高考 一轮复习-空间的垂直关系学案

科教学设计

学生姓名教师姓名班主任

日期时间段年级课时

学案44空间的垂直关系

导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间

中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一

些空间图形的垂直关系的简单命题.

课前准备区i回教材夯实基飨___________________________

【自主梳理】

1.直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

①定义法.

②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条_____直线都垂直，则该直

线与此平面垂直.

③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线

也这个平面.

(2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内_____直线.

②垂直于同一个平面的两条直线.

③垂直于同一直线的两个平面.

2.直线与平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面内的所成的锐角，叫做这条直线和这个

平面所成的角.

一直线垂直于平面，说它们所成角为;直线或lua,则它

们成________角.

3.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法.

②利用判定定理：一个平面过另一个平面的,则这两个平面垂直.

(2)平面与平面垂直的性质

两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直.

4.二面角的平面角

以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射

线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.

【目我检测】

1.平面a，平面B的一个充分条件是（）

A.存在一条直线1,l±a,1_LB

B.存在一个平面Y,丫〃a,丫〃B

C.存在一个平面y,y±a,丫_LB

D.存在一•条直线1,l±a,1〃B

2.（2010•浙江）没1,m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题

正确的是（）

A.若1_Lm,mu（i,贝lj1J_a

B.若1_La,l〃m,则mla

C.若1〃Q,mea,则l〃m

D.若1〃a,m〃Q,则l〃m

3.（2011•长沙模拟）对于不重合的两个平面。与B,给定下列条件：

①存在平面Y,使得Q,B都垂直于Y；

②存在平面Y,使得a,B都平行于丫；

③存在直线lca,直线muB,使得1〃m；

④存在异面直线1、m,使得l〃a,1〃B,m〃a,m〃B.

其中，可以判定。与B平行的条件有（）

力.1个8.2个

£3个D.4个

4.（2011•十堰月考）已知m,n是两条不同直线，a,B,丫是三个不同

平面，下列命题中正确的是（）

若n〃a,n//a,则m〃n

若

a±Y，Ply,则a〃B

若

n〃a,m//B,贝ljQ〃B

若

nJ.a,JJjlJm//n

5.（2011•大纲全国）己知点E、F分别在正方体ABCD-ABC仙的棱BBi、CC,

上，且B.E=2EB,CF=2FC,,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为.

课堂活动区］《55^旦虫期___________________________

探究点一线面垂直的判定与性质

【例1】HAABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.

⑴求证:SDJL平面ABC；

(2)若AB=BC.求证：BD_L平面SAC.

变式迁移1

在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD±

底面ABCD.证明:AB1VD.

探究点三直线与平面，平面与平面垂直的动态问题

【例3】如图所示，在直三棱柱43C-A比G中，48=8综47|3_平面43。，。为

AC的中点.

(I)求证：与。〃平面A/。；

(II)求证：B,C,1平面ABBA；

(III)设七是CG上一点，试确定E的位置使

平面A3O_L平面8DE,并说明理由.

变式迁移3

如图1,在RtAABC中，ZC=90°,D,£分别为4C,A8的中点，点尸为线段CO上

的一点，将A4DE沿力石折起到△/\。七的位置，使如图2.

(I)求证：OE〃平面4c8：(H)求证：A^FIBE；

(IH)线段A3上是否存在点。，使4C_LJL平面DEQ?

图1图2

探究点四直线与平面，平面与平面所成的角

【例4】(2009•湖北)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形,SD_L平面ABCD,

SD=2a,AD=/a,点E是SD上的点，且DE=入a(0〈入W2).

(1)求证：对任意的人£(0,2],都有ACJ_BE；

(2)设二面角C-AE-D的大小为0,直线BE与平面ABCD所成的角为＜1),

若tan0tan6=1,求人的值.

c

变式迁移4(2009•北京)如图，在三棱锥P—ABC中，PA_L底面ABC,PA

=AB,ZABC=60°,ZBCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE〃BC.

(1)求证：BC±平面PAC.

(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值.

(3)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.

渗透数学思想

转化与化归思想综合应用

【例】(12分)己知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是NA=60°的

菱形，又PDJ_底面ABCD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.

(1)证明：DN〃平面PMB；

(2)证明：平面PMBJ_平面PAD.

侈角度审题】⑴在平面PMB内找到(或构造)一条直线与DN平行即可；⑵

要证面PMBL面PAD,只需证明MBJL面PAD即可.

【答题模板】

证明⑴

取PB中点Q,连接MQ、NQ,因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QN〃BC〃MD,

且QN=MD,故四边形QNDM是平行四边形，

于是DN〃MQ.

乂・.・MQu平面PMB,DN。平面PMB

・・・DN〃平面PMB.[6分]

(2)・・・PD_L平面ABCD,MBu平面ABCD,Z.PD1MB.

又因为底面ABCD是NA=60°的菱形，且M为AD中点，

所以MBJ_AD.又ADAPD=D,所以MB_L平面PAD.

又・.・MBu平面PMB,J平面PMB_L平面PAD.[12分]

【突破思维障碍】

立体几何的证明问题充分体现线面关系的转叱思想，其思路为：

判定

性质

课后练习区精题精练规范答题

（满分：75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（2011•滨州月考）已知直线a,b和平面Q,B,且@_1_。，那

么Q_L8是4_113的（）

A.充分不必要条件反必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.己知两个不同的平面a、P和两条不重合的直线m、n,有下列四个命

题：

①若m//n,m±Q,则n_LQ；②若m_LQ,ir.±B,则Q〃B；③若m±a,

m〃n,ncP,则a_LB；④若in//a,aAg=n,则m//n.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

3.设a,B,丫是三个不重合的平面，1是直线，给出下列四个命题：

①若aIB,1IB,贝ij1〃a：②若1Ia,1〃B,则aIB：

③若1上有两点到«的距离相等,则1〃a;④若aB,a〃丫，则丫J_B.

其中正确命题的序号是（）

A.①②B.①④C.②④D.③④

4.（2011•浙江）下列命题中错误的是（：

A.如果平面aJ_平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面&

B.如果平面«不垂直于平面8,那么平面a内一定不存在直线垂直于平

面B

C.如果平面a_L平面Y,平面B_1_平面丫，aAB=1,那么1_1_平面Y

D.如果平面aJ_平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面8

5.平面a的斜线AB交a于点B,过定点A的动直线1与AB垂直，且交

Q于点C,则动点C的轨迹是（）

A.一条直线B.一个圆

C.一个椭圆D.双曲线的一支

二、填空题（每小题4分，共12分）

6.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA

=a,PB=PD=/a,则它的5个面中，互相垂直的面有对.

7.（2011•金华模拟）如图所示，正方体ABCD-ABCD的棱长是1,过A点

作平面A.BD的垂线，

垂足为点H,有下列三个命题：

①点H是八ABD的中心:

②AH垂直于平面CBD；③AG与BC所成的角是90°.其中正确命题的序号

是•

8.正四棱锥S—ABCD底面边长为2,高为2,E是边BC的中点，动点P在

表面上运动，并且总保持PELAC,则动点P的轨迹的周长为.

三、解答题（共38分）

9.（12分）（2010•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，

MA_L平面ABCD,PD/7MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA.

（1）求证：平面EFG_L平面PDC；

（2）求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.

E

B

10.(12分)(2009•天津)如图，在四棱锥p—ABCD中，PD_L平面ABCD,ADJ_CD,

DB平分NADC,E为PC的中点，AD=CD=1,DB=2，i

(1)证明：PA〃平面BDE；

(2)证明:AC_L平面PBD；

(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.

p

11.(14分)(2011•杭州调研)如图所示,已知正方体ABCD—AiBiCiD,中，E

为AB的中点.

(1)求直线B,C与DE所成角的余弦值；

(2)求证:平面EBJ)_L平面BQD；

⑶求二面角E-B,C-D的余弦值.

学案44空间的垂直关系

自主梳理

1.（1）②相交③垂直（2）①任意②平行③平行

2.射影直角0°3.（1）②一条垂线（2）交线4.垂直

自我检测

1.D2.B3.B4.D5.看

课堂活动区

【例11解题导引线面垂直的判断方法是：证明直线垂直平面内的两条相

交直线.即从“线线垂直”到“线面垂直”.

证明

S

B

⑴取力9中点反连接SE,%在RtZUAC中，〃、月分别为/C、小的中点,

WDEHBC、且班U8,

•:SA=SB,

3为等腰三角形，：.SEA.AB.

■:SELAB,DELAB,SECDE=E,

：.ABL面57次而Me面SDE,:・AB_LSD.

在△囹C中，SA=SC〃为4C的中点，：.SDLAC.

■:SDLAC,SDLAB,AC^AB=A,

・・・S9_L平面ABC.

（2）若AB=BC,则劭_L4C,

由⑴可知，ABQ而8上面ABC,

C.SDLBD,

'：SD1BD,BDLAC,SDCAC=D,

・・・M_L平面SAC.

变式迁移1证明,・・平面平面ABCD,

ABLAD,力比平面力仇》，

/L9=平面附〃n平面4£9,

・•・力凡L平面VAD.

•・•彤c平面VAD,J.ABX.VD.

【例21解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一

个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直

线平行.

证明如图所示，连接力。，BD,4C,则0为AC,劭的交点，，为4G,8〃

的交点.

由棱柱的性质知：

AG"0C,且4，=%,

・・・四边形40。。为平行四边形，

:AO"0C

又4。_1_平面ABCD,：.。UL平面ABCD,

又0\Cu平面01DC,

工平面，戊"_平面ABCD.

变式迁移2

证明⑴如图，在△必〃中，因为反尸分别为力R力〃的中点，所以印7/

PD又因为用平面PCD,咏平面筋，

所以直线防〃平面也Z

（2）连接被因为力3=/〃，/次460°,所以△川切为正三角形.

因为少是力〃的中点，所以麻L/〃

因为平面必〃_L平面/1仇力，BFu平「面ABC。,

平面PADH平面ABCD=AD,所以加L平面PAD.

乂因为R七平面比〃，所以平面幽；_!_平面力〃

【例31解题导引高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之

一.有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查.

求这两种空间角的步骤：（几何法）.

根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形求

出该角，步骤是作（我）一认（指）一求.

（1）证明如图所示，连接加，由底面是正方形可得

・・•即，平面力筋，，劭是庞在平面力筋上的射影，:・AC1BE.

（2）解如图所示，由SZ〃"平面川笫9,。上平面ABCD,

：.SDLCD,

又底面是正方形，

・•・CDLAD.又SDCAD=D,

・・・0_L平面SAD.

过点〃在平面玄〃内作〃凡L/于凡连接6E则6KL力区故N67。是二面

角j4—〃的平面角，即/67少=

在Rt△颂中，•:BD=2a,DE=入a,

DEA

・"an°=应=5.

在RtA4庞中，,:AD=®=CD,DE=入a,

:.A£=a\l久2+2,

从而DF=

CD71+2

在RtZsa?77中，tan0=

DFA

由tan0•tan0=1,得

j—・万=1=>Y〃+2=2nA2=2.

由4W(O,2],解得A=y/2f即为所求.

变式迁移3⑴证明•・•必J_底面力8a:・PA【BC.

又NM=90°,二力弦又力6n为=4

・・・8C_L平面PAC.

⑵解J•〃为阳的中点，DE//BC,:・DE=、BC.

乙

又由（1）知，/%_L平面为C,

・•・〃£_]_平面为C,垂足为点£

・•・NZMZ?是"与立面为。所成的角.

・・・用_1底面/a；：.PA±AB.

乂为=力6,•••△足华为等腰直角三角形.

在RtA480中，ZABC=^°,：.BC=^AB,

乙

DEBCy/2

・••在Rt△力朦中sin/DAE=A1T2A1T4,

・•“〃与平面必。所成的角的正弦值为半.

（3）解,/DE//BQ又由（1）知，比工平面必。，

・・・〃£L平面PAC.

又・.・4七平面为£必'u平面为C,

:・DEA_AE,DEIPE.

・•・N力姑为二面角力一^^〃的平面角.

•・•必J•底面/I比；：.PA^AC,，N为c=90°.

...在棱％上存在一点反使得力£L/Y：

这时，N4砥=90°,

故存在点Z?使得二面角力一七〃是直二面角.

课后练习区

1.C2.D3.C

4.D[两个平面。，£垂直时，设交线为/,则在平面。内与/平行的

直线都平行于平面£,故A正确；如果平面。内存在直线垂直于平面£，那么

由面面垂直的判定定理知aJLB，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时,

易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面。，£垂直时，平面。内与

交线平行的直线与£平行，故D错误.]

5.A

6.5

解析面以&L面必〃，

面力见_面4心9,面必反L面必£

面为〃_1_面ABCD,面PADS.面PCD.

7.①②③

解析由于力以笫-45G〃是正方体，所以力一4初是一个正三棱锥，因此力

点在平面48〃上的射影，是三角形4协的中心，故①正确；又因为平面CBD

与平面4劭平行，所以4AL平面鹤〃，故②正确；从而可得/£_!_平面⑶〃，

即与4。垂直，所成的角等于90°.

8.邓十小

解析如图取切的中点片SC的中点G,连接£汽，GF,GE

则力CJ_平面6曲，故动点尸的轨迹是△乃%'的三边.

又EF=^DB=yf2t

乙

1道

GE=GF=-SB=^,

工EF+FG+GE=#+p

9.（1）证明因为极J_平面ABCD,

PD//MA,所以外_平面力比ZZ

乂BCu平面ABCD,所以PD1BC.（2分）

因为四边形ABCD为正方形,

所以a

乂PDCDC=D,所以8aL平面也：（4分）

在△尸比'中，因为G、歹分别为用、AC的中点，

所以GF//BQ所以"_L平面PDC.又GFu平面EFG,

所以平面瓯;_1_平面PDC.（6分）

（2）解因为外，平面力发力，四边形力仇》为正方形，不妨设物=1,

则PD=AD=2,

[8

所以qS正方形ABCD•PD=%（8分）

JJ

由题意可知，为_L平面场8且外〃物，

所以DA即为点U到平面物〃的距离，

112

所以心功.出=鼻*5乂1X2X2=市（10分）

所以Vp~HA8：%械»=1：4.（12分）

10.（1）证明

设.ACCBD=H,连接加在△力"C中，因为却=切，且如平分N4T,所以

〃为力。的中点，又由题设，知/为的中点，WEH〃PA.又Ek斗画BDE,且

EJQ平面BDE,

所以为〃平面8庞：（4分）

⑵讦明因为夕加_平面/仍微/ICu平面/IaD所以如J_/C由（I）可得，

DB1AC.又PDCDB=D,

故力CJ_平面PBD.；8分）

⑶解由力C_L平面战可知，刚为成在平面4初内的射影，所以/