高考数学-7大方法技巧解析数学题型

高考数学・7大方法技巧，解

析数学题型

技巧1:估算法

【例1】（2019・全国卷I）

古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的体度与肚脐

至足底的K度之比是与需1-0.618,称为黄金分割比例，

著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉

的匕度I咽喉至肚脐的K度之比也是苴三.若某人满足上述两

个黄金分割比例,且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为

26cm,则其身高可能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】

设某人身高为nicm,脖子下端至肚脐的长度为wcm,则由腿长为105cm,

可得105＞2^2Zl40.618,解得加＞169.890.

1052

由头顶至脖子下端的长度为26cm,可得生＞也匚*0.618,得〃＜42.071.

〃2

所以头顶到肚脐的长度小于26+42.071=68.071.

68.0716af）7l

所以肚脐到足底的长度小于市制最七110.147.

2

所以此人身高加＜68.071+110.147=178.218.

综上，此人身高小满足169.890＜加＜178.218.

所以其身高可能为175cm.

故选B.

划重点：若有些问题不易（有时也没有必要）进行精确的运算和判断，则可以进行

估算.估算是一种数学意识，它通过合理的观察比较、猜想推理或脸证，做出正

确的选择.当选项差距较大且没有合适的解题思路时，我们可以通过适当的放大

或者缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，然后选取与估算值最接近

的选项.

【链接高考1】（2016•全国卷川）

在封闭的直三棱柱加CNiBG内有一个体积为/的球，若Z8_L8C,ZB=6,

8c=8,AAi=3,则夕的最大值是（）

A.4兀B.—

C.6兀D.—

3

【答案】B

【解析】

先计算球与直三棱柱三个侧面相切时球的半径，再计算球与直三棱柱两底面

相切时球的半径，半径较小的球印为所求.

设球的半径为R,VAB,LBC,4B=6,BC=8,：.AC=10.

当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有*6+8+10）XR=：X6X8,此时R

=2：

当球与直三棱柱两底而相切时，有2R=3,此时R=*

■

所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为:，故最大体积/=韭）,

_9兀

-2’

技巧2:特殊函数

【例2】

已知人⑼是定义在R上的奇函数，记人工）的导函数为，（工），当时,r（X）

一人工）＞0.若三工£[-2,48）,使得不等式人^（.一-3工+3）]勺@同+工）成立，则

实数。的最小值为（）

22

A.--1B.2--

ee

1

C.1+2/D.1

【答案】D

【解析】特殊函数法

划重点:

解决本题的关键在于构造函数：(1)根据“当x20时，/3)一4丫)>0”构造

函数仪幻=3'N0)；(2)根据“三、£[-2,+8),使得f—3x+3W〃+三成立“

^

分要参数构造力(、)=入3—3x+3—上，x£[—2,4-°°).

【链接高考2】(2015•全国卷II)

设函数76)是奇函数;(x)GER)的导函数，式-1)=0,当40时，汹(x)

一人工)〈0,则使得共丫)>0成立的x的取值范围是()

A.(-8,-l)U(O.l)

B.(-1.0)U(l,+叼

C.(-8,-l)u(-l.O)

D.(O.l)U(l,+~)

【答案】A

【解析】特殊函数法

构造函数V=g(A)=3,通过研究盛Y)的图象的示意图与性质得出使人工)>0

X

成立的X的取值范围.

i殳、'=©'.)=^\xWO)，则g'(、)=矿3尸危),当xX)时(x)-/[.v)<0,

"XX2

・・・g'(x)vo,・••泰I)在(0,+8)上为减函数，且虱1)=式1)=一4-1)=0.

••次》)为奇函数，・・・泰》)为偶函数，

・•・虱工)的图象的示意图如图所示.

当、>0,鼠工)>0时，/(工)>0.04<1,

当x<0,照v)〈0时，仆)>0,X<—1,

・•・使得人\)>0成立的'的取值范闱是(-8,-l)U(O.l),故选A.

技巧3:特殊图像

【例3】

【答案】A

【解析】特殊函数法

以角度为受量的三角函数图象是弯曲的，排除C,D：当NBOP=S时，v=

危）=2或V3,排除B.选A.

划重点：对于以选择题出现的函数图象问题，宜用排除法处理，排除

法的主要依据有函数的定义域、单调性、奇偶性、图象的变换，特殊

值，图象趋势等.一般先考虑奇偶性，再考虑特殊值或者图象趋势.

【蛙接高考3]（2015•全国卷II）

如图，长方形劣8的边々=2,BC=1,。是4的中

点，点P沿着边BC,8与D4运动，记NBOP=x.将动点尸

到a8两点距离之和表示为工的函数｛）则]•=«》）的图象大

致为（）

ABCD

【答案】B

【解析】特殊函数法

0工_______

当：v£_'4.时，fix)=tanx+^/4+taii2x,图象不会是直线段，从而排除A,

C.

当小九月=周=1+诋

8=2电.•：9<1+6

••月勺@=.（力，从而排除D,故选B]

技巧4:利用导数解最值问题

【例4】

—知函数小)=sin(2x+(p)4-ncos(2i4-^)(0<(p<兀)的最大值为2,1L满足fix)

=£J，则夕=()

A.-B.三

63

C.4或皂D.“懑

6633

【答案】D

【解析】导数法

由的最大值为2可知。=士后,且函数«、）的图象关于直线;v=：对称.

由题意可得f（x）=2COS（2Y+^）—2nsiii（2v4-^）（0<（p<n）,

则f（4）=2cosd+^—2nsii（+"）=-2sii】0—2ncose=0（0<0<九），

所以tan0=-n（OV0V兀），所以tan0=七\6（0〈8〈兀），所以夕=：或彳.

故选D.

划重点：当题中提供正弦、余弦函数的最值信息（常见的有图象、对称粕、

最值等）B寸，可以借助导数值探求.

【链接高考4]（2013•全国卷I）

设当工=8时，函数7（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cos8=.

2#

【答案】5

【解析】导数法

则3,=^/5(smAxesa-cosxsiiicz)=V5sin(v-a).

Vx^R,.*.X—a^R,，Nmax=

又・・”=6时，贝x)取得最大值，

••次S=sin0—28s8=4.

又siir^+cos2^=l,

sin0=

即cos3一半

技巧5：补形法

在三棱锥PXBC中，已知R4_L底面NBC,NA4c=120。，PA=AB=AC

=2,若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面枳为（）

A.10\/57rB.18/1

C.2（hD.外/5兀

【答案】C

【解析】补形法

由题意知，该三棱锥为正六棱柱内的一个三棱锥（不图所示的

三棱维PUB。且有R4=4B=2C=2,所以该三棱锥的外接球也是

该正六棱柱的外接球，所以外接球的直径纭为该正六松柱的体对

角线,长，印2^=出:+2?=2电0R=4,所以该球的表面积为4庶

=20兀故选C.

划重点：

求解本题的关键是根据几何体的几何特征（E4_L底面NBC,NA4C=120°）构

造恰当且特殊的几何体.

【链接高考5]（2015•全国卷II）

一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如

右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

【答案】D

【解析】补形法

由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”

后轲余的部分，如图所示，假去部分是一个三棱钳.设正方体的枝长

为1,则三棱维的体积为

%=*xlxixixi=l,

326

轲余部分的体积F2=l3-

66

1

所以近=0=1,故选D.

Vi55

6

技巧6:坐标法

[例6]

己知等边三用形的边长为2,D、E分别是边BC,2C的中点，点P

是线段ZC上的动点，则金•易的取值范围是（）

A.[02]B.[0.1]

C.[12]D.[0,病

【答案】C

【解析】坐标法

由题意知，等边三甬膨Z8C的边长为2,D,E

分别是边BC,AC的中点，点P是线段4C上的动点,

建立如图所示的平面直甭坐标系，则4（一1.0,）3（10）,

c（o,回>到,DE=（-1.O）,

设Rx,5+瓜hxe[-1.0],

I'JBP=(X-1,知+病,«'lDEBP=l-xe[1.2],故选C.

划重点：根据题目建立平面直角坐标系，将问题代数化，是解决向量问题

的重要思路，对于不容易建立坐标系的小题，可考虑将图形特殊化求解.

【链接高考6]（2017•全国卷II）

己知八4BC是边长为2的等边三角豚尸为平面NBC内一点,则以（而+记）

的最小值是（）

A.-2B.--

2

「4

c..—D.-1

3

【答案】B

【解析】

方法1：解析法

建立坐标系如图①所示，则4B,。三点的坐标分别为2(0,回B(-1.0),

C(L0).

图①

设尸点的坐标为Q,丁)，则五1=(一工，S-y),而=(一l-x,-y),PC=(1

―看一y)，

.\PA-(PB4-PC)=(—x,3—],)•(-2v,—2j')=2(x2+y2—V^v)=

JUT一12x(TT

当且仅当x=0,尸当时，拓•(法+函取得最小值，最小值为一|.

故选B.

方法2:几何法

R2DC

图②

如图②所示，丽+正=2应)(。为8C的中点)，«']PA(PB+PC)=2PAPD.

要使拓•丽最小，则为与诟方向相反，即点尸在线段4D上，则(包•应)总市

=一2"应)，问题转化为求|应•丽的最大值.

又+而|=Jb=2X乎=3，

_____瓦+而[罔4

・S〃wl2卜12勺

/.[P^(PB+PO]mtn=(2R4PD)min=—2x1=—1

故选B.

技巧7:数形结合

【例7】

logjxl，0<x<2,

已知函数«工）=疝苴^2WxW10若存在实数XI，X2，X3,A4,满足

4,一'

X1<X2<X3<>4，ILX.V1）=XX2）=X.V3）=XX4），则⑴一2八4-2）的取值范围足（）

A.(0.12)B.(0.16)

C.(921)D.(1525)

【答案】A

【解析】

logix»0<x<2,

作出函数｛x）=l11ct2WxW10的图象，如田所示，

,4'"

存在实数XI,工2,X3,A4»满足XI〈V2Vx3VM,

且Xv0=次口）=流>3）=人工4），可得一log2Xl=log2X2，即有A1X2=1,

存在实数刖，刈，后，X»，满足AjVv2Vx3VxM且人由）三/（工2）=7（入3）=7。4），

所以由图象易知L<QVL1VMV22Vx3V4.8V14V10,当0W1时，直线

■

y=，与函数式x）的图象有4个交点，直线尸=，越往上平移，及二幽二a的值越

X1X2

小，直线y=r越往下平移，”二辿匚3的值越大.

X\X2

因为当r=0时，（、3—2心4-2）=（4—2）（8—2）=]2,

X1X21X1

土,肝（X3-2）（.u-2）_（2~2K10~j）_

当f—1町,--------------1—U,

刖闷Ax2

2

所以（•-2）（X4-2）的取值范闱是（0]2）,故选A

XIX2

划重点：根据题目信息得出几何模型，借助几何模型（如常见的函数图象、

圆锥曲线、立体图形等）解决问题，形象直观，能起到事半功倍的效果!

【链接高考7]（2013-全国卷I）

设的三边长分别为a”,c”,的面积为S，〃=123,….

若瓦＞G，瓦+。=勿］，4_1=。”，。E="幺则（）

A.｛S.｝为递减数列

B.｛1｝为递增数列

C.设2”_1｝为递增数列，｛S2”｝为递减数列

D.｛S2AI｝为递减数列，｛S2”｝为递增数列

【答案】B

【解析】

先痛定三角形的一边长不变及周长不变，利用另两边最接近的时候面积最大

等知识求解.

在△41BG中，bi>ci，bi+0i=2ai，

在2G中，。2="1，b2=———>r2=————•62+c=2ai，，cVb2V6

22

Vc2Vbl.

*人，r>crbLG+，2cz+m岳+。2历+ai

在ZL4333c3中，。3=。2=。1,03=------------=------------，C3=-----=-----岳+

2222

C3=2〃I，•.a\<bi<C2fbz<cy<a\t，。［<庆V°3Va】Vb3Vc2V瓦.由万纳知，n

越大，两边c”，b”越靠近m且c”+b”=2ai,此时面积S”越来越大，当且仅当c”

=6"=ai时，Z\4A1G，面积最大.

技巧8:特殊值法

【例8】

己知函数所保若刎”呵则。的取值范围

是()

A(O肝，3

B(°ILF9

c(0牛]口g

D(°咛优，3

【答案】D

【解析】特殊值法

当a=2时，j{a}==110g:41=log：-,;（"+力=£）=1唯2,所以1。）=

4

成立，排除A