北师大版七年级下册数学-期末试卷综合测试卷（含答案）

最新北师大版七年级下册数学期末试卷综合测试卷(word含答案)

一、解答题

1.已知八8〃CD.

(1)如图1,E为AB,CD之间一点，连接8£,DE,得到N8ED.求证：ZBED=

ZB+ZD：

(2)如图，连接AD,BC,ABC,OF平分NAOC,且8F,OF所在的直线交于点

F.

①如图2,当点8在点八的左侧时，若N48c=50。，NADC=60°,求N8F。的度数.

②如图3,当点8在点4的右侧时，设N48C=a,NADC=。，请你求出N8FD的度

数.(用含有a,B的式子表示)

(1)求证：ADWBC；

(2)如图2,若点E是在平行线A8,CD内，4。右侧的任意一点，探究N8AE,ZCDE,

NE之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,若NC=90。,且点E在线段8c上，DF平分NEDC,射线。F在NEDC的内

部，且交8c于点交AE延长线于点F,ZAED+ZAEC=180°,

①直接写出NAED与/FDC的数显关系：

②点P在射线上，且满足NOEP=2/F,/DEA-NPEA=*/DEB,补全图形后，求

NEPD的度数

4DC=80。,48c=(2〃)。,花平分ZABCOE平分/ADC,直线BE、DE交于点、E.

B

(1)若〃=20时，则N8ED=:

(2)试求出/BE。的度数(用含〃的代数式表示)：

(3)将线段AC向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出N8E/*勺度

数.(用含〃的代数式表示)

4.如图，直线PQ//MN,点C是P。、MN之间(不在直线PQ,MN上)的一个动点.

(1)如图1，若N1与/2都是锐角，请写出NC与Nl,N2之间的数量关系并说明理由；

(2)把直角三角形人8。如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CR与PQ交于点、

D,C4与MN交于点E,而与PQ交于点尸，点G在线段CE上，连接。G,有

NBDF=NGDF,求吃/A黑FN的值；

ZLCPG

(3)如图3,若点。是MN下方一点，BC平分NPBD,AW平分NC4。，已知

NPBC=25。,求ZACB+ZAZ龙的度数.

5.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合恃推

理的基础.

已知：4MlicN,点8为立面内一点，48_L8c于8.

问题解决：(1)如图1,直接写出N人和NC之间的数量关系；

(2)如图2,过点8作8DJ_4M于点D,求证：ZABD=ZC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点£、F在上，连接8£、8F、CF,8F平分NDBC,

BE平分/ABD,若/FCB+ZNCF=180°,ZBFC=3ZDBE,则/EBC=_.

6.如图1,由线段AB,AM,CM,C。组成的图形像英文字母M,称为"M形BAMCO".

(1)如图1,M形8AMe。中，若人阴/C仅幺+NC=30\则NM=：

(2)如图2,连接M形如MCD中伉。两点，若N4+NO=15(r,NAMC=a,试探求乙4

与NC的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，且AC的延长线与30的延长线有交点，当点M在线段

8。的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出乙4与NC所有可能的数量关系.

7.己知：三角形48c和三角形。EF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C,且

BC工MN,其中NA3C=Z4C8,ZDEF=ZDFE,48。+/。庄=90。，点£、F均落

在直线M/V上.

利用这条辅助线解决了问题.请你根据小丽的思考，写出解决这•问题的过程.

(2)将三角形DEF沿着A/M的方向平移，如图2,求证：DE//AC,

(3)将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点画出平移后的三角形

DEF,并回答问题，若NQ正=。，则NC43=.(用含。的代数式表示)

8.如图，AC//BD,3C平分乙48。，设为a,点E是射线3c上的一个动点.

(1)若a=30。时，且N84E=NC4E,求NC4石的度数；

(2)若点E运动到人上方，且满足NAAE=100。，ZBAE:ZCAE=5:\,求。的值;

(3)若N8AE:NC4E=/K〃>1),求NC4E的度数(用含〃和。的代数式表示).

9.已知：如图1,AB//CD,点、E,尸分别为AB,C。上一点.

EE

A-------------------------BA-------------------------B

(1)在A/L。。之间有一点M(点M不在线段£尸上)，连接ME,MF,探究

ZAEM,ZEMF,NMFC之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应

的数量关系，选其中一个进行证明.

(2)如图2,在A8,CD之两点M,N,连接ME,MN,NF,请选择一个图形写出

ZAEM,/EMN,ZMNF,NNFC存在的数量关系(不需证明).

10.已知直线M//MN,点A3分别为所，MN上的点.

图1图2

(1)如图1,若NE4C=ZAC8=120。，ZCAD=-ZFACZCBD=-ZCBN,求NCBN

2f2

与NAO8的度数；

(2)如图2,若N7^C=ZAC3=120。，ZCAD=-ZFACtNCBD=L/CBN,则

33

ZADB=。；

（3）若把（2）中“NE4C=ZAC4=120。，ZCAD=-ZFACtNCBD=L/CBN"改为

33

“NFAC=ZACB=m0,ZCAD=-ZFAC,NCBD，NCBN”,则

nn

ZADB=°.（用含〃?，〃的式子表示）

三、解答题

11.阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数

的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形〃例如：一个三角形三个内角的度数分别

是120。，40。，20°,这个三角形就是一个“梦想三角形反之，若一个三角形是“梦想三角

形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.

（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108。，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为

（2）如图1,已知NMO〃=60。，在射线0M上取一点八，过点A作48J_OM交O/V于点

B,以4为端点作射线AD,交线段08于点C（点C不与。、8重合），若N4CB=80。.判

定△408、△AOC是否是“梦想三角形"，为什么？

（3）如图2,点D在ZiABC的边上，连接。C,作NADC的平分线交4c于点E,在DC上

取一点F,使得/EFC+NfiDC=180°,ZDEF=4B.若^BCD是"梦想三角形"，求/B的度

图1图2

12.小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究:

图1图2图3

（习题回顾）己知：如图1,在AAAC中，ZACT=90°,是角平分线，CO是高，

AE.C。相交于点F.求证：ZCF'E=ZCEF；

（变式思考）如图2,在8c中，ZACB=90°,C。是AB边上的高，若AABC的外带

/BAG的平分线交C力的延长线于点尸，其反向延长线与8c边的延长线交于点石，则

NCFE与NCE尸还相等吗？说明理由：

（探究延伸）如图3,在AA3C中，AA上存在一点。，使得NACD=NB,㈤C的平分

线A£交。。于点心△A4C的外角NBAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M.

直接写出ZM与NCFE的数量关系.

13.如图①，将一副直凭三角板放在同一条直线AB上，其中NONM=30。，ZOCD=

45°.

图①图②图③

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E,

求/CEN的度数；

（2）将图①中的三角板OMN绕点0按逆时针方向旋转，使/BON=30。，如图③，MN

与CD相交于点E,求/CEN的度数；

（3）将图①中的三角板OMN绕点0按每秒30。的速度按逆时针方向旋转一周，在旋传的

过程中，在笫秒时，直线MN恰好与直线CD垂直.（直接写出结果）

14.直线M/V与直线PQ垂直相交于。，点4在射线OP上运动，点8在射线0M上运

动,48不与点。重合，如图1,已知ZC、8c分别是N82P和NA8M角的平分线，

（1）点八、8在运动的过程中，NACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出/ACB的大小.

（2）如图2,将4至。沿直线48折叠，若点C落在直线PQ上，则NA8O=,

如图3,将△ABC沿直线力8折叠，若点C落在直线M/V上，则NA8O=

（3）如图4,延长至G,已知NBA。、NO4G的角平分线与N8OQ的角平分线及其反

3

向延长线交于E、F,则NEAF=.；在△班「中，如果有一个角是另一个角的5倍，求/AB。

15.在△ABC中，ZBAC=100°,N48C=NAC8,点。在直线AC上运动（不与点8、C重

合），点E在射线4c上运动，且NAOE=NA£D,设N0AC=〃。.

/CDE=°；

（2）如图②，当点。运动到点8的左侧时，其他条件不变，请猜想的D和NCDE的数

量关系，并说明理由；

（3）当点。运动到点。的右侧时，其他条件不变，N8AD和NCDE还满足（2）中的数量

关系吗？请在图③中画出图形，并给予证明.（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）

【参考答案】

一、解答题

1.（1）见解析；（2）55。；（3）

【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图2,过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的

定义即可求的度数：

②如图

解析：（1）见解析；（2）55°；（3）180°-ga+g〃

【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图2,过点尸作巫当点“在点A的左侧时，根据乙钻。=50。，

NADC=60。，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求N8FO的度数；

②如图3,过点F作EF//AB,当点8在点A的右侧时，ZABC=at乙4。。=0，根据

平行线的性质及角平分线的定义即可求出N8FO的度数.

【详解】

解：（1）如图1,过点EnrfF/AAB,

AB

图1

贝］有NBEF=NB,

vAB//CD,

:.EF//CD,

;"FED=ZD,

,.ZBED=ZBEF+4FED=ZB+Q;

（2）①如图2,过点尸作尸£〃A3,

有4FE=/FBA.

•.•AB"CD,

:.EF//CD.

ZEFD=ZFDC.

ZBFE+Z.EFD=NFBA+ZFDC.

即ZLBFD=/FBA+ZFDC,

•.•朴'平分乙4BC,。产平分N4DC,

/.ZFBA=-ZABC=25°tZFDC=-ZADC=30°,

22

/./BFD=NFBA+"DC=55°.

答：N4/Z）的度数为55。；

②如图3,过点尸作正〃/W,

有N8FK+NZ7M=180°.

.•.N8FE=180°-NW,

VAB//CD,

:.EF//CD.

ZEFD=ZFDC.

NBFE+/EFD=18（F-ZFBA+ZFDC.

即ZBFD=180O-ZFBA+ZFDC,

•.•5户平分O/平分/4QC,

:.AFBA=-AABC=-a,ZFDC=-ZADC=-,

2222

4BFD=180°-4FBA+/尸0C=180°-ga+g/7.

答：/即7）的度数为180。-；。+3〃.

【点睹】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

2.（1）见解析；（2）ZBAE+ZCDE=ZAED,证明见解析；（3）①NAED-

ZFDC=45°,理由见解析；@50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论；

（2）过点E作EFIIAB,根

解析：（1）见解析；（2）NBAE+NCDE=NAED,证明见解析；（3）®ZAED-

ZFDC=45°,理由见解析；（2）50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论：

（2）过点E作EFII4B,根据平行线的性质得4811COIIEF,然后由两直线平行内错角相等

可得结论；

（3）①根据NAED+Z.AEC=18Q°,ZAED+Z.DEC+ZAEB=130°,DF平分/EDC,可得出

2ZAED+（90°-2ZFDC）=180%即可导出角的关系；

②先根据NAED=NF+NFDE,NAED-NFDC=450得出NDEP=2NF=90°,再根据/。£4

ZP£4=—ZDEB,求出NAED=50。，即可得出NEP。的度数.

14

【详解】

解：（1）证明：4811CD,

：.ZA+N0=180°,

,-1ZC=ZA,

/.ZC+ZD=180°,

/.40IIBCx

（2）ZBAE+Z.CDEMAED,理由如下：

如图2,过点E作EFIIAB,

图2

'：AB\\CD

：.ABWCDIIEF

：.ZBAE=4AEF,ZCDE=Z.DEF

BPZFEA+/FED=ZCDE+NBAE

：.ZBAE+NCOE=NAED；

(3)①NAED-ZFDC=45C；

•/ZAED+Z.AEC=180\ZAED+NOEC+NAEB=180°f

：.ZAEC=NDEC+NAEB,

/.ZAED=ZAEB,

DF平分/EDC

NDEC=2ZFDC

/.ZDEC=90°-2ZFDC,

：.2ZAED+(900-2ZFDC)=180°,

/.ZAED-Z.FOC=45°,

故答案为：ZAED-Z.FDC=45°：

②如图3,

图3

YNAED=NF+NFDE,ZXED-ZFDC=45°,

/.ZF=45°,

ZOEP=2NF=90°,

55

,/ZDEA-APEA=——NDEB-NDEA,

147

/.ZPEA=,AED,

9

ZD£P=ZPEA+NAED=-AAED=90\

7

ZAED=70°,

ZAED+Z.AEC=180°,

NDEO2乙AED-180°f

ZDEC=40°,

•「A。IIBC,

ZADE^Z.DEC=40%

POE中，ZFPD=1800-ZDEP-乙AED=50°,

即NEPD=50°.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知

识点是解题的关键.

3.(1)60°；(2)n°+40°；(3)仁+40。或小40。或220。/°

【分析】

(1)过点E作EFIIAB,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度

数；

(2)同(1)中方法求解

解析：(1)60°；(2)>+40°；(3)〃°+40°或n°-40°或220°力。

【分析】

(1)过点E作EFII4B,然后根据两直线平行内错角相等，即可求N8E。的度数：

(2)同(1)中方法求解即可;

(3)分当点8在点4左侧和当点8在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作

EFWAB,由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可.

【详解】

解：(1)当n=20时，ZABC=40°,

过E作EFIIAB,贝IJEFIICD,

/.Z8EF=/ABE,ZDEF=2CDE,

,/BE平分NABC,DE平分/ADC,

：.Z8fF=ZABE=20°,NDEF=NCDE=40°,

ZB£D=Z8EF+NDEF=60°；

(2)同(1)可知：

ZBEF=AABE=n°,ZDEF=CDE=40°,

ZB£D=Z8EF+NO£F=〃°+400；

(3)当点B在点4左侧时，由(2)可知：NBED=n°+40°；

当点。在点4右侧时，

如图所示，过点E作EFII48,

BE平分/ABC,DE平分/ADC,ZABC=2n°tZADC=80°,

/.ZABE=^ZLABC=n°,ZCDG=^Z4DC=40°,

V4811CDIIEF,

：.ZBEF=AABE=n°,NCOG=NO£F=40。，

ZBED=ABEF-Z.DEF=n040°；

如图所示，过点£作EFIIA8,

•••BE平分NABC,DE平分NADC,ZABC^2n°,NADC=80°,

ZABE=jZABC=n°,ZCDG=gZAOC=40°,

'：AB\\CDIIEF,

ZB£F=1800-ZABE=130°-n°,ZCD£=ZD£F=40°,

/.ZBED=NBEF+NDFF=180o-no+40o=220o-n0；

如图所示，过点E作EFIM8,

...8£平分/ABC,。£平分N40C,ZABC=n°,Z4DC=70\

：.^ABG=^AABC=n°,NCOE=JNAOC=40°,

,/ABWCDWEF,

ZBEF=4ABG=n\ZCDE=ZOEF=40°,

ZBED=NBEF-Z.DEF=n°-40°；

综上所述，ZBED的度数为〃。+40。或〃。-40。或220。-"。.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角

之间关系是解题关键.

4.(1)见解析；(2)；(3)75°

【分析】

(1)根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以

解析：（1）见解析；（2）（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.

【详解】

解：（1）/C=Z1+Z2,

证明：过C作川MN,如下图所示，

,//IIMN,

AZ4=Z2（两直线平行，内错角相等），

,//IIMN,PQIIMN,

/./IIPQ,

Z3=Z1（两直线平行，内错角相等）,

Z3+Z4=Z1+Z2,

/.ZC=Z1+Z2；

（2）Z8DF=NGDF,

,/Z8DF=NPDC,

/.ZGDF=ZPDC,

ZPDC+ZCDG+NGDF=180°,

ZCDG+2ZPDC=180°,

ZPDC=900-yZCD6,

由（1）可得，NPDC+NCEM=NC=90°,

ZAEN=4CEM.

...CAEN_/CEM_90。/尸乙已_90。―（90。一；NCDG）_1,

/CDG-4CDG-NCDG-ZCDG-2

（3）设8D交M/V于J.

BO

•/8c平分NPBD,AM平分NCAD,ZP8c=25。，

ZP8D=2NP8C=50°,ZCAMSMAD,

,/PQIIMN,

ZBJA=Z.PBD=5Q°,

ZADB=NAJB-AJ4D=50#-ZJAD=500-ACAM,

由（1）可得，ZACB=ZPBC+NCAM,

/.ZACB+Z.ADB=NPBC+Z.CAM+SO^Z.C4M=250+50°=75°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关

系.

5.（1）；（2）见解邪（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质

解析：（1）ZA+ZC=90°：（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点8作8GliDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：（1）如图1,设AM与8c交于点OJFMIIC/V,

ZC=ZAOB,

•「AB±BC,

/.NABC=90°,

/.ZA+N408=90°,

Z4+ZC=90°,

故答案为：N4+NC=90。；

（2）证明：如图2,过点8作BGIIOM,

图2

•/BD±AM,

：.08_L8G,

Z08G=90°,

」.N48。+/A8G=90。，

•••AB±BC,

/.ZC8G+NA8G=90°,

NABD=4CBG»

,/AMWCN,

NC=NCBG,

：.ZABD=ZCi

(3)如图3,过点8作8GliDM,

图3

BF平分NDBC,BE平分/ABDt

ZDBF=NCBF,ZDBE=£ABE,

由(2)矢口/ABD=4CBG，

ZABF=Z.GBF,

设NO8E=a,ZABF=6,

则NABE=a,ZABD=2a=ACBG,

NGBF=WAFB=6,

ZBFC=3/DBE=3a,

/.ZAFC=3«+6,

,/Z4FC+NNCF=180°,/FCB+NZVCF=180°,

NFC8=NAFC=3a+6,

△8CF中，由NCBF+N8FC+N8CF=180°得：2a+6+3a+3a+6=180°,

1/AB.LBC,

：.6+6+2a=90。，

cr=15\

ZABE=15\

ZEBC=ZA8E+N28c=150+90°=105°.

故答案为：105。.

【点睛】

本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

二、解答题

6.(1)50°；(2)NA+NC=30°+a,理由见解析；(3)NA-NDCM=300+a或

3O0-a

【分析】

(1)过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长BA,DC交于E,

解析：(1)50。；(2)N4+/C=30°+a,理由见解析;(3)N4N。5M=30°+a或30F

【分析】

(1)过M作M/VII48,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长84,DC交于E,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

(3)分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：(1)过M作MNII48,

V

M

BD

图1

,「4811CD,

ABWMNWCD,

Z1=ZA,Z2=ZC,

ZAMC=A1+Z2=Z4+NC=50°；

故答案为：50。；

(2)ZA+Z.C=30°+a,

延长84,DC交于£,

E：、

9»

•••ZS+Z0=150°,

Z£=30°,

•「Z84M+N0cM=360°-(NEAM+Z.ECM)=360°-(360°-/£-ZM)=300+a；

即/4+ZC=300+a：

(3)①如下图所示：

延长M、OC使之相交于点F,延长与刖的延长线用交于点£

Z5+ZD=150°,ZAMC=a,/.Z£=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Z1=30°+/2

Z2=Z3+a

Zl=300+Z3+a

N1-Z3=30°+a

即：Z4-zC=30°+a.

②如图所示.210-NA=(180°-ZDCM)+a,即NA-NOCM=30°r.

BD

综上所述，Z4/DCM=3Q0+a或30°-a.

【点睛】

本题考查了平行线的性质.解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线川48,利用平行

线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得的度数.

7.（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；.

【分析】

（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；

（2）先证明，再证明，得到，问题得证；

（3）根据题意得到，艰据（2）结论得到ND

解析：（1）见解析；（2）见解析：（3）见解析；2a.

【分析】

（1）过点C作CG，得到/。匹£=/尸。6,再根据N8b=90。，

ZABC+/DFE=90°,得到N48C=N3CG,进而得到CG//A4,最后证明。产〃AA；

（2）先证明/4C8+NOM=90。，再证明NAC3+ZACE=90。，得到NOE/=ZACE,问

题得证；

（3）根据题意得到NW花=/。£尸=。，根据（2）结会得到NDEF=NEC4=。，进而得到

NABC=NAC8=90°-。，根据三角形内角和即可求解.

【详解】

解：（1）过点C作CG//O厂，

:.NDFE=NFCG,

BCIMN,

NBC户=90。，

N8CG+N产CG=90。，

/BCG+/DFE=90。,

ZABC+NDFE=90°,

ZABC=/BCG,

:.CGHAB,

DF//AB；

（2）解：•.ZABC=NACB,ZDEF=/DFE,

又446c+乙DFE=90°,

「.NAC8+NOE尸=90。，

BC工MN,

."CM=90。，

/.ZACB+ZACE=90°,

/.ZDEF=ZACE,

DE//AC；

（3）如图三角形DEF即为所求作三角形.

N

D

产

AZAB

S3

Z.DFE—a,

/.NDFE=/DEF=a,

由(2)得，DEWAC,

ZDEFYECA=a,

,/ZACB+ZACE=90°,

AzACB=90°-a,

/.ZABC=ZACB=9(r-a,

Z4=180°-ZABC-ZACB=2a.

故答案为为：2a.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根

据题意画出图形是解题关犍.

8.(1)60°；(2)50°；(3)或

【分析】

(1)根据平行线的性质可得的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，应用

三角形内角和计算的度数，由已知条件，可计算出的度数；

(2)根据题意画出图形，先

解析：(1)60。；(2)50。；(3)侬。/或180。一加

【分析】

(1)根据平行线的性质可得NC3O的度数，再根据角平分线的性质可得A3E的度数，应

用三角形内角和计算的度数，由已知条件N8AE=NC4E,可计算出NC4E的度数；

(2)根据题意画出图形，先根据NK4E:NC4E=5:1可计算出NC4E的度数，由

NB4E=IOO。可计算出1的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质，计算出

NCBD的度数，即可得出结论；

(3)根据题意可分两种情况，①若点E运动到人上方，根据平行线的性质由。可计算出

NC8O的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出血。的度数，再

/明正=〃，/BAE=NBAC+NCAE,列出等量关系求解即可等处结论；②若点E运

动到4下方，根据平行线的性质由。可计算出NC3D的度数，再根据角平分线的性质和平

行线的性质，计算出々AC的度数，再㈤E:NG4E=〃，N8AE=NB4C-NC4E列出等量

关系求解即可等处结论.

【详解】

解：(1)va=30°,AC//BD,

NCa>=30。，

•••8C平分NA8D,

:.ZABE=^CBD=yr,

ZBAC=180°—乙XBE一。=18(尸一30°-30°=120°,

又4AE=NCAE,

ZC4E=-ZfiAC=-xl2(T=6(r；

22

(2)根据题意画图，如图1所示，

­.•Zfi4E=l(XF,Za4E:ZC4E=5:1,

.-.ZCAE=20°,

:.^BAC=^BAE-ZCAE=m0-2(r=^r,

•.•AC//BD,

二.ZAA/)=180°-NaAC=100',

又;8。平分NA8。，

/.Z.CBD=-ZABD="!■x[00。=50°,

22

.•.a=NC8D=50°；

图1

(3)①如图2所示,

vAC//BD,

ZCBD=ZACB=a,

BC平分"BD,

:./ABD=24CBD=2a,

ZBAC=180O-ZABD=180>-2a,

又^BAE:ZCAE=n,

/.(Z.BAC+ZC4E):ZCAE=n,

(180°-2a+ZC4E):NCAE=n,

解得/C4EJ。。-2a

n-\

②如图3所示，

AC//I3D,

:.NCBD=ZACB=a,

8C平分NA8Q，

:.ZABD=2ZCBD=2a,

.•.NA4C=1800-NABQ=180>-2a,

又•/Z.BAE:Z.CAE-n,

/.(ABAC-ZCAE):ZCAE=n,

(180°-2a-ZC4£：):ZC4E=7?,

综上NCA石的度数为半兹或网一.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等.两直线平行,

同旁内角互补.两直线平行，内错角相等.合理应用平行线的性质是解决本题的关键.

9.（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZE

解析：（1）见解析：（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°.

证明：过点M作MPIIAB.

,/ABIICD,

MPIICD.

/.Z4=Z3.

,/MPIIAB,

/.Z1=Z2.

ZEMF=Z2+Z3,

ZEMF=Z1+Z4.

ZEMF=ZAEM+ZMFC；

gl

证明：过点M作MQIIAB.

ABIICD,

/.MQIICD.

ZCFM+Z1=180°；

1/MQIIAB,

/.ZAEM+Z2=180°.

/.ZCFM+Z1+ZAEM+Z2=360°.

•「ZEMF=Z1+Z2,

ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°；

(2)如图2第一个图：ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC=180°：

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

/.ZAEM=Z1,ZCFN=Z4,MPIINQ,

1.Z2+Z3=180°,

,/ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

...ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC

=Z1+Z2+Z3+Z4-Z1-Z4

=Z2+Z3

=180°：

如图2第二个图：ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC=180<>.

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

/.ZAEM+Z1=180°,ZCFN=Z4,MPIINQ,

Z2=Z3,

•••ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

FMN-ZMNF=Z1+Z；-/3-/4./AFM+ZCFN=1«O0-Z1+Z4,

...ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC

=Z1+Z2-Z3-Z4+180°-/1+Z4

=180°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

10.(1)1205,1205；(2)160；(3)

【分析】

(1)过点作，，根据，平行线的性质和周角可求出，则，再根据，，可

得，，可求出，，根据即可得到结果；

(2)同理(1)的求法，

fl—1

解析:(1)1205,1205；(2)160：(3)——(360-w)

【分析】

(1)过点作CG〃目"DHHEF,根据NE4C=NAC8=120。，平行线的性质和周

角可求出NGC6=120。，则NC8V=NGC3=120。，再根据=,

2

NCBD=-4CBN,可得/CBD=-4CBN=60°,ZC4D=-^FAC=60°,可求出

222

ZADH=ZFAD=60°,ZBDH=/DBN=60°,根据〃DB=NADH+NBDH即可得到结果；

(2)同理(1)的求法，根据NB4C=NAC8=120。，ZCAD=^ZFAC,

NCBD=gNCBN求解即可；

(3)同理(1)的求法，根据N£4C=NACA=m。，ZCAD=-ZFAC,NCBD」NCBN

nn

求解即可；

【详解】

解：(1)如图示，分别过点C力作CG〃所，DH//EFf

•「EF//MN.

：.EF//MN//CG//DH,

ZACG=ZE4C=120°,

Z.GCB=360°-ZACG-Z4CB=120°,

/CBN=NGCB=120°,

­：Z.CBD=-Z.CBN=60°,ZCAD=-ZFAC=()0°

22

/.ZDBN=Z.CBN-^CBD=60°,

又•「ZFAD=ZFAC-ZCAD=60°,

ZADH=ZMD=60°,NBDH=NDBN=60。,

：.ZADB=ZADH+ABDH=120°.

(2)如图示，分别过点C,。作CG〃所，DHUEF,

,:EFHMN,EFHMNHCGHDH,

...ZACG=ZE4C=120°,

ZGCB=360°-ZACG-ZACB=120°,

/CBN=/GCB=T20°,

■：4CBD=-々CBN=40°,ZCAD=』ZMC=40°

33

/.ZDBN=ZCBN-zLCBD=80°,

又「W-NG4D=80°,

/.Z4£¥7=ZMD=8O0,5DH=ZDBN=价，

ZADB=ZADH+ZBDH=\(^.

故答案为：160；

(3)同理(1)的求法

EF//MN,EF//MN//CG//DH,

，ACG=£FAC=nf,

ZGCT=36(r-Z4CG-ZAC«=360o-2//f,

Z.CBN=ZGCB=3600-2trf,

ZCBD=-ZCBN=36°°-2'，f,ZCAD=-ZFAC=—

nnnn

360°-2/M°n-1

/.4DBN=NCBN-NCBD=(360°一2帆。)—―—―=-(360°-2〃/),

又•「ZFAD=ZFAC-ZCAD=nf--=^^nf,

nn

ZADIl=々FAD=,4)DII-乙DBN——(3600-2〃,。)，

nn

：.ZADB=ZADH+ABDH=(360°-2°)=-(360°-w°).

nnWIn

故答案为：--(360-w).

n

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键.

三、解答题

11.(1)36。或18。；(2)△AOB.△AOC都是“梦想三角形〃，证明详见解析；

(3)ZB=36。或NB=.

【分析】

(1)根据三角形内角和等于180。，如果一个“梦想三角形〃有一个角为108。，

解析：(1)36。或18。；(2)AAOB、AAOC都是“梦想三角形"，证明详见解析：(3)

Z8=36。或N8=(与)°.

【分析】

(1)根据三角形内角和等于180。，如果一个“梦想三角形"有一个角为108。，可得另两个

角的和为72。，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180。

-1080-1084-3°=36°,72=(1+3)=18°,由此比较得出答案即可;

(2)根据垂直的定义、三角形内角和定理求出N480、/OAC的度数，根据“梦想三角形”

的定义判断即可；

(3)根据同角的补角相等得到/EFC=N4DC,根据平行线的性质得到/DEF=/ADE,推

出。日IBC,得到/CD£=ZBCD,根据角平分线的定义得到NADE=NCDE,求得/B=

NBCD,根据“梦想三角形〃的定义求解即可.

【详解】

解：当108。的角是另一个内角的3倍时，

最小角为180°-108°-1084-3*=36%

当180°-108。=72。的角是另一个内角的3倍时，

最小角为72。+(1+3)=18°,

因此，这个“梦想三角形"的最小内角的度数为36。或18。.

故答案为:18°或36°.

(2)△AO8、△AOC都是“梦想三角形”

证明：•••48_L0M,

/.ZOAB=90°,

Z>480=90°-ZMON=30°t

/.Z048=3/ABO,

△AOB为“梦想三角形〃，

,/ZMON=60°,ZACB=80°,NACB=NOAC+NMOM

/.ZOAC=800-60°=20°,

Z408=3NOAC,

△AOC是"梦想三角形

(3)解：/ZEFC+N8DC=180°,ZAOC+NBDC=180°,

ZEFC=NADC,

/.ADWEF,

/.ZOEF=NADE,

,/ZOEF=NB,

ZB=NADE,

DEWBC,

ZCD£=ZBCD,

AE平分/ADC,

：.ZADE=Z.CDE,

/.Z8=NBCD,

•「△88是"梦想三角形”,

Z8DC=3Z8,或N8=3NBDC,

,/ZBDC+Z8CD+Z8=180°,

Z8=36。或N8=(邛)°.

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、"梦想三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解

本题的关键.

12.［习题回顾］证明见解析；［变式思考］相等，证明见解析；［探究延伸］

ZM+ZCFE=90°,证明见解析.

【分析】

［习题回顾］根据同角的余角相等可证明NB=ZACD,再根据三角形的外角的性质

即可

解析：［习题回顾］证明见解析；［变式思考］相等，证明见解析；［探究延伸］

NM+/CFE=90°,证明见解析.

【分析】

［习题回顾］根据同角的余角相等可证明NB=NACD,再根据三角形的外角的性质即可证明；

［变式思考］根据角平分线的定义和对顶角相等可得NCAENDAF、再根据直角三角形的性质

和等角的氽角相等即可得出ZCFE=ZCEF；

［探究延伸］根据角平分线的定义可得/EAN=90。，根据直角三角形两锐角万余可得

NM+NCEF=90。，再根据三角形外角的性质可得NCEF=NCFE,由此可证NM+NCFE=9。。.

【详解】

［习题回顾］证明：・•.NACB=90°,CD是高，

/.ZB+ZCAB=90°,ZACD+ZCAB=90°,

/.ZB=ZACD,

AE是角平分线，

ZCAF=ZDAF,

,/ZCFE=ZCAF+ZACD,ZCEF=ZDAF+ZB,

ZCEF=ZCFE；

［变式思考］相等，理由如下：

证明：.「AF为NBAG的角平分线，

/.ZGAF=ZDAF,

,/ZCAE=ZGAF,

ZCAE=ZDAF,

;CD为AB边上的高,NACB=90。，

ZADC=90°,

ZADF=ZACE=90°,

ZDAF+ZF=90°,ZE+ZCAE=90°,

/.ZCEF=ZCFE；

［探究延伸］NM+ZCFE=90\

证明：•・・€：、A、G三点共线AE、AN为角平分线，

ZEAN=90°,

乂丁ZGAN=ZCAM,

ZM+ZCEF=90",

1/ZCEF=ZEAB+ZB,ZCFE=ZEAC+ZACD,ZACD=ZB,

/.ZCEF=ZCFE,

ZM+ZCFE=90°.

【点睛】

本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同

角的余角相等.在本题中用的比较多的是利用等角或同比的余角相等证明角相等和三角形

一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键.

13.(1)105°；(2)135°；(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在4CEN中，用三角形内角和定理即可求出；

(2)由NBON=30。，NN=30°可得MNIICB,再根据两直线平行，同旁内角

解析：(1)105。；(2)135°；(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在△CHV中，用三角形内角和定理即可求出；

(2)由/8ON=30。，NN=30。可得MMIC8,再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出

ZCEN的度数.

(3)画出图形，求出在CD时的旋转角，再除以30。即得结果.

【详解】

解：(1)在△CEN中，ZC£/V=180°-ZECN-AC/VE=180o-45o-30o=105°；

(2)ZBON=30°,ZN=30。，

/.ZBON=AN,

MNWCB.

ZOCO+NCEN=180°,

,/Z08=45°

...ZCEA/=180°—45°=135°；

(3)如图，MN_LC。时，旋转角为360°—90°—45°—60=165°,或360°—(60°-45°)

=345。，所以在第165。+30・=5.5或345。+30。=11.5秒时，直线MN恰好与直线C。垂直.

【点睛】

本题以学生熟悉的三角板为载体，考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、垂直的

定义和旋转的性质，前两小题难度不大，难