高考数学一轮复习 讲义 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课标解读考向预测1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.近三年高考主要考查了直线与圆有公共点求参数的取值范围、直线与圆相切以及弦长最值问题，主要以选择题、填空题的形式出现，常结合基本不等式、函数等知识考查最值．预计2027年高考本部分内容仍会考查，以选择题或设问方式为开放性的填空题为主，难度中档.1．直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δeq\o(□,\s\up1(01))<0Δeq\o(□,\s\up1(02))＝0Δeq\o(□,\s\up1(03))>0几何观点deq\o(□,\s\up1(04))>rdeq\o(□,\s\up1(05))＝rdeq\o(□,\s\up1(06))<r2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)位置关系图形几何法公切线条数外离d>r1＋r24外切d＝r1＋r23相交|r1－r2|<d<r1＋r22内切d＝|r1－r2|1内含0≤d<|r1－r2|01．圆的切线方程常用的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(3)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．题组一走出误区——判一判(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(4)在圆中最长的弦是直径．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离答案：B解析：圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，而0<eq\f(\r(2),2)<1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．故选B.(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．外离 B．外切C．相交 D．内切答案：C解析：圆O1：x2＋y2－2x＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为O1(1，0)，半径为r1＝1，圆O2：x2＋y2＋4y＝0化为标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为O2(0，－2)，半径为r2＝2，所以两圆的圆心距为|O1O2|＝eq\r(（－1）2＋（－2）2)＝eq\r(5)，所以1＝|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2＝3，因此两圆的位置关系为相交．故选C.(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是________________．答案：(x－3)2＋(y＋1)2＝1解析：由题意，得r＝eq\f(|3×3＋4×（－1）|,\r(32＋42))＝1，因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.(4)(人教B选择性必修第一册习题2.3.3例3(2)改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为________________．答案：y＝x＋1解析：圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，则圆心为C(3，2)，kCM＝eq\f(3－2,2－3)＝－1.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知，km·kCM＝－1，所以km＝1，所以所求直线的方程为y－3＝1×(x－2)，即y＝x＋1.考点一直线与圆的位置关系(1)(2026·甘肃张掖模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定答案：A解析：解法一(几何法)：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5)，所以直线l与圆C相交．解法二(代数法)：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋（y－1）2＝5，))消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆C相交．解法三(点与圆的位置关系法)：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．(2)(2025·新课标Ⅰ卷，7)若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是()A．(0，1) B．(1，3)C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)答案：B解析：因为圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的圆心(0，－2)到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离为d＝eq\f(|\r(3)×0＋（－1）×（－2）＋2|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝2，故由图可知，当r＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有1个点(点A)到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离等于1；当r＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有3个点(点B，C，D)到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离等于1.故当r的取值范围为(1，3)时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有2个点到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离等于1.故选B.(3)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r的值为________．答案：±eq\r(2)解析：由直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，得eq\f(|2|,\r(12＋12))＝|r|，即|r|＝eq\r(2)，故r的值为±eq\r(2).1．判断直线与圆的位置关系的常用方法特别地，对于过定点的直线，若定点在圆内部，则可判定直线与圆相交；若定点在圆上，则可判定直线和圆有公共点．2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离问题求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t.如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t.由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t.若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t.1.(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案：ABD解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．答案：(－3eq\r(2)，3eq\r(2))解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝eq\f(|－a|,\r(2))<3，解得－3eq\r(2)＜a＜3eq\r(2).考点二圆的弦长、切线问题(多考向探究)考向1弦长问题(1)(2026·江苏安宜高级中学模拟)过点P(－1，1)的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2eq\r(3) B.eq\r(15)C.eq\r(3) D．2答案：A解析：将圆C：x2＋y2＋4x－1＝0化为(x＋2)2＋y2＝5，圆心C(－2，0)，半径r＝eq\r(5)，因为(－1＋2)2＋12<5，所以点P(－1，1)在圆C内，记圆心C到直线l的距离为d，则|AB|＝2eq\r(5－d2)，由图可知，当d＝|CP|，即CP⊥l时，|AB|取得最小值，因为|CP|＝eq\r(（－1＋2）2＋12)＝eq\r(2)，所以|AB|的最小值为2eq\r(5－2)＝2eq\r(3).(2)(2025·天津卷，12)直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则r＝________．答案：2解析：因为直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A(－6，0)，与y轴交于点B(0，6)，所以|AB|＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)，又|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝2eq\r(2)，圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的半径为r，圆心(－1，3)到直线l1：x－y＋6＝0的距离为d＝eq\f(|－1－3＋6|,\r(2))＝eq\r(2)，故|CD|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(r2－（\r(2)）2)＝2eq\r(2)，解得r＝2.求直线被圆截得的弦长的两种方法3.设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为________．答案：x＝0或3x＋4y－12＝0解析：圆C的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆C的圆心是(1，1)，半径是2.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq\r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq\r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，即直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.4．(2023·新课标Ⅱ卷，15)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为eq\f(8,5)”的m的一个值：________．答案：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一个皆可以))解析：设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2eq\r(4－d2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\f(8,5)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)或d＝eq\f(2\r(5),5)，又d＝eq\f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(1＋m2))，所以eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(4\r(5),5)或eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得m＝±2或m＝±eq\f(1,2).考向2切线问题已知点P(eq\r(2)＋1，2－eq\r(2))，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解：由题意得，圆心C(1，2)，半径r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴切线的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－eq\r(2))＝x－(eq\r(2)＋1)，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，又点C(1，2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，∴直线x＝3是圆C的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切线方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\r(5)，∴过点M的圆C的切线长为eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系，求得切线斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式方程可求得切线方程，如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得到切线方程为y＝y0或x＝x0.2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求得k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k.注意验证斜率不存在的情况．3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．5.已知圆M过点A(1，3)，B(1，－1)，C(－3，1)，则圆M在点A处的切线方程为()A．3x＋4y－15＝0 B．3x－4y＋9＝0C．4x＋3y－13＝0 D．4x－3y＋5＝0答案：A解析：设圆M的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0，,D－E＋F＋2＝0，,－3D＋E＋F＋10＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝1，,E＝－2，,F＝－5，))所以圆M的方程为x2＋y2＋x－2y－5＝0，圆心为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以直线AM的斜率kAM＝eq\f(3－1,1＋\f(1,2))＝eq\f(4,3)，所以圆M在点A处的切线方程为y－3＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－15＝0.故选A.6．(2026·陕西西安一中模拟)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案：eq\r(7)解析：设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3，0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心M到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，所以|PM|的最小值为2eq\r(2)，此时|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)＝eq\r(（2\r(2)）2－1)＝eq\r(7).考点三圆与圆的位置关系(1)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为()A．相交 B．相离C．外切 D．内切答案：A解析：圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1，圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝eq\r(3).|O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交．故选A.(2)(多选)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则()A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C．两个圆心所在直线的斜率为－eq\f(4,3)D．两个圆公共弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0答案：BC解析：根据题意，圆C1：x2＋y2＝1，其圆心C1(0，0)，半径R＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，其圆心C2(3，－4)，半径r＝1，圆心距|C1C2|＝eq\r(9＋16)＝5，则|PQ|的最小值为|C1C2|－R－r＝3，最大值为|C1C2|＋R＋r＝7，故A错误，B正确；两个圆心所在直线的斜率k＝eq\f(－4－0,3－0)＝－eq\f(4,3)，故C正确；因为|C1C2|>R＋r＝2，所以两圆外离，不存在公共弦，故D错误．故选BC.(3)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：__________．答案：x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(写出其中一个即可)解析：解法一：如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)，))由对称性可知公切线l2过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,3))).设公切线l2的方程为y＋eq\f(4,3)＝k(x＋1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))，解得k＝eq\f(7,24)，所以公切线l2的方程为y＋eq\f(4,3)＝eq\f(7,24)(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝eq\f(4,3)x垂直．设公切线l3的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋t，易知t＞0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝eq\f(|t|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（－1）2))，解得t＝eq\f(5,4)，所以公切线l3的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.解法二：若两圆公切线的斜率不存在，则设其方程为x＝m，由题意得|m|＝1，且|m－3|＝4，解得m＝－1，所以此时两圆公切线的方程为x＝－1.若两圆公切线的斜率存在，则设其方程为y＝kx＋b，由题意得eq\f(|b|,\r(k2＋1))＝1，eq\f(|3k－4＋b|,\r(k2＋1))＝4，所以有|3k－4＋b|＝4|b|，可得3k－4＋b＝±4b，即b＝k－eq\f(4,3)或b＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)k.将b＝k－eq\f(4,3)代入eq\f(|b|,\r(k2＋1))＝1，化简可得k＝eq\f(7,24)，b＝－eq\f(25,24)；将b＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)k代入eq\f(|b|,\r(k2＋1))＝1，化简可得k＝－eq\f(3,4)，b＝eq\f(5,4).则可得两圆公切线的方程为y＝eq\f(7,24)x－eq\f(25,24)或y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.综上，可知两圆公切线的方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．7.圆C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0公切线的条数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：C解析：根据题意，圆C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0，即(x－3)2＋(y－5)2＝36，其圆心为(3，5)，半径r＝6；圆C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y＋7)2＝49，其圆心为(－2，－7)，半径R＝7，两圆的圆心距|C1C2|＝eq\r(（－2－3）2＋（－7－5）2)＝13＝R＋r，所以两圆外切，其公切线有3条．故选C.8．(2026·江苏启东中学模拟)已知P是圆M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上一动点，A，B是圆C：x2＋2x＋y2＋2y－2＝0上的两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围为________．答案：[4eq\r(2)－2，8eq\r(2)＋2]解析：由题意知，点P所在圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝2的圆心为M(2，2)，半径为eq\r(2)，且A，B所在圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(－1，－1)，半径为2.设D是AB的中点，连接CD，则CD垂直平分AB，则|CD|＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))\s\up12(2))＝1，所以点D在以C为圆心，1为半径的圆上，即点D所在圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，又由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，可得|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|，|eq\o(PD,\s\up6(→))|即为圆M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上的点与圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的点的距离，因为|MC1|＝eq\r(（2＋1）2＋（2＋1）2)＝3eq\r(2)，所以3eq\r(2)－1－eq\r(2)≤|eq\o(PD,\s\up6(→))|≤3eq\r(2)＋1＋eq\r(2)，所以4eq\r(2)－2≤2|eq\o(PD,\s\up6(→))|≤8eq\r(2)＋2，即|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围为[4eq\r(2)－2，8eq\r(2)＋2]．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★考点判断直线与圆的位置关系由直线与圆的位置关系求参数弦长问题切线问题由直线与圆的位置关系求参数由圆与圆的位置关系求参数切线问题由两圆的位置关系求参数；两圆的公共弦问题判断直线与圆的位置关系；弦长问题题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点两圆的公切线；两圆的公共弦判断圆与圆的位置关系；两圆的公共弦问题判断圆与圆的位置关系由直线与圆的位置关系求参数两圆的公切线切线问题；弦长问题求动点的轨迹方程；圆与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系切线问题一、单项选择题1．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＝0，直线l：2x－y－1＝0，则直线l与圆C的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心答案：B解析：由x2＋y2＋2x－4y＝0，可得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故圆心C(－1，2)，半径r＝eq\r(5)，则圆心到直线l：2x－y－1＝0的距离d＝eq\f(|－2－2－1|,\r(22＋1))＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5)＝r，故直线l与圆C相切．故选B.2．(2025·浙江宁波模拟)已知直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－2x－m＝0相离，则实数m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－1，1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)答案：B解析：圆C：x2＋y2－2x－m＝0即(x－1)2＋y2＝m＋1，则圆C的圆心为(1，0)，半径为eq\r(m＋1)，m>－1，因为直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－2x－m＝0相离，所以eq\f(|1＋1|,\r(2))>eq\r(m＋1)，解得－1<m<1.3．(2026·河北省级联考)已知圆x2＋y2－2x＋2y－10＝0被直线x－y＋2＝0所截，则截得的弦长为()A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4答案：D解析：x2＋y2－2x＋2y－10＝0可变形为(x－1)2＋(y＋1)2＝12，所以圆心为(1，－1)，半径r＝2eq\r(3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为d＝eq\f(|1＋1＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(12－8)＝4.故选D.4．(2026·湖南衡阳第一中学模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过直线3x＋4y－13＝0上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为()A．2 B．4C.eq\r(3) D．3答案：C解析：连接PC，则|PA|2＝|PC|2－|AC|2，当|PC|最小时，|PA|最小，又圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，则|PC|min＝eq\f(|3×1＋4×0－13|,\r(32＋42))＝2，故|PA|的最小值为eq\r(22－12)＝eq\r(3).故选C.5．若经过点(1，2)且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，且该圆上至少有三个不同的点到直线x－y＋c＝0的距离等于eq\f(5,2)，则实数c的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2),2)，\f(5\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(5,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2),2)，\f(5\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(5,2)))答案：C解析：由题意，可设圆心为(a，a)，则半径为a，故a>1，则圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，又圆经过点(1，2)，所以有(1－a)2＋(2－a)2＝a2，解得a＝1(舍去)或a＝5，所以圆的方程为(x－5)2＋(y－5)2＝25，因为该圆上至少有三个不同的点到直线x－y＋c＝0的距离等于eq\f(5,2)，所以圆心到直线x－y＋c＝0的距离d≤eq\f(5,2)，即eq\f(|5－5＋c|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)|c|≤eq\f(5,2)，解得c∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2),2)，\f(5\r(2),2))).故选C.6．(2026·安徽合肥模拟)已知直线l：(3m＋2)x＋(m－3)y－3m＋9＝0，若圆C：(x－4)2＋y2＝r2(r>0)上存在一点与点P(－1，3)关于直线l对称，则r的取值范围为()A．[3，6] B．[3，5]C．[4，6] D．[4，5]答案：C解析：设点P(－1，3)关于直线l的对称点为Q(x，y)，则线段PQ的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)，\f(y＋3,2)))在直线l上，又eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(x＋1，y－3)，直线l的方向向量a＝(m－3，－3m－2)，而eq\o(PQ,\s\up6(→))·a＝0，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3m＋2）·\f(x－1,2)＋（m－3）·\f(y＋3,2)－3m＋9＝0，,（x＋1）（m－3）＋（y－3）（－3m－2）＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3x＋y－6）m＝－2x＋3y－7，,（x－3y＋10）m＝3x＋2y－3，))消去m，得(3x＋y－6)(3x＋2y－3)＋(2x－3y＋7)(x－3y＋10)＝0，整理得x2＋y2－6y＋8＝0，即x2＋(y－3)2＝1，于是点Q在以点D(0，3)为圆心，1为半径的圆上，而圆C：(x－4)2＋y2＝r2(r>0)是以点C(4，0)为圆心，r为半径的圆，|CD|＝5，依题意，点Q在圆C上，则圆C与圆D有公共点，即这两个圆相交或相切，因此|r－1|≤|CD|≤r＋1，即|r－1|≤5≤r＋1，解得4≤r≤6，所以r的取值范围为[4，6]．故选C.7．(2026·山西名校联盟质检)已知点A(－1，1)，B(3，3)，线段AB为⊙M的一条直径．设过点C(2，－1)且与⊙M相切的两条直线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)答案：D解析：因为A(－1，1)，B(3，3)，线段AB为⊙M的一条直径，所以圆心Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋3,2)，\f(1＋3,2)))，即M(1，2)，⊙M的半径r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)eq\r(（－1－3）2＋（1－3）2)＝eq\r(5).由题意可知，两条切线的斜率均存在，故设过点C(2，－1)的⊙M的切线方程为y＝k(x－2)－1，则圆心M到该切线的距离为eq\f(|－k－1－2|,\r(1＋k2))＝r＝eq\r(5)，化简可得2k2－3k－2＝0，Δ＝25>0，故k1，k2是方程2k2－3k－2＝0的两个不等实根，则k1＋k2＝eq\f(3,2).故选D.8．(2025·山东菏泽模拟)已知圆C1：x2＋(y－3)2＝8与圆C2：(x－a)2＋y2＝8相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则S△C1PC2的最小值为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(9,2)C.eq\f(27,2) D.eq\f(\r(23),2)答案：B解析：圆C1：x2＋(y－3)2＝8的圆心为C1(0，3)，半径r1＝2eq\r(2)，圆C2：(x－a)2＋y2＝8的圆心为C2(a，0)，半径r2＝2eq\r(2)，因为两圆相交，则0<|C1C2|<4eq\r(2)，即0<eq\r(a2＋9)<4eq\r(2)，解得－eq\r(23)<a<eq\r(23)，两圆的方程相减，得a(2x－a)－3(2y－3)＝0，即直线AB的方程为a(2x－a)－3(2y－3)＝0，当a＝0时，直线AB的方程为2y－3＝0，此时AB∥x轴，与x轴没有交点，不符合题意，当a≠0时，令y＝0，得x＝eq\f(a,2)－eq\f(9,2a)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(9,2a)，0))，则S△C1PC2＝eq\f(1,2)×3×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(9,2a)－a))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(9,a)))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|a|＋\f(9,|a|)))≥eq\f(3,4)×2eq\r(|a|×\f(9,|a|))＝eq\f(9,2)，当且仅当|a|＝eq\f(9,|a|)，即a＝±3时，等号成立，所以S△C1PC2的最小值为eq\f(9,2).二、多项选择题9．(2026·福建泉州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则()A．直线l过定点(3，1)B．直线l与圆C可能相离C．圆C在y轴上截得的弦长为4eq\r(6)D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为x＋2y－5＝0答案：AC解析：直线l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))即直线l恒过定点(3，1)，A正确；点(3，1)与圆心(1，2)的距离d＝eq\r(5)＜5，故直线l与圆C恒相交，B错误；令x＝0，则(0－1)2＋(y－2)2＝25，可得y＝2±2eq\r(6)，故圆C在y轴上截得的弦长为4eq\r(6)，C正确；要使直线l被圆C截得的弦长最短，只需点(3，1)与圆心(1，2)的连线垂直于直线l，所以直线l的斜率为－eq\f(2m＋1,m＋1)＝2，可得m＝－eq\f(3,4)，故直线l的方程为2x－y－5＝0，D错误．故选AC.10．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则()A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq\r(2)答案：ABD解析：对于A，因为两圆相交，所以圆O1和圆O2有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得直线AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆O1的圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq\r(2)，故D正确．故选ABD.11．(2026·广东清远四校联考)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)，P，Q分别是圆C1与圆C2上的点，则()A．若圆C1与圆C2无公共点，则0<r<4B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0C．当r＝2时，PQ斜率的最大值为－eq\f(7,24)D．当r＝3时，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于eq\f(π,2)答案：BC解析：对于A，当两圆内含时，r可以无穷大，故A错误；对于B，当r＝5时两圆相交，两圆的方程作差，可得公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0，故B正确；对于C，当r＝2时，如图1，PQ和CD为两条内公切线，M为直线PQ与CD的交点且CD：x＝1，由平面几何知识可知|CD|＝4，eq\f(|CM|,|MD|)＝eq\f(1,2)，则|CM|＝eq\f(1,3)|CD|＝eq\f(4,3)，所以可得tan∠C1MC＝eq\f(3,4)，tan∠PMC＝eq\f(2tan∠C1MC,1－tan2∠C1MC)＝eq\f(24,7)，kPQ＝－eq\f(1,tan∠PMC)＝－eq\f(7,24)，即PQ斜率的最大值为－eq\f(7,24)，故C正确；对于D，如图2，当点P在P1位置时，∠APB最大，此时|P1C2|＝4，则sin∠A1P1C2＝eq\f(3,4)，又eq\f(3,4)>eq\f(\r(2),2)，所以∠A1P1C2>eq\f(π,4)，则∠A1P1B1＝2∠A1P1C2>eq\f(π,2)，当点P在P2位置时，∠APB最小，此时|P2C2|＝6，则sin∠A2P2C2＝eq\f(1,2)，所以∠A2P2C2＝eq\f(π,6)，则∠A2P2B2＝2∠A2P2C2＝eq\f(π,3)，所以中间必然有位置使得∠APB＝eq\f(π,2)，故D错误．故选BC.三、填空题12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．答案：8解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.因为|C1C2|>r1＋r2，所以圆C1与圆C2外离．又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.13．若直线y＝k(x＋2)－1与曲线y＝eq\r(1－x2)有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________．答案：1(答案不唯一)解析：直线y＝k(x＋2)－1过定点(－2，－1)，曲线y＝eq\r(1－x2)，即x2＋y2＝1(y≥0)，表示半圆，如图所示，当直线与半圆相切时，圆心(0，0)到直线y＝k(x＋2)－1的距离d＝eq\f(|2k－1|,\r(k2＋1))＝1，所以k＝0(舍去)或k＝eq\f(4,3)，由于直线y＝k(x＋2)－1与曲线y＝eq\r(1－x2)有两个不同的交点，当直线y＝k(x＋2)－1过(－1，0)时，斜率最小，为1，所以由图可知，实数k的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))，故实数k的一个取值为1.(答案不唯一)14．已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1，则过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,3)))且与C1，C2都相切的直线方程为________________．答案：x＝2或5x＋12y－26＝0解析：若过M的切线斜率不存在，即为x＝2，此时显然与两圆都相切；若过M的切线斜率存在，不妨设切线方程为y－eq\f(4,3)＝k(x－2)，则C1(0，0)，C2(3，2)到y－eq\f(4,3)＝k(x－2)的距离分别为d1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2k－\f(4,3))),\r(k2＋1))＝2，d2＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k－\f(2,3))),\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(5,12)，则切线方程为y－eq\f(4,3)＝－eq\f(5,12)(x－2)，即5x＋12y－26＝0.综上，过点M且与两圆都相切的直线方程为x＝2或5x＋12y－26＝0.四、解答题15．(2026·辽宁大连模拟)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．解：(1)由题意知，圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，则圆心到直线的距离为d＝r，即eq\f(|2k－3－4k－1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)，所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|2＋3－3|,\r(2))＝eq\r(2).故所求弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－（\r(2)）2)＝2eq\r(2).16．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求点M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及△POM的面积．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．由题意，得eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以N(1，3)为圆心，eq\r(2)为半径的圆．因为|OP|＝|OM|，所以点M，P在以O为圆心，2eq\r(2)为半径的圆上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－eq\f(1,3)，故直线l的方程为x＋3y－8＝0.又|OM|＝|OP|＝2eq\r(2)，O到直线l的距离为eq\f(|－8|,\r(12＋32))＝eq\f(4\r(10),5)，