2025年北京大学概率论与数理统计期末考试试卷（含历年真题解析）

2025年北京大学概率论与数理统计期末考试试卷（含历年真题解析）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设随机事件A,B满足P(A)=0.7,P(B|A)=0.6,P(A∪B)=0.9。求P(B)，P(A∩B)，P(B|A^c)。二、一个袋中有5个红球，3个黑球，从中不放回地依次抽取两个球。设X为抽到的红球个数。求X的分布律，并求P(X≤1)。三、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)。求P(X=0)。四、设随机变量X的概率密度函数为f(x)={c(x^2),0≤x≤10,其他}。求常数c，E(X)，D(X)。五、设随机变量X,Y独立同分布，均服从参数为p的0-1分布。令Z=X+Y。求Z的分布律，并求E(Z^2)。六、设随机变量(X,Y)的联合分布律如下：||Y=0|Y=1||-----|-----|-----||X=0|0.1|0.2||X=1|0.3|0.4|求E(X)，E(Y)，Var(X)，Var(Y)，Cov(X,Y)，ρ(X,Y)。七、设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知。从总体中抽取容量为n的样本X_1,X_2,...,X_n。求μ的矩估计量和最大似然估计量。八、设总体X服从均匀分布U(0,θ)，其中θ未知。从总体中抽取容量为2的样本X_1,X_2。求θ的矩估计量和最大似然估计量。九、设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ,σ^2均未知。从总体中抽取容量为16的样本，样本均值为10，样本方差为4。检验假设H_0:μ=9vsH_1:μ≠9。取显著性水平α=0.05，写出检验的步骤。十、设总体X服从正态分布N(μ_X,σ_X^2)，总体Y服从正态分布N(μ_Y,σ_Y^2)，且X,Y独立。从总体X中抽取容量为9的样本，样本均值为10，样本方差为3。从总体Y中抽取容量为16的样本，样本均值为11，样本方差为5。检验假设H_0:σ_X^2=σ_Y^2vsH_1:σ_X^2≠σ_Y^2。取显著性水平α=0.05，写出检验的步骤。十一、设某产品的重量X服从正态分布N(μ,0.5^2)。为检验μ是否等于10，随机抽取25件产品，测得样本均值为9.8。若要求检验的显著性水平为0.05，且当|μ-10|≥0.4时，检验能以90%的概率将μ判定为≠10。求此检验方案的第二类错误的概率。十二、某公司生产两种类型的电池，寿命分别服从正态分布N(μ_1,5000)和N(μ_2,4000)。为比较两种电池的寿命，随机抽取了20块第一种类型的电池和25块第二种类型的电池，测得样本均值分别为4500小时和4600小时。检验假设H_0:μ_1=μ_2vsH_1:μ_1<μ_2。取显著性水平α=0.01，写出检验的步骤。假设两种电池寿命的方差相等。试卷答案一、P(B)=P(A)P(B|A)+P(A^c)P(B|A^c)=0.7*0.6+(1-0.7)*P(B|A^c)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.9P(A∩B)=P(A)P(B|A)=0.7*0.6=0.420.9=0.7+P(B)-0.42P(B)=0.62P(A^c)P(B|A^c)=0.3*P(B|A^c)=0.7*0.62-0.42=0.18P(B|A^c)=0.6二、X的可能取值为0,1,2。P(X=0)=P(第一球黑,第二球黑)=(3/8)*(2/7)=3/28P(X=1)=P(第一球红,第二球黑)+P(第一球黑,第二球红)=(5/8)*(3/7)+(3/8)*(5/7)=15/28P(X=2)=P(第一球红,第二球红)=(5/8)*(4/7)=5/14分布律为：X:012P:3/2815/285/14P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=3/28+15/28=18/28=9/14三、P(X=1)=λ^1*e^(-λ)/1!=λe^(-λ)P(X=2)=λ^2*e^(-λ)/2!=λ^2e^(-λ)λe^(-λ)=λ^2e^(-λ)λ=λ^2λ(λ-1)=0λ=1(λ=0无意义)P(X=0)=e^(-λ)/0!=e^(-1)四、∫[0,1]c(x^2)dx=1c*∫[0,1]x^2dx=c*[x^3/3]_0^1=c*(1/3-0)=c/3=1c=3E(X)=∫[0,1]x*3x^2dx=3*∫[0,1]x^3dx=3*[x^4/4]_0^1=3/4E(X^2)=∫[0,1]x^2*3x^2dx=3*∫[0,1]x^4dx=3*[x^5/5]_0^1=3/5D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=3/5-(3/4)^2=3/5-9/16=48/80-45/80=3/80五、Z的可能取值为0,1,2,3。P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=(1-p)^2P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=(1-p)p+p(1-p)=2p(1-p)P(Z=2)=P(X=1,Y=1)=p^2P(Z=3)=P(X=1,Y=1)=p^2E(Z^2)=0^2*P(Z=0)+1^2*P(Z=1)+2^2*P(Z=2)+3^2*P(Z=3)=0+1*2p(1-p)+4*p^2+9*p^2=2p-2p^2+13p^2=2p+11p^2六、E(X)=0*(0.1+0.2)+1*(0.3+0.4)=0.7E(Y)=0*(0.1+0.3)+1*(0.2+0.4)=0.6Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=1^2*(0.3+0.4)-(0.7)^2=0.7-0.49=0.21Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=1^2*(0.2+0.4)-(0.6)^2=0.6-0.36=0.24Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)E(XY)=0*0*(0.1)+0*1*(0.2)+1*0*(0.3)+1*1*(0.4)=0.4Cov(X,Y)=0.4-0.7*0.6=0.4-0.42=-0.02ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(sqrt(Var(X))*sqrt(Var(Y)))=-0.02/(sqrt(0.21)*sqrt(0.24))sqrt(0.21)≈0.4583,sqrt(0.24)≈0.4899ρ(X,Y)≈-0.02/(0.4583*0.4899)≈-0.02/0.2244≈-0.089七、矩估计：E(X)=μ样本均值X̄=(1/n)ΣX_i令E(X)=X̄，则μ̂_矩=X̄最大似然估计：似然函数L(μ)=(1/(σ^2√(2π)))^n*exp(-Σ(X_i-μ)^2/(2σ^2))对μ求导数并令其为0：dL/dμ=(1/(σ^2√(2π)))^n*exp(-Σ(X_i-μ)^2/(2σ^2))*(-2Σ(X_i-μ)/2σ^2)0=-Σ(X_i-μ)/σ^2Σ(X_i-μ)=0nμ=ΣX_iμ̂_MLE=ΣX_i/n=X̄八、矩估计：E(X)=θ/2样本均值X̄=(1/n)ΣX_i令E(X)=X̄，则θ̂_矩=2X̄最大似然估计：似然函数L(θ)=θ^(-2n)*(θ-0)^n/n!L(θ)=θ^(-2n)*θ^n/n!=θ^(n-2n)/n!=θ^(-n)/n!dL/dθ=-nθ^(-n-1)/n!=0此方程无解，需从约束条件考虑。似然函数在θ≥max(X_i)时取最大值。θ̂_MLE=max(X_1,X_2)=max(X_i)九、检验步骤：1.提出假设H_0:μ=9vsH_1:μ≠92.选择检验统计量：由于σ^2已知，使用Z检验。Z=(X̄-μ_0)/(σ/√n)Z=(10-9)/(sqrt(4)/sqrt(16))=1/(2/4)=1/0.5=23.确定拒绝域：显著性水平α=0.05，双侧检验。拒绝域为Z<-z_(α/2)或Z>z_(α/2)。z_(0.025)≈1.96拒绝域为Z<-1.96或Z>1.964.做出决策：计算得到的Z=2，不在拒绝域内。由于2<1.96，Z不在拒绝域内。因此，不拒绝H_0。十、检验步骤：1.提出假设H_0:σ_X^2=σ_Y^2vsH_1:σ_X^2≠σ_Y^22.选择检验统计量：由于σ_X^2,σ_Y^2未知但相等，使用F检验。F=S_X^2/S_Y^2S_X^2=3,S_Y^2=5F=3/5=0.63.确定拒绝域：显著性水平α=0.05，双侧检验。自由度n1-1=8,n2-1=15。查F分布表得F_(0.025,8,15)≈3.20拒绝域为F<F_(1-α/2,n1-1,n2-1)或F>F_(α/2,n1-1,n2-1)拒绝域为F<1/3.20≈0.3125或F>3.204.做出决策：计算得到的F=0.6，不在拒绝域内。由于0.6<3.20，F不在拒绝域内。因此，不拒绝H_0。十一、α=0.05，检验统计量t=(X̄-μ_0)/(s/√n)当H_0为真(μ=10)时，拒绝域为|t|>t_(α/2,n-1)=t_(0.025,24)≈2.064当H_1为真(μ=10.4)时，需要计算β=P(第二类错误)=P(接受H_0|μ=10.4)μ=10.4时，统计量t_1=(X̄-10.4)/(s/√n)我们需要计算P(t_1≤-t_(α/2,n-1)|μ=10.4)=P(t_1≤-2.064|μ=10.4)t_1的分布为t_(n-1)分布，当μ=10.4时。t_1=[(X̄-10.4)/(s/√n)]=[(X̄-10)-0.4]/(s/√n)=t+(0.4*√n/s)t_1不再服从标准t分布，但我们可以用近似方法。t_1的分布近似于N(0,1+(t*(0.4*√n/s))^2)t=(9.8-10)/(0.5/√25)=-0.2/0.1=-2(0.4*√n/s)=(0.4*5/0.5)=4t_1近似服从N(0,1+(-2*4)^2)=N(0,1+64)=N(0,65)P(t_1≤-2.064|μ=10.4)≈P(Z≤(-2.064-0)/√65)=P(Z≤-0.258)查标准正态分布表，P(Z≤-0.258)≈0.3974β≈0.3974十二、检验步骤：1.提出假设H_0:μ_1=μ_2vsH_1:μ_1<μ_22.选择检验统计量：由于两总体方差未知但相等，使用t检验。合并方差估计量S_p^2=[(n1-1)S1^2+(n2-1)S2^2]/(n1+n2-2)S1^2=5000,S2^2=4000S_p^2=[(19*5000+24*4000)/(19+24-2)]=[95000+96000]/41=191000/41≈4658.54S_p=sqrt(4658.54)≈68.26t=(X̄_1-X̄_2)/(S_p*sqrt(1/n1+1/n2))t=(4500-4600)/(68.26*sqrt(1/20