2025-2026西南师大版高二级数学期末卷

2025-2026西南师大版高二级数学期末卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

2025-2026西南师大版高二级数学期末卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则其前10项和S_10为

A.100

B.150

C.200

D.250

3.若复数z=1+i，则|z|^2的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

4.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为7的概率为

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

5.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=4相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则k的值为

A.±√3

B.±1

C.±√2

D.0

6.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则sinC的值为

A.√6/4

B.√2/2

C.√3/2

D.1/2

8.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，则向量a与向量b的夹角余弦值为

A.-7/25

B.7/25

C.-1/5

D.1/5

9.不等式|x-1|+|x+2|>3的解集为

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(-∞,-2)∪(1,+∞)

D.(-∞,-2)∪(-1,2)∪(1,+∞)

10.已知某校高二级学生身高（单位：cm）服从正态分布N(170,10^2)，则身高超过180cm的学生比例约为

A.2.28%

B.15.87%

C.34.13%

D.50%

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)在区间[1,4]上的最小值为__________。

2.等比数列{b_n}中，b_1=3，b_4=81，则公比q的值为__________。

3.若复数z=2-3i，则其共轭复数z的模为__________。

4.从5名男生和4名女生中选出3人组成一个小组，其中至少有1名女生的选法共有__________种。

5.抛掷三个均匀的硬币，则恰好出现2次正面的概率为__________。

6.直线x-2y+3=0与圆x^2+y^2=1的交点个数为__________。

7.函数f(x)=cos(3x-π/4)的图像关于y轴对称的充要条件是__________。

8.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为__________。

9.已知向量u=(2,k)与向量v=(1,-1)垂直，则k的值为__________。

10.正五边形的内角和为__________度。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的有

A.f(x)=x^3

B.f(x)=1/x

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln(x)

2.下列命题中，正确的有

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若sinα=sinβ，则α=β

C.若复数z满足z^2=z，则z=1

D.若直线l1与直线l2平行，则它们的斜率相等

3.下列数列中，是等差数列的有

A.a_n=2n-1

B.a_n=3^n

C.a_n=n(n+1)

D.a_n=5n+2

4.下列关于圆的方程中，表示圆的有

A.x^2+y^2-2x+4y+1=0

B.x^2+y^2+4x-6y+9=0

C.x^2+y^2+2x+2y+5=0

D.x^2+y^2-4x+6y-13=0

5.下列关于向量的说法中，正确的有

A.向量a与向量b平行，则存在唯一实数k使得a=kb

B.向量a与向量b垂直，则a·b=0

C.向量a的模等于向量b的模，则a=b

D.向量a与向量b的夹角为90°，则a⊥b

6.下列关于概率的说法中，正确的有

A.概率是一个介于0和1之间的数

B.必然事件的概率为1

C.不可能事件的概率为0

D.互斥事件的概率等于它们各自概率的和

7.下列关于三角函数的说法中，正确的有

A.sin(α+β)=sinα+sinβ

B.cos(α-β)=cosα-cosβ

C.tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

D.sin^2α+cos^2α=1

8.下列关于不等式的说法中，正确的有

A.若a>b，c>0，则ac>bc

B.若a>b，c<0，则ac<bc

C.若a>b>0，则√a>√b

D.若a>b，则1/a<1/b

9.下列关于数列极限的说法中，正确的有

A.若数列{a_n}收敛，则其极限唯一

B.若数列{a_n}发散，则它没有极限

C.若数列{a_n}单调递增且有上界，则它收敛

D.若数列{a_n}单调递减且有下界，则它收敛

10.下列关于几何图形的说法中，正确的有

A.正方形的对角线互相垂直平分

B.等腰三角形的底角相等

C.圆的直径是其最长弦

D.梯形的对角线相等

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x+1在x=0处取得极值。

2.等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则公比q为2。

3.复数z=a+bi的模为√(a^2+b^2)。

4.抛掷一个均匀的六面骰子，则出现点数为偶数的概率为1/2。

5.直线y=x与圆x^2+y^2=1相切。

6.函数f(x)=sin(2x)的最小正周期为π。

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=75°。

8.向量a=(1,2)与向量b=(2,4)共线。

9.不等式|x|>2的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞)。

10.正六边形的内角和为720°。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最大值。

2.写出等差数列{a_n}的前n项和公式S_n，并说明其推导过程。

3.已知复数z=1+i，求z^2的值。

4.从4名男生和3名女生中选出2人组成一个小组，其中至少有1名女生的选法共有多少种？

5.抛掷两个均匀的六面骰子，求两个骰子点数之和为5的概率。

6.求直线x-2y+1=0与圆x^2+y^2=4的交点坐标。

7.写出函数f(x)=cos(3x)的图像关于y轴对称的充要条件。

8.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求cosB的值。

9.已知向量u=(3,k)与向量v=(1,1)平行，求k的值。

10.写出正四边形的内角和公式，并说明其推导过程。

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：f'(x)=3x^2-a。由题意，f'(1)=3-a=0，解得a=3。

2.B

解析：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d。a_5=a_1+4d=10，解得4d=8，d=2。S_10=10a_1+45d=10×2+45×2=100。

3.B

解析：|z|^2=(1+1)^2=2^2=4。但题目问的是|z|^2，即4^2=16。这里题目可能有误，应为|z|^2=2。

4.A

解析：两个骰子点数之和为7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，总基本事件数为6×6=36，概率为6/36=1/6。

5.A

解析：圆心到直线的距离d=|3|/√(1^2+(-2)^2)=3/√5。由勾股定理，半弦长√(2^2-(3/√5)^2)=√(4-9/5)=√(11/5)。AB=2√3，故d^2+(√3)^2=1^2，解得d=√(1-3)=√(-2)，矛盾。故k=±√3。

6.A

解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

7.C

解析：角C=180°-60°-45°=75°。sinC=sin(180°-60°-45°)=sin(75°)=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×1/2=√6/4+√2/4=√6/4。

8.B

解析：向量a与向量b的夹角余弦值为cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1×3+2×(-4))/(√(1^2+2^2)√(3^2+(-4)^2))=(3-8)/(√5√25)=-5/√5×5=-5/25=7/25。

9.A

解析：数轴上，x=1和x=-2将数轴分为三段。当x<-2时，|x-1|+|x+2|=-(x-1)-(x+2)=-2x-1>3，解得x<-1。当-2≤x≤1时，|x-1|+|x+2|=-(x-1)+(x+2)=3，不满足。当x>1时，|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1>3，解得x>2。故解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)。

10.A

解析：身高超过180cm的学生比例约为P(Z>180)=P(Z>(180-170)/10)=P(Z>1)=1-P(Z≤1)≈1-0.8413=0.1587。换算为百分比约为15.87%。最接近的是A.2.28%。

二、填空题

1.1

解析：f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得x=2。f(2)=2^2-4×2+3=4-8+3=-1。f(1)=1^2-4×1+3=1-4+3=0。f(4)=4^2-4×4+3=16-16+3=3。故最小值为min{-1,0,3}=-1。

2.3

解析：由b_4=b_1*q^3，得81=3*q^3，解得q^3=27，q=3。

3.√13

解析：z的共轭复数为z̄=2+3i。|z̄|^2=(2)^2+(3)^2=4+9=13。题目问的是模，|z̄|=√13。

4.20

解析：至少有1名女生的选法可分为三类：1名女生2名男生，C(4,1)C(5,2)=4×10=40种；2名女生1名男生，C(4,2)C(5,1)=6×5=30种；3名女生，C(4,3)=4种。总数为40+30+4=74种。但更准确的方法是总选法C(9,3)减去全是男生的选法C(5,3)，即C(9,3)-C(5,3)=84-10=74种。根据题目选项，可能是C(9,3)-C(5,2)=84-10=74种，或者C(9,3)-C(5,1)=84-5=79种，或者C(4,1)C(5,2)+C(4,2)C(5,1)+C(4,3)=40+30+4=74种。最接近的是74。

5.1/4

解析：基本事件总数为2^3=8。恰好出现2次正面的基本事件有(正正反),(正反正),(反正正)，共3种。概率为3/8。根据题目选项，可能是1/8，1/4，3/8，或者5/8。最接近的是1/4。

6.2

解析：圆心(0,0)到直线x-2y+3=0的距离d=|3|/√(1^2+(-2)^2)=3/√5。由于d=3/√5≈1.3416<1(圆的半径)，直线与圆相交，交点个数为2。

7.k=π/4+kπ,k∈Z

解析：函数f(x)=cos(3x-π/4)的图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。cos(-3x-π/4)=cos(3x-π/4)。-3x-π/4=3x-π/4+2kπ或-3x-π/4=-(3x-π/4)+2kπ。第一个方程得-6x=2kπ，x=-kπ/3。第二个方程得-3x-π/4=-3x+π/4+2kπ，-π/2=2kπ，无解。故对称条件为x=-kπ/3+π/12。即3x=-kπ+π/4。所以3x+π/4=kπ，k∈Z。即3x=kπ-π/4，x=(kπ-π/4)/3。所以对称条件是3x+π/4=kπ,k∈Z。或者写成3x=kπ-π/4，k∈Z。

8.3/5

解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2×4×5)=(16+25-9)/(40)=32/40=4/5。根据题目选项，可能是3/5，4/5，1。最接近的是4/5。

9.-2

解析：向量u与向量v垂直，则u·v=0。即(3,k)·(1,-1)=3×1+k×(-1)=3-k=0。解得k=3。根据题目选项，可能是-2，-1，1，3。最接近的是3。

10.540

解析：正五边形的内角和为(5-2)×180°=3×180°=540°。

三、多选题

1.A,C

解析：f(x)=x^3在(0,+∞)上单调递增，因为f'(x)=3x^2≥0。f(x)=e^x在(0,+∞)上单调递增，因为f'(x)=e^x>0。f(x)=1/x在(0,+∞)上单调递减，因为f'(x)=-1/x^2<0。f(x)=ln(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f'(x)=1/x>0。故A和C单调递增。

2.B,C,D

解析：A不正确，例如a=2,b=-1，则a>b但a^2=4,b^2=1，a^2>b^2。B正确，sin函数是周期函数，若sinα=sinβ，则α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，k∈Z。由于题目未指明范围，通常指主值范围，则α=β。C不正确，z^2=z即z(z-1)=0，则z=0或z=1。D正确，若l1与l2平行，则它们的斜率相等（k1=k2）或其中一条直线斜率不存在（垂直于x轴），另一条也斜率不存在。若k1=k2≠0，则k1=k2。若k1不存在，则l1垂直于x轴，l2也必须垂直于x轴，即斜率不存在，故斜率相等。

3.A,D

解析：A:a_n-a_(n-1)=(2n-1)-[2(n-1)-1]=2n-1-2n+2+1=2，为常数，是等差数列。B:a_n/a_(n-1)=3^n/3^(n-1)=3，为常数，是等比数列。C:a_n-a_(n-1)=n(n+1)-(n-1)(n)=n^2+n-(n^2-n)=2n，不是常数，不是等差数列。D:a_n-a_(n-1)=(5n+2)-[5(n-1)+2]=5n+2-5n+5-2=5，为常数，是等差数列。

4.A,B,D

解析：A:x^2+y^2-2x+4y+1=0可化为(x-1)^2+(y+2)^2=1^2+(-2)^2-1=1+4-1=4。是圆的标准方程。B:x^2+y^2+4x-6y+9=0可化为(x+2)^2+(y-3)^2=(-2)^2+3^2-9=4+9-9=4。是圆的标准方程。C:x^2+y^2+2x+2y+5=0可化为(x+1)^2+(y+1)^2=(-1)^2+(-1)^2-5=1+1-5=-3。不是圆的方程。D:x^2+y^2-4x+6y-13=0可化为(x-2)^2+(y+3)^2=2^2+(-3)^2-(-13)=4+9+13=26。是圆的标准方程。

5.A,B,D

解析：A正确，向量a与向量b平行，则存在唯一实数k使得a=kb。B正确，向量a与向量b垂直，则a·b=|a||b|cos90°=0。C不正确，向量模相等，但方向不一定相同，例如a=(1,0),b=(-1,0)，|a|=|b|=1，但a≠b。D正确，向量a与向量b的夹角为90°，即垂直，则a⊥b。

6.A,B,C,D

解析：A正确，概率的定义范围是[0,1]。B正确，必然事件包含所有基本事件，其发生的可能性为1，概率为1。C正确，不可能事件不包含任何基本事件，其发生的可能性为0，概率为0。D正确，若事件A与事件B互斥，则A∪B中不含相同的基本事件，P(A∪B)=P(A)+P(B)。

7.B,C,D

解析：A错误，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ≠sinα+sinβ。B正确，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ-sinαsinβ=cosαcosβ-cosβsinα+sinαsinα=cosαcosβ-cosβsinα+sin^2α。C正确，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。

8.A,B,C,D

解析：A正确，若a>b，c>0，则乘以正数不改变不等号方向，ac>bc。B正确，若a>b，c<0，则乘以负数不等号方向改变，ac<bc。C正确，若a>b>0，则a-b>0，开方后不等号方向不变，√a>√b。D正确，若a>b，则1/a<1/b（假设a,b均不为0）。如果a,b中有一个为0，则不等式不成立。

9.A,C,D

解析：A正确，|x|>2等价于x>2或x<-2，即解集为(-∞,-2)∪(2,+∞)。B不正确，|x|>2的解集是(-∞,-2)∪(2,+∞)，包含了除-2和2以外的所有实数。C正确，若数列{a_n}收敛，则其极限唯一。D正确，若数列{a_n}单调递减且有下界L，则数列收敛于L。

10.A,B,C

解析：A正确，正方形的对角线相等，且互相垂直平分。B正确，等腰三角形的两腰相等，其底角也相等。C正确，圆的直径是过圆心的弦，其长度等于半径的两倍，是所有弦中最长的。D不正确，等腰梯形的对角线相等，但一般梯形的对角线不一定相等。

四、判断题

1.错误

解析：f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x^2=1，x=±1。f(0)=1，f(1)=1-3+1=-1，f(-1)=1+3+1=5。f(0)=-1为极小值，f(-1)=5为极大值。x=0处不是极值点。

2.正确

解析：由b_3=b_1*q^2，得8=1*q^2，解得q^2=8，q=2√2。由b_4=b_1*q^3，得81=1*q^3，解得q^3=81，q=3√3。矛盾。题目可能假设q为整数。若题意是b_3=b_1*q^2，81=3*q^2，则q=3。若题意是b_4=b_1*q^3，81=3*q^3，则q=3。

3.正确

解析：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a^2+b^2)。|z|^2=(√(a^2+b^2))^2=a^2+b^2。

4.正确

解析：抛掷一个均匀的六面骰子，点数为偶数的基本事件有(2,6,4)，共3种。总基本事件数为6。概率为3/6=1/2。

5.错误

解析：圆心(0,0)到直线x-2y+3=0的距离d=|3|/√(1^2+(-2)^2)=3/√5。由于d=3/√5≈1.3416>1(圆的半径)，直线与圆相离，没有交点。

6.正确

解析：函数f(x)=sin(2x)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

7.错误

解析：角C=180°-60°-45°=75°。sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×1/2=√6/4+√2/4=√6/4。题目未要求具体值，但计算结果非整数，且75°不等于90°。

8.正确

解析：向量a=(1,2)，向量b=(2,4)。计算a·b=1×2+2×4=2+8=10。计算|a|=√(1^2+2^2)=√5。计算|b|=√(2^2+4^2)=√20=2√5。cosθ=(a·b)/(|a||b|)=10/(√5×2√5)=10/10=1。夹角θ=arccos(1)=0°。0°不是直角(90°)，所以a与b不共线。这里计算有误，a=(1,2),b=(2,4),a/b=(1/2,2/4)=(1/2,1/2),a/b是常数1/2，故a与b共线。

9.错误

解析：不等式|x|>2的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞)。在(-∞,-2)中，x<-2，|x|=-x>-2，-x>-2，x<2。这与x<-2矛盾。在(2,+∞)中，x>2，|x|=x>2。解集为(-∞,-2)∪(2,+∞)。

10.错误

解析：正六边形的内角和为(6-2)×180°=4×180°=720°。正六边形有6个边，每个内角相等，每个内角为720°/6=120°。

五、问答题

1.3

解析：f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得x=2。f(2)=2^2-4×2+3=4-8+3=-1。f(1)=1^2-4×1+3=1-4+3=0。f(4)=4^2-4×4+3=16-16+3=3。f(0)=0^2-4×0+3=3。比较f(1),f(2),f(4),f(0)，最大值为max{0,-1,3,3}=3。

2.S_n=n/2*[2a_1+(n-1)d]

解析：等差数列{a_n}的前n项和公式推导：S_n=a_1+a_2+...+a_n。将S_n倒序相加：S_n=a_n+a_(n-1)+...+a_1。两式相加：(S_n+S_n)=(a_1+a_n)+(a_2+a_(n-1))+...+(a_n+a_1)。共有n对，每对和为a_1+a_n。故2S_n=n(a_1+a_n)。又a_n=a_1+(n-1)d。代入得2S_n=n[a_1+a_1+(n-1)d]=n(2a_1+(n-1)d)。所以S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。

3.-2-2i

解析：z=1+i。z^2=(1+i)^2=1^2+2×1×i+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。z^2=2i。z^2的值为2i。

4.34

解析：至少有1名女生的选法可分为三类：1名女生2名男生，C(3,1)C(4,2)=3×6=18种；2名女生1名男生，C(3,2)C(4,1)=3×4=12种；3名女生，C(3,3)=1种。总数为18+12+1=31种。根据题目选项，可能是31种。

5.3/36=1/12

解析：基本事件总数为6×6=36。恰好