2024-2025学年广东梅州梅江区八年级(下)期末数学试卷及答案

数学2024-2025学年广东省梅州市梅江区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(3分)分式x+1x−2A.x=−1B.x≠−1C.x=2D.x≠22.(3分)“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样.双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福.下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3.(3分)不等式x+1⩾−1的解集为（）A.x⩾2B.x⩾−2C.x⩽2D.x⩽−24.(3分)如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60∘，AC=6，则A.3B.6C.3D.35.(3分)如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱MN垂直于地面，点M是AB的中点，MN=0.55m，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（）A.0.8mB.0.9mC.1.1mD.1.2m6.(3分)点A(−2,3)与点B(a,b)关于原点对称，则A.−1B.1C.6D.−67.(3分)将一台带有保护套的平板电脑按图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示.经测量AB=10cm，BC=12cm，若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则A.32cmB.34cmC.32cm或34cmD.36cm8.(3分)综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)(1)作BD的垂直平分线交BD于点O；(2)连接AO，在AO的延长线上截取OC=AO；(3)连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求.在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等9.(3分)如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F.若AB=11，AD=7，则EF的长是（）A.3B.4C.5D.610.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，AB=5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A.15B.5C.3D.12二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分。11.(3分)分解因式：a2−5a=12.(3分)若点Q(x,y)满足1x+1y13.(3分)如图，已知传送带与水平面所成角度是30∘，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为米.14.(3分)若关于x的分式方程x−3x−1=mx−1产生增根，则m15.(3分)如图，正五边形ABCDE绕点A旋转了α角，当α=30∘时，则∠1=三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分。16.(7分)解方程：12x−517.(7分)解不等式组&2x⩽818.(7分)如图，在边长为1个单位长度的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，已知点O和△ABC的顶点均在格点上.(1)△ABC和△A'B'C'(2)将点A'向左平移n个单位长度后得到点D，当n的值为______时，四边形ABCD是平行四边形，且平行四边形ABCD四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分。19.(9分)先化简，再求值：已知：xy=3，求20.(9分)已知：如图一次函数y1=−x−2与y2(1)求点A的坐标；(2)若一次函数y1=−x−2与y2=x−4的图象与x轴分别相交于点B、(3)结合图象，直接写出y1⩾y21.(9分)今年4月23日是第29个世界读书日.某中学举办“书香润心灵·阅读伴成长”的主题活动.学校图书馆计划订购一批鲁迅文集和四大名著套装.(1)管理员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元.花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同.求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？(2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22.(13分)追本溯源题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2).(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.方法应用(2)如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.①图中一定是等腰三角形的有______.A.3个B.4个C.5个D.6个②已知AB=3，BC=5，求CF的长.23.(14分)综合与实践特例感知：如图1，在等边三角形ABC中，D是BC延长线上一点，且CD<BC，以CD为边作等边三角形CDE，连接BE，分别过点B作BF∥ED,过点D作DF∥BE，交于点F，连接AF，AC与BE交于点G.(1)试判断AF和BE的数量关系，并说明理由.猜想论证：(2)将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中AF和BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由.拓展延伸：(3)将如图1所示的△CDE绕点C按逆时针方向旋转角度α(0∘<α数学2024-2025学年广东省梅州市梅江区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、【答案】D【知识点】分式有意义的条件2、【答案】D【知识点】中心对称图形3、【答案】B【知识点】解一元一次不等式4、【答案】A【知识点】平方根,直角三角形斜边上的中线5、【答案】C【知识点】三角形中位线定理6、【答案】D【知识点】关于原点对称的点的坐标7、【答案】C【知识点】等腰三角形的性质8、【答案】C【知识点】作图—复杂作图,平行四边形的判定9、【答案】A【知识点】平行四边形的性质10、【答案】D【知识点】轴对称-最短路线问题二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分。11、【答案】a【知识点】因式分解-提公因式法12、【答案】(2,−1)(答案不唯一，满足x+y=1且x≠0,y≠0)【知识点】点的坐标13、【答案】10【知识点】勾股定理的应用14、【答案】−2【知识点】分式方程的增根15、【答案】138【知识点】多边形内角与外角三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分。16、【解答】解：原方程去分母得：x=6x−15，解得：x=3，检验：当x=3时，x(2x−5)≠0故原方程的解为x=3.【知识点】解分式方程17、【解答】解：&2x⩽8①&解不等式①得：x⩽4，解不等式②得：x>−1，故不等式组的解集为−1<x⩽4，在数轴上表示不等式的解集为：【知识点】解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集18、【解答】解：（1）如图，△A'B(2)由图可知，点A'向左平移2个单位长度后得到点D，四边形ABCD∴n=2.平行四边形ABCD的周长为1+2+1+2=6.故答案为：2；6.【知识点】作图-旋转变换四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分。19、【解答】解：4xy=====−x−y∵x∴x=3y，∴原式=−3y−y【知识点】分式的化简求值20、【解答】解：（1）解方程组&y=−x−2&y=x−4所以点A坐标为(1,−3)；(2)当y1=0时，−x−2=0，x=−2，则B点坐标为当y2=0时，x−4=0，x=4，则C点坐标为∴BC=4−(−2)=6∴△ABC的面积=1(3)根据图象可知，y1⩾y2时【知识点】一次函数与一元一次不等式,一次函数的性质21、【解答】解：（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是(x+25)元，由题意列分式方程得：3000x整理得，100x=75000，解得x=50，经检验，x=50是方程的解，且符合题意，∴x+25=50+25=75，答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元；(2)设购买鲁迅文集a套，则购买四大名著(30−a)套，由题意列一元一次不等式组得：&50a+75×(30−a)≤1960(30−a)−a≥4解得11.6⩽a⩽13，∵a为正整数，∴a=12或13，故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套.【知识点】分式方程的应用五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22、【解答】解：(1)△BDE的形状是等腰三角形，理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵BC∥ED，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠ABD，∴EB=ED，∴△BDE是等腰三角形.(2)①共有四个等腰三角形.分别是：△ABE，△ABG，△AFD，△CGF，故答案为：B；②由(1)可知，∠ABE=∠EBG=∠AEB.AB=AE=3，∵AF⊥BE，∴∠BAF=∠EAF.∵BC∥AD，∴∠EAG=∠AGB，∴∠BAF=∠AGB，∴AB=BG=3，∵AB∥FD，∴∠BAF=∠CFG，∵∠AGB=∠CGF，∴∠CGF=∠CFG，∴CG=CF，∵CG=BC−BG=5−3=2，∴CF=2.【知识点】等腰三角形的判定与性质23、【解答】解：(1)AF=BE∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB=BC，CE=ED，∠ABC=∠ECD=∠EDC=60∴∠BCE=180∵BF∥ED，∴∠FBD=∠EDC=60∴∠ABF=∠ABC+∠FBD=120∴∠ABF=∠BCE，∵DF∥BE,BF∥ED，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BF=ED，∴BF=CE，∴△ABF≌△BCE(SAS)∴AF=BE；(2)如图1，仍然成立，理由如下：延长BC，交ED于T，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA=CB