25.1一元二次方程的概念-2026秋人教版九年级上同步分层训练

25.1一元二次方程的概念-人教版九年级上同步分层训练一、夯实基础1．（2026八下·衢州期末）已知一元二次方程x2A．-4 B．4 C．-6 D．62．（2026八下·嵊州期末）在下列方程中，不属于一元二次方程的是（）A．15x2−22=x B．3．（2026八下·海宁期中）某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为x，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（）A．3600B．3600(1+x)=6000C．3600D．3600+3600(1+x)+36004．（2026八下·越城期中）我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（）A．x（x-1）=10 B．x（x+1）=10C．x（x-1）=10×2 D．x（x+1）=10×25．（2026·遂宁一模）若方程（a-1）x|a|+1-x+2=0是关于x的一元二次方程，则a的值为（）A．1 B．-1 C．±1 D．不确定6．（2026八下·杭州期末）把一元二次方程(x+22A．x2+3x+2=0 B．x2+5x+4=0 C．7．（2026·浙江二模）如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料).当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米?设矩形ABCD的边AB的长为x(m)，根据题意所列的方程是()A．x(62-2x)=600 B．x(60-2x)=600C．x(58-2x)=600 D．x(60-x)=6008．方程(x−12+5=3x+22x−3)化为一般形式是，其中二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是9．（2026八下·杭州期中）如果关于x的一元二次方程(a−3)x2+x+a210．填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项x212y−3二、能力提升11．（2026七下·深圳期末）《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?题目大意：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少?设木柱长为x尺，根据题意，可列方程为()A．82+x2=x−32 12．（2026八下·玉环期中）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态。如图，在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2。设边框的宽度为xcm，则列出的方程为（)A．（60+x)（80+x)=6300 B．（60-x)（80-x)=6300C．（60+2x)（80+2x)=6300 D．（60-2x)（80-2x)=630013．（2026八下·拱墅期末）已知关于x的一元二次方程ax2+514．（2026·甘肃）已知m是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则代数式2m15．若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1)x-（4k-1)=0|的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k=。16．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x.（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长x.三、拓展创新17．（2026八下·东阳期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度．设停车场内车道的宽度均为xm，根据题意所列方程为（）A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣2x）（22﹣2x）＝52018．（2026·遂宁一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一解为x=2024，则一元二次方程a（x-2）2+bx=2b-2必有一解为（）A．x=2026 B．x=2025 C．x=2024 D．x=202219．将一个容积为750cm3的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示.写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗?如果是，把它化为一元二次方程的一般形式.

答案解析部分1．【答案】A【知识点】已知一元二次方程的根求参数【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+mx−5=0的一个根为∴1−m−5=0∴m=−4．故答案为：A.【分析】把x=-1代入方程求出m的值即可.2．【答案】C【知识点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】解：A、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意．B、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意．C、由已知方程得到：﹣2x3﹣2x2+x＝0，属于一元三次方程，故本选项符合题意．

D、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的次数最高为2次的整式方程”解答即可.3．【答案】C【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：解：2021年经费3600万元，年增长率为x，

2022年经费：3600(1+x)，

2023年经费：3600(1+x)(1+x)=3600(1+x)2，

已知2023年投入6000万元，列方程：3600(1+x)2=6000．

故答案为：C．

【分析】先根据增长率公式依次写出2022，2023年的经费表达式；再结合2023年经费6000万元建立等式．4．【答案】C【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：设应邀参加比赛的足球队有x个，

∵每个队需要与除自身外的(x-1)个队各赛一场，且每场比赛由两个队参加，计算总场次时会重复计算一次，

∴总比赛场次为12x(x−1)，

已知计划安排10场比赛，因此列方程得：12故答案为：C.【分析】根据单循环每两队只赛一场的规则，推导总场次的数量关系即可得到方程.5．【答案】B【知识点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】解：由题可知，|a|+1=0，则a=1或-1，当a=1时，该方程为一元一次，

故a=-1

故答案为：B.【分析】根据一元二次方程的定义判断a的值即可.6．【答案】C【知识点】一元二次方程的一般形式【解析】【解答】解：∵(x+2)展开左边得x移项得x合并同类项得x2故答案为：C.【分析】利用完全平方公式展开，移项合并同类项解答即可．7．【答案】A【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解∶设矩形ABCD的边AB=x m，则BC=60+2−2x=(62−2x)m，根据题意，得x(62−2x)=600，故选∶A．【分析】用含x的代数式表示出BC长度，再根据矩形面积公式列方程即可．8．【答案】5x2−3x−12=0；5x2；5；【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式【解析】【解答】解：对原方程变形，得x整理，得5二次项为5x一次项为-3x，一次项系数为-3；常数项为-12.故答案为：5x

【分析】先去括号，然后移项合并同类项化为一般式ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2，bx，c分别为二次项、一次项和常数项，a，b分别叫做二次项系数、一次项系数，据此解答即可.9．【答案】−3【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数【解析】【解答】解：把x=0代入方程，得a2解得：a=±3；∵a−3≠0，∴a≠3，∴a=−3.故答案为：−3.【分析】把x=0代入方程得到a210．【答案】解：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项xx1-4-3222001110-92y−333-149【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式【解析】【分析】一元二次方程的定义及一般形式：形如ax2+bx+c=0(a,11．【答案】C【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：设木柱长为x尺

由题意可得：82+x212．【答案】C【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：根据题意知，边框是四周都镶嵌的，所以上下、左右各有一个宽度为xcm的边框：

原刺绣长80cm，加上左右边框，挂图总长为：80+2x

原刺绣宽60cm，加上上下边框，挂图总宽为：60+2x

已知挂图面积为6300cm2，因此方程为：(60+2x)(80+2x)=6300.故答案为：C.【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据边框宽度x，求出挂图的长和宽，再利用矩形的面积公式列出方程即可.13．【答案】-6【知识点】已知一元二次方程的根求参数【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax∴a∴cac+6则ac=-6.故答案为：-6.【分析】将x=c代入方程，整理解答即可..14．【答案】6【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】解：将x=m代入方程可得：

m2+2m-3=0，即m2+2m=3

∴2m2+4m=2m2+2m15．【答案】2【知识点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+（2k+1)x-（4k-1)=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、2k+1、-（4k-1），

∴2+2k+1-（4k-1）=0，

∴k=2，.故答案为：2.【分析】根据一元二次方程相关概念确定其二次项系数、一次项系数、常数项，再根据题意列式求出k的值.16．【答案】（1）解：设正方形的边长为x，根据题意得

∴4x2=25

化为一般形式为4x2-25=0（2）解：设长方形的长为x，由题意得

x(x-2)=100，

化成一般形式为x2-2x-100=0（3）解：设较短的一段的长x，根据题意得

x=(1-x)2，

化成一般形式为x【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；列一元二次方程【解析】【分析】（1）根据4个完全相同的正方形的面积之和是25，据此可得到关于x的方程.（2）利用长方形的面积等于长×宽，据此列方程即可.（3）抓住关键已知条件：较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，据此列方程即可.17．【答案】B【知识点】列一元二次方程；利用平移的思想解决实际问题【解析】【解答】解：把所有停车位拼接后形成一个完整矩形：

纵向总宽22m，上下各无车道，仅中间纵向去掉1条车道宽度x，剩余宽度为22-x；

横向总长40m，左右各无车道，仅中间横向去掉1条车道宽度x，剩余长度为40-x；

停车位总面积等于拼接后矩形面积，列方程为(40-x)(22-x)=520．

故答案为：B．

【分析】先根据图形平移拼接思想，将分散停车位拼成一个完整长方形，再观察平面图：长40m仅中间横向有1条宽x的车道，有效停车长度为40-x；宽22m仅中间纵向有1条宽x的车道，有效停车宽度为22-x，最后依据矩形面积公式“长×宽=停车位总面积520”列出对应方程．18．【答案】A【知识点】一元二次方程的根【解析