎ0,+¥为增函数，

2

根据复合函数同增异减原则，可得fx=log2x-1的单调递增区间为1,+¥.

7．D

【详解】对于A，两个角可能均为锐角，故A不正确；

o

对于B，可能一个角为0，一个角为90o，故B不正确；

对于C，可能两个角均为0o，故C不正确；

对于D，如果两个角均为90o，则两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，不是异面直线，故这两

个角不可能均为90o，故D正确.

故选：D.

8．B

bö

【详解】将函数fx=lnæça+÷b¹0的图象向右平移1个单位后得到函数

èxø

ö

gx=lnæça+÷=ln，

èø-

由题可知gx图象关于原点对称，所以gx为奇函数，

-ax-a+bax-a+b

所以g-x=-gx，即ln=-ln，

--x1x-1

-ax-a+bx-1

所以=，即1-x2=a2+b2-2ab-a2x2，

-x-1ax-a+b

2

ìa=1

所以í,

22

îa+b-2ab=1

ìa=1ìa=1ìa=-1ìa=-1

解得í（因为b¹0，舍去），或í,或í（因为b¹0，舍去），或í,

îb=0îb=2îb=0îb=-2

所以ab=2.

9．ABD

【详解】a+b=ln2+ln3=ln6，选项A正确；

2b=2ln2=ln4，选项B正确；

==log23，选项C错误；

a+2bln3+ln4ln12

===log412，选项D正确.

2bln4ln4

10．AD

a2+b2-c2ab1

【详解】A选项，由余弦定理得cosC===，

2ab2ab2

因为CÎ0°,180°,所以C=60°,A正确；

B选项，a=，b=3，A=30°,则bsinA=，故a<bsinA，

则满足条件的VABC不存在，B错误；

C选项，a=3，cosA=-，由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA，

2

故b2+c2-9=-bc，所以b+c-9=bc，

2

b+c

由基本不等式得bc£，当且仅当b=c时，等号成立，

4

2

故b+c-9£,解得b+c£2，故a+b+c£2+3，

所以VABC周长的最大值为3+23，C错误；

D选项，因为a>b，所以A>B，

因为AÎ0,π,BÎ0,π,y=cosx在xÎ0,π上单调递减，

所以cosA<cosB，D正确.

11．ABC

【详解】取AC中点为N，连接A1C，DN，

1

因为D为BC中点，所以DN//AB，DN=AB，

2

又因为M为A1B1中点，所以A1M//AB，A1M=AB，

所以A1M//DN，A1M=DN，所以四边形A1MDN为平行四边形，

所以DM//A1N，又DMË平面AA1C1C，A1NÌ平面AA1C1C，

所以DM//平面AA1C1C，故A正确；

因为AA1^平面ABC，所以三棱锥A-MDC的高为AA1，

所以2，故正确；

VA-MDC=VM-ADC=´SVADC×AA1=´SVABC×AA1=´´2sin60°´2=B

取AB中点为E，过E作EF^AD于F，连接MF，

又因为M为A1B1中点，所以A1M//AE，A1M=AE，

所以四边形A1MEA为平行四边形，所以ME//A1A，

又AA1^平面ABC，所以ME^平面ABC，

又ADÌ平面ABC，所以ME^AD，

又EFIAD=F，EF,ADÌ平面MEF，所以AD^平面MEF，

又因为MFÌ平面MEF，所以AD^MF，

所以ÐMFE为平面ADM与平面ABC所成二面角的平面角，

因为D为BC中点，所以AD^BC，所以EF//BD，

所以EF=BD=BC=，又ME=2，所以MF===，

ME24

sinÐMFE===

在RtVMEF中，MF1717，

2

所以平面ADM与平面ABC所成二面角的正弦值为，故C正确；

取正三棱柱ABC-A1B1C1上下底面的正三角形的中心为O2,O1，连接O2O1，

由正三棱柱的性质可知正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心为O2O1的中点O，

1AB122

AO1=×=×=

在正三角形ABC中，由正弦定理可得2sin60°233，

2

在RtOO1A中，外接球的半径OA===，

△

所以正三棱柱ABC-A₁BC₁外接球的表面积为,故D错误.

12.4

【详解】设圆心角为θ,半径r=1,故解得θ=4.

13.

【详解】a在b方向上的投影为

14.sin(aα+β=sinαcosβ+cosasinβ

【详解】由图中所给数据易得图甲中阴影部分的面积为,图乙中阴影

部分的面积为S₂=sinacosβ+cosasinβ,又S₁=S₂,

∴sin(α+β)=sinacosβ+cosasinβ.

15.(1)C=120°,△ABC的面积为

=p(p-a)(p-b)(p-c),

SABc=√p(p-a)(p-b)(p-c)

a2+b2-c29+25-491

【详解】（1）由余弦定理可得cosC===-，

2ab2´3´52

因为角C为三角形内角，则CÎ0,π,则C=120°,

1115

VABC的面积S=absinC=´3´5´sin120°=.

224

（2）略.

öö

16．(1)fx=cosæçx-÷,æç2kπ+,0÷,kÎZ

èøèø

(2)最大值1，最小值

(3)-

öö

【详解】（1）由已知图象平移得y=cosx-÷,所以fx=cosæçx-÷,

øèø

ö

设t=x-，y=cost的对称中心为æçkπ+,0÷,kÎZ，

èø

1ππ4π

令x-=kπ+,解得x=2kπ+,

2623

ö

所以fx的对称中心为æç2kπ+,0÷kÎZ.

èø

éùéù

（2）当xÎ0,ú时，则t=x-Î-,ú,

êëûêëû

éù

因为y=cost为偶函数，且在tÎ0,ú上为减函数，

êëû

1ππ

所以当t=x-=0，即x=时，fx有最大值f(x)max=1；

263

1πππ2px

当t=x-=-或,即x=0或时，f有最小值f(x)=.

26663min2

æö

（3）因为fa=cosça-÷=，设a-=m，则a=2m+且cosm=，

èø

æπöæππöæπö

可得sina+÷=sin2m++÷=sin2m+÷=cos2m，

çè6øçè36øçè2ø

2

ö2æ1ö

所以sinæça+÷=cos2m=2cosm-1=2´ç÷-1=-.

èøè4ø

17．(1)QPO^平面ABC，ABÌ平面ABC，\PO^AB

QAC=BC，D是AB中点，\CD^AB

又QCDÌ平面POC，POÌ平面POC，CDÇPO=O，\AB^平面POC

QPCÌ平面POC，\AB^PC

3

(2)

10

【详解】（1）略

（2）法一：

连接PD，QAB^平面POC，ABÌ平面PAB，平面PAB^平面POC

过C作CM^PD，M为垂足.∴

平面PABI平面POC=PD，CMÌ平面POC，\CM^平面PAB，

∵\ÐCPD为CP与平面PAB所成角.

uuuruuur

QOC=-2OD，CD=3，\OC=2，OD=1.

QPO^平面ABC，CDÌ平面ABC，\PO^CD.

PC==2，

PD==，

11

QS=PO´CD=PD´PC´sinÐCPD，

VPCD22

PO´CD2´33

\sinÐCPD===.

PD´PC5´2210

即CP与平面PAB所成角正弦值为.

法二：

连接PD，过C作CM^PD，

QAB^平面POC，CMÌ平面POC，\AB^CM.

又QCM^PD，PDÌ平面PAB，ABÌ平面PAB，ABIPD=D，

\CM^平面PAB.

\ÐCPD为CP与平面PAB所成角，

uuuruuur

QOC=-2OD，CD=3，\OC=2，OD=1，

QPO^平面ABC，CDÌ平面ABC，\PO^CD.

PC==2，

PD==，

222

由余弦定理，PD+PC-CD5+8-9

cosÐCPD===，

2PD´PC2´´210

éù

QÐCPDÎ0,ú,

êëû

即CP与平面PAB所成角正弦值为

18.(1)2

(2)(i)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为V轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设AE=x,则A(0,0),F(2,x),D(0,2),E(x,0),

DE=(x,-2),AF=(2,x),

DE·AF=2x-2x=0,

故DEAF,

故恒有∠AMD=90°.

(ii)(DM·DC)=2

【详解】(1)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为V轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则AE=1,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,0),

DE=(1,-2),AB=(2,0),

DE·AB=2×1-2×0=2.

(2)(i)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为V轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设AE=x,

则A(0,0),F(2,x),D(0,2),E(x,