2024年高考数学第一轮复习讲义第五章51 平面向量的概念及线性运算(学生版+解析)

第五章平面向量与复数

§5.1平面向量的概念及线性运算

【考试要求】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义2掌握向量的加法、减法运

算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的有关概念

(I)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小称为向量的.

(2)零向量：长度为的向量，记作.

(3)单位向量：长度等于的向量.

(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量

(5)相等向量；氏度相等且方向的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向的向量.

2.向量的线性运算

向量运算法则(或几何意义)运算律

力

交换律：a+b=______；

加法三角形法则

结合律；(a+b)A-c=_____

a

平行四边形法则

减法a—b=a+(—h)

a

几何意义

数乘以|=________,当X)时，kaM/ia)=________；

的方向与a的方向________；G+")a—_______；

当上0时，〃的方向与。的+A)=_______

方向________:

当7=0时，）.a=_______

3.向最共线定理

向量。3W0）与力共线，当且仅当有唯一一个实数九使.

【常用结论】

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向

量，即用工+用工+北北4----FA”-iA“=XX，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向

量和为零向量.

2.若厂为线段A8的中点，0为平面内任意一点，则5?=当51+5^）.

3.若A,B,C是平面内不共线的三点，则丽+融+正一0。尸为6c的重心，AP-^（AB

+Ac）.

4.对于任意两个向量a,4都有M一例WRr坳W|a|+冏.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“义”）

（1）同与仍|是否相等，与明》的方向无关.（）

（2）若向量。与6同向，旧⑷〉固，则。＞反（）

（3）若向量篇与向量比是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.（）

（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（）

【教材改编题】

1.下列命题不正确的是（）

A.零向量的长度等于。

B.若a=》，b=c,贝ija=c

C.零向量是唯一没有方向的向量

D.若“，方都为非零向量，则使合+卷=0成立的条件是〃与〃反向共线

2.下列各式化简结果正确的是（）

A.AB-]-AC=BC

B.嬴+凝+历+痂=病

C.AB-\-BC-AC=^

D.AB-AD-DC=BC

3.已知。与》是两个不共线的向量，且向量。+动与一体-3a)共线，则2=.

■探究核心题型

题型一平面向量的基本概念

例1(1)下列说法中正确的是()

①单位向量都相等：

②任一向量与它的相反向量不相等；

③若⑷=|加，则。与6的长度相等，与方向无关；

④若〃与小是相反向量，则同=步|.

A.①③④B.②③④

C.②④D.③④

听课记录：__________________________________________________________________

(2)(2023•福州模拟)如图，在正△ABC中，D,E,产均为所在边的中点，则以下向量和危相

等的是()

A.EFB.FBC.DFD.ED

听课记录：__________________________________________________________________

思维升华平行向量有关概念的四个关注点

(1)非零向量的平行具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

(4忘是与。同方向的单位向量.

跟踪训练1(1)下列命题中正确的个数是()

①向景简的长度与向量筋的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；

计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图，在正五角星中，每个角的角尖为36。，则

下列说法正确的是()

A.C//+/D-0JA.AB//FE

C.AF+FG=2HGD.AF=AB+AJ

(2)P是△ABC所在平面上一点，满足诙+而+元=2族，△ABC的面积是S，的面

积是$2，贝(1()

A.Si=4S2B.Si=3S?

C.SI=2S2D.S\=S2

(3)在△ABC中，产是8c上一点，若而=2正，则22+〃=.

题型三共线定理及其应用

例5已知。，4,8是不共线的三点，且苏=加晶+〃为〃£R).

⑴若〃?+〃=1,求证：A,P,8三点共线；

(2)若A,P,B三点共线，求证：+

思维升华利用共线向量定理解题的策略

(1)“〃60。=祖〃彳0)是判断两个向量共线的主要依据.

⑵若a与b不共线且2.a=ub,则x=//=0.

（3）若O4=iO8+〃OCq,〃为常数），则4,B,C三点共线的充要条件是/+〃=1.

跟踪训练3⑴若。，》是两个不共线的向量，已知/加=。-2），而=2a+kb,PQ=3a-b,

若M,N,。三点共线，则々等于（）

3

C-2

A.B.2D.

（2）如图，△相€?中，点M是4C的中点，点N满足病=彳6,人用与CN交于点。，而=加讥

则A等于（）

203「5

AA-3B4C5D6

—

第五章平面向量与复数

§5.1平面向量的概念及线性运算

【考试要求】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运

算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有力包的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为2的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

⑷平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.

⑸相等向量：长度相等且方向相同的向显.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算法则(或几何意义)运算律

力

交换律：a+b=b±a,

加法三角形法则

结合律:(a+〃)+c—a+(〃+c)

a

平行四边形法则

减法a-b=a^-(—b)

几何意义

数乘|词=0回，当2>0时，也

的方向与。的方向相同;(A+〃)a=；

当2＜0时，痴的方向与a%(4+〃)=,a+,b

的方向也反；

当4=0时，；.a=0

3.向量共线定理

向量。(aWO)与》共线，当且仅当有唯----个实数人使。=瓶.

【常用结论】

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向

量，即用左+•工+至北+…+A”-IA〃=屈月，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量

和为零向量.

2.若厂为线段48的中点，。为平面内任意一点，则称=%万1+m).

3.若A,B,C是平面内不共线的三点，则丽十两十元一0。P为AA6c的重心，AP-^(AB

+Ac).

4.对于任意两个向量m4都有M|一|bgkd如W|a|+冏.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)同与|例是否相等，与。，力的方向无关.(J)

(2)若向量4与b同向，旧团＞囹，则。＞6.(X)

(3)若向量篇与向量比是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.(X)

(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(V)

【教材改编题】

1.下列命题不正确的是()

A.零向量的长度等于。

B.若a=b,b=c,则a=c

C.零向量是唯一没有方向的向量

D.若a,b都为非零向量，则使裾+jtj=。成立的条件是。与b反向共线

答案C

解析A项，由零向量的定义知，零向量的长度为0,故A正确；

B项，由向量相等的定义知B正确；

C项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故C不正确；

D项，因为合与日都是单位向量，所以只有当合与微是相反向量，即。与力是反向共线时才

成立，故D正确.

2.下列各式化简结果正确的是（）

A.Ah+AC=BC

B.病+凝+或）+而=病

C.AS+BC-AC=O

D.AB-AD-DC=BC

答案B

3.己知。与力是两个不共线的向量，且向量。+我与一出一3°）共线，则i=.

答案V

解析由题意知存在

使得4+劝=&［一①一3。）］,

■探究核心题型

题型一平面向量的基本概念

例1（1）下列说法中正确的是（）

①单位向最都相等；

②任一向量与它的相反向量不相等；

③若⑷=|可，则。与力的长度相等，与方向无关；

④若a与〃是相反向最，则⑷=|力|.

A.①③④B.②③④

C.②④D.③④

答案D

解析对于①，单位向量方向不同时并不相等，①错误；

对于②，0的相反向量为0,②错误；

对于③，|。|=仍|,则。与b的长度相等，与方向无关，③正确;

对于④，相反向量是长度相等，方向相反的向量，④正确.

（2）（2023•福州模拟）如图，在正△ABC中，E,尸均为所在边的中点，则以下向量和危相

等的是()

A

A.EFB.FBC.DFD.ED

答案D

解析V£F,葡,而与丘'方向不同，・•・济，而,力？与元1均不相等；

•・•日)与丘'方向相同，长度相等，，应)=元:.

思维升华平行向量有关概念的四个关注点

(1)非零向量的平行具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

(4毫是与a同方向的单位向量.

跟踪训练1(1)下列命题中正确的个数是()

①向量箭的长度与向量防的长度相等；

②向量。与力平行，则。与力的方向相同或相反：

③两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；

④两个终点相同的向量，一定是共线向量.

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析对于①，向量怠与向量法的长度相等，方向相反，故①正确；

对于②，向量。与力平行，且。或〃为零向量时，不满足条件，故②错误;

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故④错误.

(2)如图所示，O是正六边形人BCQEF的中心，则与正相等的向量为()

AB

A.BABCDC.ADD.OD

答案D

解析A,B选项均与8C万向不同，C选项与BC长度不相等，D选项与8C方向相同，长度相

等.

题型二平面向量的线性运算

命题点1向量加、减法的几何意义

例2（2022・济南模拟）已知亘位向量的，&，…，02023,则----Fezozsl的最大值是，

最小值是.

答案20230

解析当单位向量Cl,02,…，02023方向相同时，

|ei+e2H---be2023I取得最大值，

⑶+62H---b02023|=⑶I+阴|H----He2023I

=2023；

当单位向量C],02,…，C2O23首尾相连时，

eI+02+…+62023=0，

所以0+。2+…+620231的最小值为0.

命题点2向量的线性运算

例3（2022・新高考全国I）在八44。中，点。在边A3上，8O=2D4.记点=6，CD=w,则右力

等于（）

A.3m—2nB.-2〃i+3〃

C.3m+2nD.2〃?+3〃

答案B

解析因为BD=2DA,所以诵=3而，所以仍=3+彳^=之+3启=或+3（诙一己）=-

2或+32=-2机+3〃.故选B.

命题点3根据向量线性运算求参数

例4（2022・大连模拟）在中，AD=2DB,AE=2EC,P为线段。七上的动点，若标

-\~uAC,九〃£R,则A+/z等于（）

23

氏-C-2

A.32

答案B

解析如图所示，由题意知,

A

D.E

AE=^AC,AD=^AB,

设成=1加，x£[O,l],

所以寿一病+赤

=AD+xDE

=AD-\-x(AE-Ab)

=vAf+(l-v)Ab

=*AC+](1—x)A8,

22

--

33

227

所以2+〃=yx+g(l—x)=.

思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

跟踪训练2(1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设

计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图，在正五角星中，每个角的角尖为36。，则

下列说法正确的是()

A.C7/+/D=0B.AB//FE

CAF-^-FG=2HGD.AF=AB-{-AJ

答案D

解析A项，由图可知C4与相交，所以由与万不是相反向量，故A错误;

B项，Q与无共线，助与成不共线，所以油与沌不共线，故B错误;

C项，AF-\~FG=AG^2HGt故C错误；

D项，连接BF,JF,由五角星的性质可得四边形AA/V为平行四边形,

根据平行四边形法则可得病=诵+乃，故D正确.

(2)P是△ABC所在平面上一点，满足说+港+正=2薪，△/WC的面积是S，△见5的面

积是52,贝(1()

A.S[=4S?B.S\=3S?

C.S\=1S2D.SI=S2

答案B

解析,・•丽+丽+元=2嘉=2(开+而)，

：.3AP=BCt

・••苏〃正并且方向一样，

设AP与BC的距离为/z,

VS^PAB=2\AP\-II,S^ABC=j\BC\-h,

又|就］=3|崩I，

，Szi/M8=R&48C，S\=3S2.

(3)在△ABC中，P是8c上一点，若前＞=2无，AP=)AB^-i.iAC,则22+"=.

4

答案-

3

解析在△ABC中，期=2PC,

?—*—2—►—*1—►2f

则4P=AB+8P=4B+产=48+科。一/1或=不8+藜。，

又寿=2赢+/病，且/(X/不共线,

则

4

-

3

用

其应

理及

线定

三共

题型

〃£R).

加(/〃，

后+〃

=〃?

,且诂

三点

线的

是不共

A,8

O,

已知

例5

;

点共线

B三

P,

：A,

,求证

〃=1

〃?+

⑴若

1.

+〃=

证：

线,求

二点共

,8

A,P

(2)若

P,

m)]0

-(\~

!n-\

0P=[

(而，

+

而%

亦=

1,则

+〃=

若加

(1)

证明

(\

A~\~

P=mO

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共点

有公

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又京

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点共线

B三

，P,

则人

,

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实数

存在

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三点共

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