高考安徽理科数学试卷及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至第2页，第

II卷第3至第4页,全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘

贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答第H卷时，必须用0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.

4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回.

参考公式：

如果事件A,B互斥,那么球的表面积公式S=4TIR2

P(A+B)=P(A)+P(B)其中R表示球的半径

如果事件A,8相互独立，那么

4

P(AB)=P(A)P(B)球的体积公式V=-7lR-

3

如果随机变量J口3(〃p),那么其中R表示球的半径

D0=np(l-p)

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

(1).复数f3(l+Z)2=()

A.2B.-2C.2zD.-2i

(2).集合A={ywR|y=lgxx>l},8={-2,—1,1,2}则下列结论正确的是()

A.Ar\B=[-2,-\}B.(Cd)U3=(f,())

C.AU6=(0gD.(Qy4)AB={-2,-l}

(3).在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若丽=(2,4),就=(1,3),则而二()

A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)

(4).已知根,〃是两条不同直线，a,夕,/是三个不同平面，下列命题中正确的是()

A.若〃2IIa,nIIay则mIInB.若a_Ly,〃_Ly,则

C.若mila、m4。网aM°D.若m_La,”_L。,则加〃〃

(5).将函数y=sin(2x+g)的图象按向量a平移后所得的图象关于点(―彳,0)中心对称，则向量

a的坐标可能为()

(6).设(1+幻8=a。+qx+*,，+48犬，则44,,•,，心中奇数的个数为()

A.2B.3C.4D.5

(7).。<0是方程0^+21+1=0至少有一个负数根的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(8).若过点A(4,0)的直线/与曲线*一2尸+V-1有公共点，则直线/的斜率的取值范围为()

A.\一区B\B.(—6,扬C.D.(-亭亭

(9).在同一平面直角坐标系中，函数y=g(x)的图象与y=，的图象关于直线y=x对称。而函数

y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若/(利)=-1,则加的值是()

11

A.—eB.——D.-

(10).设两个正态分布N(M，b；)(p>0)和N(%6)(%>())的密度函数图像如图所示。则有

()

A.M<〃2，b|V0

B.//j</z2,CT|>CT2

c.内>心

D.4]>以2,5>。2

(ID.若函数f*),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足了(%)-g(x)=",则有()

A.〃2)v/(3)<g(0)B.^(0)</(3)</(2)

c./(2)<g(0)</(3)D.g(0)</⑵</(3)

(12)12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其

他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()

A.C；A；B.CXC.CXD.

2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)

第n卷(非选择题共加分)

考生注意事项：

请用0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.

yl\x—2—1

(13).函数/*)=、------的定义域为___________.

log2(x-l)

(14)在数列｛〃”｝在中，。“二4〃一"l，4+出+•••〃〃=+42，〃£N",其中4,/?为常数，则

nn

lim一a-4b7的值是________

n^a+b

x<0

(15)若A为不等式组(y20表示的平面区域，则当。从一2连续变化到1时，动直线x+y=a

y-x<2

扫过A中的那部分区域的面积为

(16)已知A,8,C,O在同一个球面上,AB_L平面88,BC_LC。，若A8=6,AC=2瓜

人。=8,则B,C两点间的球面距离是

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17).(本小题满分12分)

已知函数/(x)=cos(2x--)+2sin(x-—)sin(x+—)

344

(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程

(II)求函数在区间［后申上的值域

(18).(本小题满分12分

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABC。四边长为1的菱形，ZABC=-,O4JL底面ABC。,

4

OA=2,M为0A的中点，N为BC的中点

(I)证明：直线〃平面OCO:

(II)求异面直线AB与MD所成角的大小;

(III)求点B到平面OCD的距离。

(19).(本小题满分12分)

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各

株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设J为成活沙柳的株数，数学期望EJ=3,标准差可

为与

(I)求n,p的值并写出彳的分布列；

(II)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率

(20).(本小题满分12分)

设函数/*)=—!—*>0且r+1)

xlnx

(I)求函数/(X)的单调区间；

(II)已知2:对任意xw(0,l)成立，求实数。的取值范围。

(21).(本小题满分13分)

设数列｛4｝满足&=0,4向=cq：+1-c,c£N”,其中c为实数

(I)证明：4E[0,1]对任意〃wN*成立的充分必要条件是ce[0,1]；

(II)设0＜c＜；,证明：4,N1—(3C)〃T,〃WM;

I2

(III)设0＜c＜一,证明：4；+〃；+•••〃；＞〃+1------,nsN"

3l-3c

(22).(本小题满分13分)

22

设椭圆C:二+与=1(。>8>0)过点M(五,1),且着焦点为£(一0,0)

crb~

(I)求椭圆C的方程；

(II)当过点尸(4,1)的动直线/与椭圆。相交与两不同点A,6M，在线段A6上取点Q,满足

口斗恒同=［网］而证明：点。总在某定直线上

2008年高考安徽理科数学试题参考答案

一.选择题

1A2D3B4D5C6A7B8C9B10A11D12C

74乃

二.13:[3,+oo)14:115:-16:—

43

三.解答题

TT7TTT

17解：(1)vf(x)=cos(2x----)+2sin(x----)sin(x+—)

344

[6

=—cos2x+=-sin2x+(sinx-cosjv)(sinx+cosx)

22

=—cos2x+—sin2x+sin2x-cos2x

22

=-cos2x+—sin2^-coslx

22

=sin(2x--^)

二.周期1=至="

2

由2x—工=4乃+工(左EZ),得x=工(AGZ)

6223

7T

二函数图象的对称轴方程为x=k7r-^--(keZ)

/、r•兀兀、C717157rl

(2)•/X£［-----,­2x------€r［------,］

122636

因为/(x)=sin(2x-X)在区间［一二,工］上单调递增，在区间［工,巳］上单调递减,

612332

jr

所以当x时，/")去最大值1

6

又,・,"-/)=</(§=；,当x=*时，取最小值一半

2

所以函数/(x)在区间［后,多上的值域为

122

18方法一(综合法)

(1)取OB中点E,连接ME,NE

MEIIAB,ABHCD,MEIICD

又NEIIOC,平面MNEII平面OCD

/.MNII平面OCO

(2),:CDIIAB,

・・・NMOC为异面直线AB与MO所成的角（或其补角）

作AP_LCD于P,连接MP

VOAlTlBjABCD,.\CD1MP

ZA£)P=-,ADP=—

42

MD=JMA'+AD?=叵，：.cosZ.MDP=—=NMDC=NMDP=-

MD23

所以AB与MO所成角的大小为工

3

(3)・・・A8〃平面戊〃・••点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

AQ1OP于点Q,•.•42_1。。,。4_1。力,・・・。力_1平面。4忆・・・/4。_1。力

又•・•AQ±OR,4Q±平面OCO,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

OAAP222

.・・AQ=―^-=q青=-,所以点B到平面OCD的距离为彳

2

方法二(向量法)

作AP1CD于点P,如图.分别以AB.ARAO所在直线为x,y,z轴建立坐标系

40,0,0)1(1,0,0),P(0,*,0),。(W2,0),0(0,0,2),M(0,0』),N(1一巧,£0),

22244

⑴丽=(1-条丽=(。，李-2),丽=(一章孝,一2)

⑵设AB与MD所成的角为0,-：AB=(1,0,0),MD=—,-1)

22

\ABMd1兀冗

.,.008/9=^——L=-,/.6>=-,A8与M。所成角的大小为二

网|画233

⑶设点B到平面OCD的交流为d，则d为OB在向量n=(0,4,72)上的投影的绝对值,

―,22

由OB=(1,0,—2),得4=」^=一.所以点B到平面OCD的距离为一

同33

19(1)由EJ=np=3,(四)2=W(1一〃)=5,得1一〃二；.从而〃=6,p=g

4的分布列为

0123456

1615201561

64646464646464

(2)记”需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=<3),得

P⑷J6［：+2D啜或p(A)=i_p«>3)=i15+6+1_21

~64—~32

里¥>,若（）则列表如下

20解(1)f'M=-rx=o,

x~ln-xe

X(0,-)-(-J)(l,+oo)

eee

f\x)+0-■

单调增极大值/d）单调减

fix]单调减

e

(2)在2'>Z两边取对数，得，ln2>alnx,由于0<x<l,所以

X

In2xlnx

由⑴的结果可知，当((),1)时，fd)=—e,

e

为使(1)式对所有X6(0,1)成立,当且仅当/->一2,即4>—eln2

In2

21解⑴必要性：\・4=0；・生=1-c,

又•・•生e[0,l],・・・()(l-c<l,BPce[0J]

充分性：设c、£[0,l],对〃用数学归纳法证明为七[0,1]

当〃=1时，q=0£。1].假设%e[O,1JU>1)

则为+[=ca：+1-c<c+1-c=1,且《+]=cal^-\-c>\—c=>0

：.ak+lG[0,1],由数学归纳法知4G[0,1]对所有〃eM成立

(2)设0<c<,，当〃=1时，4=0,结论成立

3

当〃22时，

•・•丹=+1-G,1一4=C(1-4T)(1++<))

・・・0<C<；,由(1)知qT£[0,1],所以1+%_1+力_]43且1一%_1之0

・・1-«3c'(l-4_])

2

・・・1一。“K3c(1一4_。<(3C)(1-^,_2)<…K(攵产(1-60=(3c)'i

・・・哈1一(3。尸5小)

I2

(3)设0<c<一,当〃=1时，。；=0>2---------,结论成立

31-3<?

当2时，由(2)如。“21一(3。尸>0

・•・片之(1一(3c)i尸=1一2(3。严+(3c)"f>1-2(3cyi

「・+•,,+a：=CLy+•••+6Z~>A?—1—213c+(3c)~+•••+(3c)”।J

9

=zt+12(i-(3cr)>A2+1J

1-3c1-3c

22解(1)由题意:

C2=2

21工22

—+—=1，解得/=4,从=2,所求椭圆方程为—+^-=1

a2b242

c2=a2-b2

(2)方法一

设点Q、A、B的坐标分别为（不），）,（工