代数选论期末练习题及答案分享

代数选论期末练习题及答案分享考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空3分，共15分）1.设G是一个群，a,b∈G，若a^5=e,b^4=e且ab=b^2a，则a^2b^3ab^(-1)=______。2.设R是一个有单位元的交换环，a,b∈R，若a是零因子，则ab=0意味着______。3.域Q(√2)的元素可以表示为______的形式，其中x∈Q。4.设F是一个域，F[x]是F上的多项式环，p(x)∈F[x]是一个不可约多项式，则F[x]/⟨p(x)⟩是一个______。5.循环群Z_12的生成元有______个。二、选择题（每题4分，共20分。下列每个题目的选项中，只有一个是正确的，请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.下列哪个集合关于给定的运算构成群？(A)集合N={0,1,2,...}，运算为普通的加法。(B)集合R*=R\{0}，运算为普通的乘法。(C)集合M_2(R)={所有2x2实矩阵}，运算为矩阵的加法。(D)集合M_2(R)={所有2x2实可逆矩阵}，运算为矩阵的乘法。2.设G是一个有限群，|G|=n。若a∈G，则a的阶|a|满足：(A)|a|=1。(B)|a||G|。(C)|a|是n的因子。(D)|a|是n的倍数。3.下列哪个陈述是正确的？(A)每个环都是域。(B)每个域都是环。(C)每个域都是整环。(D)每个整环都是域。4.设R是一个有单位元的环，I和J是R的理想。则I∩J也是R的一个：(A)子环。(B)理想。(C)单位理想。(D)零理想。5.设F是一个域，F(x)是F上的有理函数域。下列哪个多项式在F[x]中不可约？(A)x^2+1(假设F=Q)。(B)x^2+x+1(假设F=Q)。(C)x^3-2(假设F=Q)。(D)x^2-4(假设F=Q)。三、判断题（每题3分，共15分。下列每个题目的说法为真请填“√”，为假请填“×”）1.如果群G中存在一个元素a≠e使得a的阶为2，则a必为G的中心元素。()2.设R是一个整环，a,b∈R，若ab=0，则a=0或b=0。()3.任何域的乘法群都是循环群。()4.如果域F包含在域F'中，且F'是F的扩域，则F'也一定是F的扩域。()5.有限域的阶一定是素数的幂。()四、计算题（每题8分，共32分）1.设G=<a>是一个阶为6的循环群，其中a^3≠e。求G的子群全体。2.在Z_6(整数模6意义下的加法群)中，求元素5的阶，并求所有元素的阶。3.设R=Z[x]，I=⟨x^2+1⟩是R的一个理想。求商环R/I的元素形式，并给出R/I中的一个乘法表（只需列出部分关键运算结果）。4.设F=Q(√2)，其中Q是有理数域。求多项式x^4-2在F[x]中的所有根（如果存在）。五、证明题（每题10分，共50分）1.设G是一个群，a∈G。证明：如果a和a的逆元a^(-1)可交换，即aa^(-1)=a^(-1)a，则a的阶为2。2.设R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想。证明：商环R/I也是一个有单位元的交换环，并求R/I的单位元。3.设F是一个域，F[x]是F上的多项式环。证明：F[x]中的零因子一定是不可约多项式。4.设F是一个域，K是F的一个扩域。证明：如果K是F的有限扩域，则K是一个有限维向量空间overF。5.设G是一个群，a∈G。证明：a的阶等于a生成的子群<a>的阶。试卷答案一、填空题1.e2.b是零因子3.a+b√2,a,b∈Q4.域5.4二、选择题1.B2.C3.B4.B5.C三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√四、计算题1.G的子群全体为{e},<a^3>,<a^2>,<a>,G。因为6是素数的幂，且a^3≠e，所以a^3的阶为2。根据子群阶数必须是群阶的因子，可得上述子群。2.元素5的阶为6。因为gcd(5,6)=1，根据阶的定义，阶等于|G|/gcd(a,|G|)=6/1=6。所有元素的阶：0的阶为1，1的阶为6，2的阶为3，3的阶为2，4的阶为3，5的阶为6。3.R/I的元素形式为f(x)+I，其中f(x)∈R。即f(x)=a_0+a_1x+x^2g(x)(a_0,a_1∈Z,g(x)∈Z[x])。商环中的加法为(f(x)+I)+(h(x)+I)=(f(x)+h(x))+I。商环中的乘法为(f(x)+I)(h(x)+I)=f(x)h(x)+I。乘法表示例：(x+I)(x+I)=x^2+I=(x^2+1)+I=0+I=0。所以(x+I)^2=0。类似可计算其他结果，如(2+I)(x+I)=2x+I。4.x^4-2在Q[x]中不可约。假设它在Q[x]中可约，则其必有Q中的根或可分解为次数较低的多项式之积。先检查Q中的元素±1,±2是否为根，均不为根。设f(x)=x^4-2，f'(x)=4x^3。4x^3=0只有根x=0(重根)，0不是f(x)的根。因此f(x)无Q中根。由艾森斯坦判别法，取p=2，f(x)在Q[x]中不可约。因此x^4-2在Q(√2)中无有理根。若考虑在Q(√2)中求根，则x^4=2，x=±√(√2)=±2^(1/4)。注意2^(1/4)∉Q(√2)(因为(2^(1/4))^2=√2∉Q(√2))。所以x^4-2在Q(√2)中也无根。五、证明题1.证明a的阶|a|满足|a|^2=1。因为a^(-1)a=a^(-1)a，两边右乘a得a^(-1)=a^(-1)a^2，两边左乘a得a=aa^(-1)a^2=a^2。所以a^2=e。由阶的定义，|a|是满足a^k=e的最小正整数。a^2=e意味着|a||2。又因为|a|≤|G|，且|a|是正整数，所以|a|=1或|a|=2。如果|a|=1，则a=e，这与a≠e矛盾。因此|a|=2。2.证明R/I是有单位元的交换环。加法封闭、结合律、加法单位元0+I、加法逆元-(f(x)+I)=(-f(x))+I均成立。乘法封闭、结合律成立。分配律：对任意f(x),h(x),g(x)∈R，有f(x)(h(x)+I)g(x)+f(x)g(x)+I=f(x)h(x)g(x)+f(x)g(x)+I=f(x)(h(x)g(x)+g(x))+I=f(x)(h(x)g(x)+I)(g(x)+I)=f(x)(h(x)+I)g(x)+f(x)g(x)+I。交换律：因为R交换，且I是理想，所以f(x)g(x)=g(x)f(x)。乘法单位元：R的单位元1在R/I中对应1+I。对任意f(x)+I∈R/I，有(1+I)(f(x)+I)=1f(x)+I=f(x)+I。因此R/I是有单位元的交换环。单位元为1+I。3.证明。设f(x)是F[x]中的零因子，即存在g(x)∈F[x]且f(x)≠0,g(x)≠0使得f(x)g(x)=0(在F[x]中，0表示零多项式)。假设f(x)可约，则f(x)=h(x)q(x)其中h(x),q(x)∈F[x]且deg(h(x)),deg(q(x))>0。那么f(x)g(x)=(h(x)q(x))g(x)=h(x)(q(x)g(x))。因为F[x]是整环，所以h(x)q(x)=0蕴含h(x)=0或q(x)=0。若h(x)=0，则f(x)=0，与f(x)≠0矛盾。若q(x)=0，则f(x)g(x)=h(x)q(x)=h(x)0=h(x)=0，与f(x)g(x)=0但f(x)≠0,g(x)≠0矛盾。因此假设错误，f(x)不可约。4.证明。设K是F的有限扩域，|K|=q=p^n，p为素数。对任意k∈K，考虑F(k)在F上的次数[F(k):F]。由阶数关系[F(k):F]*[K:F(k)]=[K:F]。因为[F(k):F]≥1且[K:F(k)]≥1，所以[F(k):F]是q的一个正因子。又因为K是F的有限扩域，所以K是有限维向量空间。设dim_K(F)=m。则K是F的m维向量空间。对任意k∈K，F(k)是K的一个子域，且F(k)包含F，所以F(k)是K的一个F-子空间。因此F(k)的维数[F(k):F]必须是m的因子，也是q的因子。由于[F(k):F]≥1，且q=p^n是素数的幂，所以[F(k):F]必须是p的幂。即F(k)是F的有限扩域。对任意k∈K，F(k)是F的有限扩域。因此K是F的所有有限扩域的并集。设K=∪_{i=1}^nF_{i}，其中每个F_i是F的有限扩域。则K是F的有限维向量空间，维数为∑_{i=1}^ndim_{F_i}(F)。每个F_i是F的有限扩域，所以dim_{F_i}(F)是p的幂。因此dim_K(F)是p的幂。所以K是F的有限维向量空间。5.证明。设a∈G，|a|=m。则a^m=e。要证<a>=G，即对任意g∈G，存在整数k使得g=a^k。使用陪集分解。对任意g∈G，考虑a的陪集a^k={a^kx|x∈G}。我们需要证明存在k使得a^k=g。考虑映射φ:<a>->aG定义为φ(a^k)=a^k。首先证明φ是满射。对任意a^k∈aG，存在x∈G使得a^k=ax。取k'=k-1，则φ(a^{k'})=a^{k'}=ax=a^k。所以φ是满射。然后证明φ是单射。假设φ(a^k)=φ(a^l)，则a^k∈aG且a^l∈aG，即存在x,y∈G使得a^k=ax,a^l=ay。所以a^(k-l)=x。因为a^(k-l)∈<a>，所以k-l是0。因此k=l