高考 一轮复习 26数列综合讲义

学生教师班主任

日期时间年级课时

教学内容数列的综合应用

热点命题.悟通考什么I怎么考I怎么办I命题角度全扫描］

考点一等差数列与等比数列的综合问题A师生共研型

［典例］(2011・江苏高考)设…Wm,其中0，如恁，s成公比为g的等比数列,s,出，恁

成公差为1的等差数列，则q的最小值是.

［类题通法］

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数

列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合

在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解.

［针对训练］

在等比数列｛斯｝(〃WN")中，ai>\,公比夕X),设等=log24”,且等+冬+4=6,bib3bs=0.

⑴求证：数列｛儿｝是等差数列；

(2)求｛瓦｝的前〃项和S〃及｛为｝的通项an.

考点二等差数列与等比数列的实际应用〉师生共研型

［典例］(2014.镇江模拟)一位幼儿园老师给班上A(223)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为

如，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的;分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒

中，然后把盒内糖果的g分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖

放入盒中，然后把盒内糖果的分给第〃(〃=1,2,3,…，外人小朋友，分给第〃个小朋友后(未加入2

块糖果前)盒内剩下的糖果数为a.

(1)当2=3,40=12时，分别求内，他，S；

⑵请用小7表示并令用=5+1",求数列｛儿｝的通项公式;

⑶是否存在正整数和非负整数劭，使得数列｛〃〃｝(〃W4)成等差数列？如果存在，请求出所有的k

和金：如果不存在，请说明理由.

［类题通法］

解数列应用题的建模思路

从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为:

审题、找出题意

实际应用题||构建数列模型

与结论间的数学关系

分析卜H匕

翻洋作答

与数列行关

数列问题的解|“运用数列知识求解

的数学问题

［针对训练］

某企业在第1年初购买一台价值为12()万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第

6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第〃

年初M的价值为=.

数列与其他知识的综合应用〉|||41

考点三

数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但

仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：

⑴数列与不等式；

(2)数列与函数；

(3)数列与解析几何.

角度一数列与不等式

1.(2014•苏州一调)设数列｛%｝的前〃项和为S”,已知0=改=1，周=温+(〃+2)加数列｛b｝是公差为

d的等差数列，

(1)求”的值；

⑵求数列｛小｝的通项公式；

(3)求证：

22“11

(曲s•…s>(SS?•…“匚

［类题通法］

数列与不等式相结合问题的处理方法

解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分

析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法

等.总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起床综合处理就行了.

角度二数列与函数

2.(2013•苏州署1R调查)已知函数/)=(1一1>,g(x)=10(x-l),数列｛%｝满足«=2,(即+|一。仙(m)+

9

火诙)=0，,=而5+2)(an—1).

(1)求证:数列｛为一1｝是等比数列;

⑵当〃取何值时，儿取最大值？并求出最大值；

⑶若对任意〃?£N•恒成立，求实数，的取值范围.

角度三数列与解析几何

3.在正项数列｛〃”｝中，41=2,点，Ci）在双曲线）2-］2=1上，数列｛/?”｝中，点（乩，，）在直线

y=-1v+l上，其中7〃是数列｛幻｝的前〃项和.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式；

⑵求证：数列出“｝是等比数列；

|0|迁移应用■练透对点练I综合练I创新练I全能演练大冲关］

［课堂练通考点］

1.（201小无锡期东）已知等差数列｛4｝的公差为一2,且0，内，G成等比数列，贝|Ja2O=.

2.（2013•泰州期末）通项公式为如=卬?2+〃的数列｛〃〃｝,若满足41<42<。3<44<〃5，且1对〃28

恒成立，则实数4的取值范围是.

3.在等差数列｛〃“｝中，m=2,8=6,若将0,出，的都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数

列，则所加的这个数为

4.（2013•江西高考）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天

的2倍，则需要的最少天数〃（〃£N"）等于.

5.已知数列｛知｝的前〃项和为5〃，且工=〃2,数列｛儿｝为等比数列，且首项6=1,仇=8.

（1）求数列｛m｝,｛d｝的通项公式；

⑵若数歹ij｛c”｝满足金=〃/册，求数列｛金｝的前〃项和T„；

［课下提升考能］

第I卷：夯基保分卷

1.（2014•南京质检）设等差数列｛斯｝的公差dHO,m=4d,若以是0与的等比中项，则k的值为

2.（2014・无锡统名）设S”是等比数列｛小｝的前〃项和，S.3,S6成等差数列，且。2+仍=勿“”则m=

3.（2014・盐城模拟）将正偶数排列如下表，其中第i行第/个数表示为他（i,六N*）,例如03=18,若的

=2014,则i+j.

2

46

81012

14161820

•••

4.三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列

佗公比是.

5.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树

苗集中放置在某一树坑旁边.使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个

最小值为米.

64创新题）设数列｛斯｝中，若猴+i=m+m+2（〃£N）则称数列｛知｝为“凸数列”，已知数列｛瓦｝为“凸

数列”，且列=1,力2=—2,则数列｛仇｝的前2013项和为.

7.（2014•常州期末）已知数列｛四｝是等差数列,。|+。2+。3=15,数列｛E｝是等比数列，7历历=27.

（1）若。1=岳,。4=尿求数列｛劣｝和｛儿｝的通项公式;

（2）若⑶+方”他+b2,劣+为均为正整数且成等比数列，求的最大值.

8.（2014•扬州模拟）已知数列｛说的前〃项和为S”.

⑴若数列｛〃”｝是等比数列，满足数1+的=3。2,s+2是。2,0的等差中项,求数列｛斯｝的通项公式；

⑵是否存在等差数列优〃｝,使对任意〃£N*,都有斯S=2〃+?+1）?若存在，请求出所有满足条件的等

差数列；若不存在，请说明理由.

第II卷：提能增分卷

1.（2014•徐州摸底）设,。（〃）一co十ci〃+c2〃2H---Fc"（AeN）,其中co，c\,s，…，以为非零常数，数列

｛&｝的首项41=1,前〃项和为S”，对于任意的正整数〃，%+S”="〃）.

⑴若&=0,求证：数列｛〃”｝是等比数列；

⑵试确定所有的自然数鼠使得数列｛m｝能成等差数